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1、,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第三节,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中,已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.,定积分等于被积函数的原函数的增量,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限的函数及其导数,问题：积分上限函数(x)是否可导？若能，其导数等于什么？,则变上限函数,证:,则有,定理1.若,1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,3)变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路.,（微积分基本定理）,说明:,2）初步揭示了积分学中的定积
2、分与原函数之间的联系.,？,？,（1）积分上限本身也是自变量 x 的可导函数，即,若令,则 G(x)由 F(u)，u=(x)复合而成，即,（2）积分上限是常数，积分下限是自变量 x 的可导函数，即,（3）积分上下限都是自变量 x 的可导函数。,积分限为变量的函数求导汇总,例1.求,解:,原式,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证明,在,内为单调递增函数.,证:,只要证,例2.,证,令,例4.,确定常数 a,b,c 的值,使,解:,原式=,c 0,故,又由,得,洛,例5：设,其中，f(x)为连续函数。,解：,例5：设,其中，f(x)为连续函数。,解：,三、牛顿 莱布尼兹公式,(牛顿-莱布尼
3、兹公式),证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数,则,微积分基本公式表明：,注意,进一步揭示了定积分与原函数或不定积分之间的联系.求定积分问题转化为求原函数的问题.,例6.计算,解:,例7.计算正弦曲线,的面积.,解:,例8.设 求,解,例9.求,解：,例10：,因为函数,与所计算的结果矛盾。,这是由于,所以由性质5 知,在积分区间,上不连续,，在 x=0 处为无穷间断，不能用牛顿莱布尼兹公式。,性质5：如果在区间 a,b 上，f(x)0,则,例11：求,解：先去被积函数中的绝对值,例12：设,求 k 值，使,解：因为,故由定积分的可加性有,已知函数,例13.求,解：,由图形可知,思考与判断题,（1）,（2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原 函数，由牛顿-莱布尼茨公式可得结果（）,内容小结,则有,1.微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,2.变限积分求导公式,备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数,设,则,故应用积分法定此常数.,2.设,证：,试证:当,时,=o().,所以=o().,洛,作,业,P 234,习题5-3:2(1,3),4,5,6(1),10(3,4),13,16,高数A,
