《金融经济学第七讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《金融经济学第七讲.ppt（10页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、金融经济学第七章,上海财经大学金融学院,第七章 连续时间套利定价理论,7.1 布朗运动 布朗运动最早是由英国生物学家布朗(Brown)，于1827年在观察花粉颗粒在液体中做无规则运动时发现的。爱因斯坦对这种无规则运动作了物理学分析，并首先建立了布朗运动的数学模型。在每一瞬间，花粉颗粒在三个方向、六个面都受到随机冲击，冲击可以看作是正态分布的（二项分布的近似）。因此每个瞬时，花粉颗粒的运动可以看成是正态分布。在经济学中第一个提出可以用布朗运动来刻画股票价格变动的是Louis Bachelier（1900），他可能也是第一个对布朗运动进行研究的人。Ito的随机微分方程及后来建立在半鞅上的更一般的随
2、机微分方程理论，为金融学家进行衍生产品定价提供了可能。Black&Scholes、Merton等人的工作，给出了期权等衍生产品的精确价格公式，同时也使得布朗运动和随机分析的工具得到了巨大发展。,第七章 连续时间套利定价理论,一、Brown运动的数学表述定义：称为是一个标准的布朗运动（B.M.），如果它满足：（1）；（2）与 独立，。（3）的分布与t无关，具有零均值，且。（4）函数 几乎处处连续。定理：对于一个标准的B.M.，我们有：，特别地，a可以取1。,第七章 连续时间套利定价理论,推论：当 时，的分布服从正态分布，其分布函数为：定理：如果 是一个B.M.，则（1）是一个B.M.；（2）是一
3、个B.M.；（3）是一个B.M.；（4）是一个B.M.。定义：随机过程 称为是一个鞅（上鞅、下鞅），如果该随机过程满足：，。,第七章 连续时间套利定价理论,二、随机微分方程和Ito公式定义：一个随机过程 的变化如果可以用如下方程来刻画：；则该随机过程被称为Ito过程。该方程称为随机微分方程，被称为漂移项，被称为扩散项。定理7.6（Ito引理）：假定X是一个Ito过程，满足：，令是一个二次连续可微的函数，则随机过程 也是一个Ito过程，满足：上式被称为Ito公式。,第七章 连续时间套利定价理论,7.2 Black-Scholes期权定价公式1、模型的建立：考虑一个证券（股票），不考虑红利收益，其
4、价格过程可以表示为：，。其中x0、和 都是常数，该过程被称为几何布朗运动，有时也被称为对数正态分布的，因为对任意的t，是正态分布。因为函数二次连续可微，所以S是一个Ito过程。由Ito公式，得：，其中,第七章 连续时间套利定价理论,考虑一个无风险资产（债券），其价格过程为，定义为：，其中 和r是常数，为债券的初始价格，r为无风险利率。是一个平凡的Ito过程，可以表示为：。考虑一个标的在股票上的欧式看涨期权，其操作价格为K，成熟日为T，在tT时期权价格 是未知的，在T时。直观地，期权价格应该是标的资产和时间的函数，即：。定义：一个由股票和债券构成的交易策略 称为是自融资的(self-financ
5、ing)，如果它不产生红利收益（红利收益既不是正的，也不是负的），即：,第七章 连续时间套利定价理论,定理：在无套利条件下，假定存在由股票和债券构成自融资策略，满足：，则有：。2、Black-Scholes公式推导 应用Ito公式，有：。其中系数 满足：如果一个自融资策略与期权收益相等，则有,第七章 连续时间套利定价理论,利用Ito公式，有：由此得：由此得：所以有：,第七章 连续时间套利定价理论,定理：一个标的在股票 上、操作价格为K、成熟日为T的欧式看涨期权的价格是如下偏微分方程（PDE）的解：，满足边界条件：。其中。定理蕴涵，一个欧式看涨期权的价格可以通过求解上述PDE来得到。容易证明，Black-Scholes公式：，是上述偏微分方程的解。其中z满足：，函数 是标准正态分布的累计分布函数。,
