《例测定恢复系数将一种材料制成小球另一种材料制成.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例测定恢复系数将一种材料制成小球另一种材料制成.ppt（65页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、例：测定恢复系数：将一种材料制成小球，另一种材料制成平板，水平放置，使小球从高度 H 处自由落下。设小球反跳的高度为 h，求该材料的恢复系数。,解：小球在碰撞前后的速度分别为：v10=(2gH)1/2,v1=-(2gh)1/2.而平板在碰撞前后的速度分别为：v20=0,v2=0.两种材料的恢复系数为：e=(v2-v1)/(v10-v20)=(2gh)1/2/(2gH)1/2=(h/H)1/2,例4-1 设质量为 m1的粒子 1以速度 V1与原来静止的粒子 2发生对心的弹性碰撞，粒子2的质量为 m2，碰撞后粒子2的速度为V2。又设粒子 1仍以速度 V1与原来静止的粒子 3发生对心的弹性碰撞，粒子
2、 3的质量为 m3，碰撞后粒子 3的速度为V3。求粒子 1的质量 m1。,解：考虑粒子 1与粒子 2的碰撞动量守恒:m1V1+m2 V2=m1V1+m2 V2 弹性碰撞 e=1：V1-V2=V2-V1 由于 V2=0，可得：V2=2m1V1/(m1+m2)同理可得：V3=2m1V1/(m1+m3),V2=2m1V1/(m1+m2)V3=2m1V1/(m1+m3)消去 V1，可得粒子 1的质量为：m1=(m3V3-m2V2)/(V2-V3)中子的质量最初就是用这个例题所采用的方法测定的。1932年英国物理学家查德威克发现：若用中子分别与氢原子(原子量为 1)的核及氮原子(原子量为14)的核碰撞，
3、则氢原子的核获得的速度是氮原子的核获得的速度的7.5倍。由此查德威克求出中子的质量近似等于氢原子核(质子)的质量。,例4-2 求一均匀细棒相对于(a)垂直于棒且通过棒的一端的轴和(b)垂直于棒且通过棒中心的轴的转动惯量。,解：(a)设L为棒AB的长度，S为棒的截面，假定S非常小，dx小段的体积为dv=Sdx，由每一小段到Y轴的距离为 x，并令密度恒定，则得：IA=LO x2 Sdx=S LO x2 dx=L3S/3 SL为棒的体积 SL为棒的质量故：IA=mL2/3,(b)计算通过质心YC 轴的转动惯量(三种方法)第一种：分段两段，每一段的质量为 m/2，长度为L/2，它们绕YC 轴的转动惯量
4、为,第二种：与(a)中相同，但积分范围是从-L/2到+L/2，我们把这个解留给学生去完成。第三种：利用平行轴定理 IA=IC+md2=IC+m(L/2)2(d=L/2)得：IC=IA-m(L/2)2=mL2/3-mL2/4=mL2/12,例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。,解：质心定理：Mg sin-f=Ma（1）质心转动定律：f R=IC=MK2（2）角量与线量关系：a=R（3）式中K为回转半径。（1）式 R：MgR sin-f R=MRa（4）（3）式代（2）式：f R=MK2 a/R（5）,MgR sin-f R=MR
5、a（4）f R=MK2 a/R（5）（4）式+（5）式：MgR sin=MRa+MK2 a/R=MRa(1+K2/R2)得：a=g sin/(1+K2/R2)v2=2aS=2gsin/(1+K2/R2)h/sin=2g h/(1+K2/R2),例 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。,试求：1.碰撞后系统的角速度；2.碰撞后杆子能上摆的最大角度。,碰撞过程角动量守恒,得：,上摆过程机械能守恒，得：,非保守内力作正功，机械能增加,由角动量守恒,例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高
6、度h处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。,解：因为静摩擦力不作功，所以总能量守恒。起始B点：总能量 E=Mgh在斜面底部：E=MV2/2+IC2/2=MV 2/2+MK2 V2/R2/2=M(1+K2/R2)V2/2式中V为质心平动速度，K为回转半径。,总能量守恒：M(1+K2/R2)V2/2=Mgh,换句话说，球体向下滚得最快，其次是圆柱，最慢的是圆环。重要结果：均匀物体沿着具有一定斜率的斜面无滑动滚下时，其速率与物体的质量和实际尺寸大小均无关，仅取决于物体的形状。,例4-5 物体沿X轴简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s。当t=0时，位移为 0.06 m，且向
7、X 轴正方向运动。求运动表达式，并求以 x=-0.06m处回到平衡位置所需的最少时间。,解：已知 A=0.12 m，T=2 s，=2/T=(rad/s).(1)初态 t=0 时，x=0.06，v 0，初相=/3,运动表达式为：x=0.12 cos(-/3)(m),(2)当 x=-0.06 m时，物体在旋转矢量图中的位置可能在 B 或 B处，显然 B 处回到平衡位置 C 处所需时间为最少。因为 OB 与 OC 夹角为=/6，所以最少时间为：t=/=(/6)/=1/6 秒,、,0,0,0,=,3,1,1,0,1,=,2,1,=,t,1,+,=,1,3,=,2,=,5,6,x,A,3,A,2,x,x
8、,A,A,2,1.0,0,t,t=0时,x,=,A,2,v,t=1时,x,=,0,v,=,d,x,d,t,以及振动方程。,求：,例 一谐振动的振动曲线如图所示。,x=A cos(,5,6,t,3,),本题,3,2,A,x,A,t=1,t=0,2,+,3,2,=,T,1,T,=,12,5,的另一种求法：,b,0,b,x,例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。,自然长度,b,平衡位置,0,x,x,任意位置时小球所受到的合外力为：,=,k,m,g,b,=,0,0,x=b cos(,g,t+),b,
9、当,得,t,0,x,b,A,=,=,=,:,v,0,=,b,=,可见小球作谐振动。由,得：,mg-kb=0,F=mg-k(b+x)=-kx,例4-7 在一轻弹簧下端悬挂 mo=100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm，现在这根弹簧下端悬挂 m=250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm，并给以向上 21cm/s 的初速度（这时 t=0）。选 x 轴向下，求振动方程的表达式。,解：k=mog/l=0.1100.08=12.5 N/m=(k/m)1/2=(12.5/0.25)1/2=7 rad/s初始条件：t=0,xo=0.04 m,vo=-0.21 m/s A=(xo2+
10、vo2/2)1/2=0.05 m tg=-vo/xo=-(-0.21)/(7 0.04)=0.75=0.64 rad振动方程:x=0.05cos(7t+0.64)m,例4-6 单摆 Simple Pendulum：单摆的运动是简谐振动的一个典型的实例。单摆定义为质量为m的质点用一长为 l 而其质量可忽略的细绳悬挂在固定点O 的系统。,解：由于拉力 T v，T 不作功，故质点在摆动过程中机械能守恒。设在平衡位置C点的势能为零，则质点在A点的机械能为：EM=mv2/2+mgl(1-cos),因为=l d/dt 代入上式整理得：EM=ml 2(d/dt)2/2+mgl(1-cos)=恒量对上式两边对
11、时间求导整理可得：d2/dt2+g sin/l=0 在一般情况下，单摆的摆动不正好是简谐振动。但是，如果摆动的角度 很小时，sin(在 10内)，这样上式可改为：d2/dt2+g/l=0 表明在小角度的范围内，单摆的角位移作简谐振动。圆频率：周期：,例4-8 复摆 Physical Pendulum：复摆是能够在重力作用下绕水平轴自由振荡的任意刚体。ZZ水平轴，C为物体质心，质量为 mg。,解：转动定理 MZ=I MZ=-mgb sin=d2/dt2 I d2/dt2=-mgb sin 假定振动是小振幅的，sin，利用 I=mK2，式中K为摆的回转半径，得：d2/dt2+gb/K2=0表明在
12、小范围内，角运动是简谐振动 2=gb/K2,2=gb/K2因此，振动的周期为,其中 l=K2/b叫做等效单摆长度 Length ofthe equivalent simple pendulum，因为具有这个长度的单摆，其周期与复摆的相同。可以看出，复摆的周期与其质量无关，也与其几何形状无关，只要 K2/b保持相同。,习题4-17 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的相位差为-=/6，若第一个简谐动的振幅为 17.3 cm，试求：1、第二个简谐振动的振幅 A22、第一、二两个简谐振动的相位差 1-2,解：已知 A=20 cm A1=17.3 cmA2=A2
13、+A12-2AA1cos(-)1/2=10 cm,A2=A12+A22+2A1A2 cos(1-2)cos(1-2)=A2-A12+A22/2A1A2=0 2 1=/2 1 2=/2,例4-9 试用等效弹性常数重新计算例4-6单摆的周期,解：单摆的势能:EP=mgl(1-cos)，其极小值位置=0，单摆离开平衡点的水平位移x=l sin，因此：,单摆的圆频率:,周期:,例:两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，静止时两球恰好能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为 e，若球 A 自高度 h1 释放，求该球碰撞后能达到的高度。,mvA0=mvA+mvBvA-vB=-e vA0,vA=(1-e
14、)vA0/2 0vB=(1+e)vA0/2 vA,mghA=m vA2/2mghB=m vB2/2,hA=vA2/2ghB=vB2/2g,hA=(1-e)2 h1/4hB=(1+e)2 h1/4,解：A球与 B球碰撞前一刻的速度为 vA0=(2gh1)1/2，碰撞后两者的速度分别为 vA，vB。,hB hA,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时
15、间为：（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8解：=t t=/,X,O,=T/2,A,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8解：=t t=/,X,O,=T/2,A,to,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8解：=t t=/,X,O,=T/2,A,to,to+t,A/2,A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡位
16、置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8解：=t t=/=(/6)/(2/T)=T/12 答案（B）,A-5 一质量M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置 6cm处速度为 24cm/s，求（1）周期 T；（2）当速度为 12cm/s 时的位移。解：（1）设振动方程为：x=Acos（+）6=12 cos（+）v=A sin（+）24=12 sin（+）62+（24/）2=122 1/=（122-62）1/2/24=0.433 s T=2/=0.866 s,（2）设速度 v=12 cm/s 时
17、，位移为 x x=12 cos（+）12=12 sin（+x2+（12/）2=122 x=122-（12/）2 1/2=10.82 cm 或 x=-10.82 cm,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t=0），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB=10cm。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t=0），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后
18、质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB=10cm。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t=0），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB=10cm。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t=0），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过
19、B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB=10cm。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t=0），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB=10cm。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：,A-6 一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（t=0），经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该
20、质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 AB=10cm。求：1、质点的振动方程；2、质点在 A 点处的速率。解：1、由旋转矢量图和 vA=vB可知 T/2=4s，即 T=8s=2/T=/4 rad/sAO=BO=AB/2=10/2=5cm,因为 21=t 所以 1=t/2=(/4)(4-2)2=/4初相=+1=+/4=5/4振幅 A=AO/cos(/4)=5 0.707=7.07 cm所以，质点的振动方程为：x=7.07 cos(t/4+5/4)cm,A-3 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为（A）/6（B）5/6（C）-5/6（D）
21、-/6（E）-2/3,因为=+/2=-/3 所以=-/2-/3=-5/6 答案（C）,A-9 在一轻弹簧下端悬挂 mo=100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm，现在这根弹簧下端悬挂 m=250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm，并给以向上 21 cm/s的初速度（这时 t=0）。选 x 轴向下，求振动方程的表达式。,解：k=mog/l=0.1100.08=12.5 N/m=(k/m)1/2=(12.5/0.25)1/2=7 rad/s初始条件：t=0,xo=0.04 m,vo=-0.21 m/s A=(xo2+vo2/2)1/2=0.05 m tg=-vo/xo=-
22、(-0.21)/(7 0.04)=0.75=0.64 rad振动方程:x=0.05cos(7t+0.64)m,A-10 有一水平放置的板，在此板上放有一物体，沿水平方向作简谐振动 T=0.5 秒。物体与板之间的摩擦系数为 0.5，试问要使此板上的物体不致滑动的最大振幅为多少？若将此板改为垂直方向作简谐振动，振幅为 5 cm，要使物体一直保持与板接触的最大频率为多少？,解：静摩擦力最大值为 fsmax=N=mg 振动时，最大加速度值：amax=2A(1)不打滑条件：板上物体的加速度有静摩 擦力提供。Fsmax=mamax mg=m2Amax,故：Amax=g/2=gT2/42=0.59.80.5
23、2(43.142)=0.032 m(2)垂直方向上下振动时，物体在垂直方向 受的力为(向下为正值)：F合=mg-N=mamax=m 2A不接触时，N=0 mg=m2maxA max=(g/A)1/2=(9.8/0.05)1/2=14 rad/smax=/2=14/23.14=2.2 Hz,A-8 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k=24 N/m，重物的质量 m=6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 F=10 N 向左作用于物体(不计摩擦)，使之由平衡位置向左运动了 0.05 m，此时撤去力 F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。,解：设物体运动方程：x=A
24、cos(t+)A外=Fx1=10 0.05=0.5 J,功能原理：A外=E=EP=kx2/2x=-(2A外/k)1/2=-(2 0.5/24)1/2=-0.204 m=(k/m)1/2=(24/6)1/2=2 rad/s t=0,xo=x=-0.204 m,vo=0A=(xo2+vo2/2)1/2=0.204 mtg=-vo/xo=0=故 x=0.204 cos(2t+)m,A-11 一劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。今有一质量也为 m 的物体 B 自距今A 为 h 高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，(1)证明碰撞后系统作简谐振动。(2)
25、试求其振幅 A、周期 T及初相。,B,A,h,L,A-11 一劲度系数为 k的轻弹簧，其上端与一质量为 m 的平板 A 相联，且板 A 静止。今有一质量也为 m 的物体 B 自距今A 为 h 高处自由落下，与 A 发生完全非弹性碰撞，(1)证明碰撞后系统作简谐振动。(2)试求其振幅 A、周期 T及初相。,解：物体 B自由落下 h 高时，速度为 v=(2gh)1/2 设 A、B碰撞后共同速度 u动量守恒：mv=(m+m)u故 u=v/2=(gh/2)1/2,碰撞后，平衡位置 O为原点，垂直向下 X为轴正方向。平衡时，弹簧静压缩量=2mg/k当系统处于任一位置 x 时，牛顿第二定律：2mg-k(x
26、+)=2md2x/dt2-kx=2md2x/dt2 d2x/dt2+(k/2m)x=0,故碰撞后系统作简谐振动。=(k/2m)1/2,T=2/=2(2m/k)1/2 t=0,xo=-mg/k,vo=u=(gh/2)1/2,故碰撞后系统作简谐振动。=(k/2m)1/2,T=2/=2(2m/k)1/2 t=0,xo=-mg/k,vo=u=(gh/2)1/2 A=(xo2+vo2/2)1/2=mg(1+kh/mg)1/2/ktg=-vo/xo=(kh/mg)1/2=+tg-1(kh/mg)1/2,A-12 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为,(A)k A2(B)k A2
27、/2(C)k A2/4(D)0 解：A弹性力=-(EP末-EP初)=-k(-x)2/2-kx2/2=0答案(D),A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x=6.010-2cos(t/3-/4)(SI)(1)当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半？(2)质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少？,解：(1)势能 EP=kx2/2,总能 E=kA2/2.由题意 kx2/2=kA2/4 x=4.2410-2 m,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x=6.010-2cos(t/3-/4)(SI)(1)当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半？(2)质点从平衡位置移动到此位置
28、所需最短 时间为多少？,解:(2)周期 T=2/=6 s,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x=6.010-2cos(t/3-/4)(SI)(1)当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半？(2)质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少？,解:(2)周期 T=2/=6 s 从平衡位置移动到 x=4.2410-2 m 的最短时间为,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x=6.010-2cos(t/3-/4)(SI)(1)当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半？(2)质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少？,解:(2)周期 T=2/=6 s 从平衡位置移动到 x
29、=4.2410-2 m 的最短时间为,x,-x,O,X,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x=6.010-2cos(t/3-/4)(SI)(1)当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半？(2)质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少？,解:(2)周期 T=2/=6 s 从平衡位置移动到 x=4.2410-2 m 的最短时间为,A-13 一质点作谐振动，其振动方程为 x=6.010-2cos(t/3-/4)(SI)(1)当 x 值为多大时，系统的势能为总能量 的一半？(2)质点从平衡位置移动到此位置所需最短 时间为多少？,解:(2)周期 T=2/=6 s 从平衡位置移动到 x=4.2410-2 m 的最短时间为 T/8=6/8=0.75 s,A-14 一物体作简谐振动，其振动方程为x=Acos(t+/2)，则该物体在 t=0 时的动能与 t=T/8(T 为振动周期)时的动能之比为多少？,解：t=0,x=0,Ek 1=kA2/2,A-14 一物体作简谐振动，其振动方程为x=Acos(t+/2)，则该物体在 t=0 时的动能与 t=T/8(T 为振动周期)时的动能之比为多少？,解：t=0,x=0,Ek 1=kA2/2 t=T/8,=t=T/8=/4,x=-0.707AEk 2=kA2/2-kx2/2=kA2/4Ek 1/Ek 2=(kA2/2)/(kA2/4)=2,
