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1、对坐标的曲面积分,一、基本概念,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,类似地可定义,二、概念的引入,实例:流向曲面一侧的流量.,1.分割,则该点流速为.,法向量为.,2.求和,3.取极限,三、概念及性质,积分曲面,被积函数,有向面积元,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质,1。可加性,2。反向性,四、对坐标的曲面积
2、分的计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式,概括为：,代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号,一代、二投、三定号,注,积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加,确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负,例1 计算,所截得的在第一卦限的部分的前侧,解,解,例2,例3 计算,平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,下侧,后侧,上侧,同理,同理,注,对坐标的曲面积分的对称性,被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按,x,y,z,顺序代换后原式不变,积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,例4,解,注,此例的解法具有普遍性,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,练 习 题,练习题答案,
