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1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示,一、复习引入,1.直线与平面垂直的定义、判定和性质,定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。,判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。,性质：(1)垂直于同一个平面的两条直线平行。(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。,二、概念形成,概念1.平面的法向量,已知平面，如果向量 的基线与平面 垂直，则 叫做平面 的法向量或说向量 与平面 正交。,由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。,由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个
2、平面的所有法向量都是平行的。,模为1的法向量，叫做单位法向量，记作 显然,二、概念形成,概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明,直线与平面垂直的判定定理：,如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。,已知：是平面 内的两条相交的直线，且 求证：,正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。,二、概念形成,概念1.平面的法向量,例子：,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。,待定系数法,例题,例1：已知点，其中求平面 的一个法向量。,二、概念形成,概念3.平面的
3、向量表示,空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。,设A是空间任意一点，为空间任意一个非零向量，适合条件 的点 M 的集合构成什么样的图形？,我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。,称此为平面的向量表达式。,二、概念形成,概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直,设 分别是平面 的法向量，则有,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA平面A1FD1。,二、概念形成,概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直,例子,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个
4、平面的法向量互相垂直。,射影：已知平面 和一点A，过点A作 的垂线 与 交于点，则 就是点A在平面 内的正射影，也可简称射影。,二、概念形成,概念5.用法向量证明“三垂线定理”,预备知识：,斜线在平面上的正射影：设直线 与平面 交于点B，但不和 垂直，那么直线 叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点B叫做斜足。,斜线在平面上的正射影：在直线 上任取一点A，作A点在平面 内的射影，则平面内直线 叫做斜线 在该平面内的射影。,已知 是平面 的斜线，是 在平面 内的射影,直线 且,二、概念形成,概念5.用法向量证明“三垂线定理”,三垂线定理：,如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂
5、直，则它也和这条斜线垂直。,求证：,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量,只要证,为,逆定理,(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 垂直，则它也和这条斜线垂直(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的 垂直,射影,射影,例题分析：,1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面内的射影，则ab。(),(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线，且b垂直于a在内的射影，则ab。(),三垂线定理,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定
6、的。,第一、定平面(基准面)第二、找平面垂线（电线杆）,第三、看斜线，射影可见,三垂线定理,第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。,强调：1四线是相对同一个平面而言。,2定理的关键是找“基准面”和“电线杆”。,例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C是平面BDC1的法向量,思路点拨根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理证明BDA1C，C1DA1C.,精解详析在正方体中，AA1平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又ACBD，所以BDA1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影所以C1DA1C.又C
7、1DBDD，所以A1C平面BDC1.,1正三棱锥PABC中，求证：BCPA.,证明：在正三棱锥PABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BCAO，所以BCPA.,小结,1.直线与平面垂直的定义,2.平面的法向量：,3.平面的向量表示：,4.两平面平行或重合、垂直的充要条件,6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理,再见,例.在空间直角坐标系内，设平面 经过 点，平面 的法向量为，为平面 内任意一点，求 满足的关系式。,解：由题意可得,答：aPO,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条
8、斜线垂直。,为什么呢？,三垂线定理,数式板书,例1已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量,思路点拨,平行与垂直关系的向量表示,（1）平行关系,设直线l，m的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，,线线平行,线面平行,面面平行,新知探究,（2）垂直关系,设直线l，m的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，,线线垂直,线面垂直,面面垂直,（3）用向量处理平行问题 用向量处理垂直问题,三、应用举例,利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面的法向量平行(或共线)。,三、应用举例,例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：(1)AD1/平面BDC1；(2)AC1平面BDC1。,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向量与直线平行(或共线)的向量垂直；证明直线与平面垂直只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。,
