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1、二、微分的几何意义,一、微分的概念,2.5函数的微分,三、微分的运算法则,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是
2、,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,注:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,例1 求函数yx2在x1和x3处的微分,dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx,例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)dy=f(x0)Dx,解,函数yx2在x1处的微分为,解,先求函数在任意点x 的微分,dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分,dy|x=2,Dx=0.02,=3220.02=0.24,=3x2|x=2,Dx=0.02,当|D
3、x|很小时|Dydy|比|Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段,Dy是曲线上点的纵坐标的增量;,dy是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量.,当x从x0变到x0+Dx时,二、微分的几何意义,则有,从而,导数也叫作微商,自变量的微分,记作,记,d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx,(xm)m xm1(s
4、in x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x(cot x)csc2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)ax ln a(e x)ex,微分公式:,导数公式:,1.基本初等函数的微分公式,三、微分的基本公式和运算法则,微分公式:,导数公式:,2、微分的四则运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,3.复合函数的微分,则复合函数,在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量,例3 ysin(2x1)求dy,2cos(2x1)dx,cos(2x1)2dx,cos(2x1)d(2x1
5、),dyd(sin u),cos udu,若yf(u)uj(x)则dyf(u)du,解,把2x1看成中间变量u 则,例4,解,例5.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例6.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,四、微分在近似计算中的应用,1.函数的近似计算,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值.,解:设,取,则,例7.求,的近似值.,解:,例8.计算,例9.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为
6、V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,2.误差估计,某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x,例10.设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积,解:,计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差.,计算,(mm),练习,1.,4.设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,作业：p-P123 习题2-4,3(4),(7),(8),(9),;4;8(1);9(2),
