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1、双勾函数与不等式的应用,一、双勾函数,下面研究函数,1、定义域：,2、值域：,把上式去分母，移项，合并同类项，整理得：,解得：,当且仅当x=1时，y=2 x=-1时，y=-2,当且仅当x=1时，y=2,当且仅当x=-1时，y=-2,3、奇偶性,其定义域是关于原点对称的，且满足f(-x)=-f(x)形式，所以此函数为奇函数。,4、图象如右,5、单调性,从图易知单调递增区间为,单调递减区间为,解：,令x-1=u，则,上式可化为,解：,上式可化为,答案,答案,解：函数,例3 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底 宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米
2、，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数 与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略 不计）。,解法一：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。由题设知,4b+2ab+2a=60(a0,b0)，,即 a+2b+ab=30(a0,b0)。,当且仅当a=2b时，上式取等号。,由a0，b0，解得0ab18。,即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。,2b2=18。,解得b=3，a=6。,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。,故当a为6米，b为3米时，,解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y
3、=k/ab，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。根据题设，有,4b+2ab+2a=60(a0,b0)，,得 b=30-a/2+a(0a30)，,当a+2=64/(a+2)时取等号，y达最小值。,这时a=6,a=-10（舍去）。,将a=6代入式得b=3。,故当a为6米，b为3米时，,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。,例4、已知直角三角形的周长为定值l，求它的面积的最大值。,故面积,于是当,面积有最大值,练习1、已知圆柱的体积为定值V，求圆柱全面积的最小值。,答案,答案,1、,所以原式可化为：,而此函数在区间,上是单调减函数,因此当且仅当,时函数有最小值,而无最大值。,
4、2、,当且仅当,返回,3、,4、法一：,显然，当sin2x=1时，上面两个式子同时成立，故原式有最小值,法二、可设sin2x=t，再利用函数的单调性求解。,返回,1、法一：设圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S。则,法二：,返回,例5、过点P（1，4）引一直线l，它在两条坐标轴上的截距皆为 正且它们的和最小，求这条直线的方程。,解：由前面的分析，l在两坐标轴上的截距之和为：,故所求直线方程为(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=0.,分析：由线段垂直平分线性质可得|PA|=|PB|，这样就建立了关于点P的方程，再由椭圆上点的坐标的取值范围，可求。,将（2）代入（1）式，得,错解的原因是
5、利用了复数模的不等式：但是忽略了等号成立的条件,解（1）依题设，有,解:设耕地平均每年至多能减少x公顷，又设该地区现有人口为 P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意，得不等式：,答：该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。,例9、甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（每千米小时）的平方成正比，比例系数为b、固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？,故所求函数及其定义域为：,（2）依题意，知s、a、b、v都为正数，故有,综上可知，为使全程运输成本y最小，,
