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1、第七章 线性变换,学时：22学时。教学手段：讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的：基本内容：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵；特征值与特征向量；对角矩阵；线性变换的值域与核；不变子空间；若当标准形；最小多项式。教学目的：1、理解线性变换的定义与运算。2掌握线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念。3了解线性变换的值域与核、不变子空间。4熟悉若当标准形、最小多项式。本章的重点和难点：重点：线性变换的定义与运算，线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念；难点：若当标准形、最小多项式。,7.1 线性变换的定义,一.线性变换的定义及实例,定义1 映射
2、A：VV称为线性空间V上的一个变换；V上的变换A 称为线性变换，如果 对任意的,V,对任意的kP,1)A(+)=A()+A()；2)A(k)=k A().本教材一般用花体拉丁字母A，B，表示线性变换；称如上条件1),2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”；注意与同构映射 f：VW（V，W为线性空间）的异同之处。,例1 S：V2V2,S()=/(按逆时针方向旋转度得/)，（即二维平面上的旋转变换）。设,的坐标分别是(x,y),(x/,y/),则.可以证明，S 是二维平面V2 上的一个线性变换。证明：对任意的,V2,设+=（如图）,S(+)=S()=/=/+/=S()+S()，S(k)=k/=k
3、 S().故S 是V2 上的线性变换.,ke,例6 设V是数域P上的线性空间，kP,定义V上的变换为k(对任意的V)，可以证明该变换为线性变换，称为由数k确定的数乘变换，并用K 表示.当k=1时，即为恒等变换，当k=0时，即为零变换.证明：K 显然是V上的变换.现仅证其为线性变换.对任意的,V,aP,K(+)=k(+)=k+k=K()+K()；K(a)=k(a)=(ka)=a(k)=a K().故 K 是V上的线性变换.,二.线性变换的基本性质,A(a+b)=a A()+b A()；2 A(0)=0,A()=A()；3.A(k11+krr)=k1A(1)+kr A(r)；（保持线性关系不变）4
4、.1,r 线性相关，则A 1,A r线性相关.反之，则不一定.例如零变换 A（）=0（0）.证明：1.A(a+b)=A(a)+A(b)=a A()+b A().,2.A(0)=A(0)=0 A()=0.A()=A(1)=(1)A()=A().据1，易证该等式成立.据题设，存在不全为0的数k1,krP,使得 k11+krr=0 据3.,2.可知 A(k11+krr)=k1 A(1)+kr A(r)=A(0)=0，即A 1,A r线性相关.性质3说明：设=k11+krr A()=A(k11+krr)=k1 A(1)+kr A(r),即与A()具有相同的线性关系.,性质1可修改为如下命题：5.A 是
5、线性变换的充要条件是：A(a+b)=a A()+b A()对任意的V，a,b P.证明：必要性：即性质1.充分性：取a=b=1,则 A(+)=A()+A()；取a=k,b=0,则 A(k)=A(k+0)=kA()+0 A()=kA()，故 A 是线性变换.,7.2 线性变换的运算,L(V)=A A:VV的线性变换,A:VV是线性空间V上的一种运动，变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算，联系及进一步的特征性质。,V,一.L(V)上的加法运算,定义1 对任意的A,B L(V),V,规定(A+B)()=A,()+B()称为A,与B的和，记为A+B.命题1 对任意的A,B,C L(V)A+B L
6、(V),且具有如下性质：(A+B)+C=A+(B+C)；2.A+B=B+A；3.存在O L(V),O+A=A；对任意的A L(V)，存在A L(V),A+(A)=O.据4，可定义 A B=A(B)，故L(V)中有加法的逆运算：减法运算.,证明：首先要证明A+B L(V)，即证明A+B 是V上的变换；且对向量加法和数乘保持不变.,二.L(V)上的乘法运算,定义2 对任意的A,B L(V),V,规定 A,B()=A,(B()称A,B是A,与B 的积，记为A,B.A,与B 的乘法即映射的合成.命题2 对任意的A,B,C L(V)A,B L(V),且具有如下性质：5.(A,B)C A,(B C)；6.
7、A,(B C)A,B A,C；7.(B C)A,B A,C A,；8.EA,A,E A,（为V上的恒等变换）.,证明：首先证明A,B L(V),即A,B 是上的变换，且保持向量加法，数乘运算不变.,据映射合成即知确为V上的变换.对任意的,V,k P,A,B(+)=A,(B(+)=A,(B()+B()=A,(B()+A,(B()=A,B()+A,B()；A,B(k)=A,(B(k)=A,(kB()=kA,(B()=k A,B().故 A,B 是V上的线性变换，即A,B L(V).因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.(A,(B C)()=A,(B C)()=A,(B()+C()=A,(B()+
8、A,(C()=A,B()+A,C()=(A,B A,C)()6.成立.7.同上可证明7.成立.8.显然成立.,注:该命题有以下注意问题,三.L(V)上的数乘运算,定义3 设 kP,A L(V),对任意的V，规定(kA)()=kA()称kA 为k与A 的数量乘法.设K 是L(V)中的数乘变换（见前例6，P274例4）即K()=k，则(kA)()=kA()=K A()即 kA=K A.所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算.本教材即用此定义数乘运算，两种定义方法是一致的.如上定义2是一种定性描述，而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质，使用起来方便.,命题3 对任意的k,lP,A L(V
9、)kA L(V),且具有如下性质：,11.(k l)A=k(lA)；12.k(A+B)=kA+kB；13.(k+l)A=kA+lA；14.(kA)B=k(A B)；15.1A=A.证明：仅证11.其它性质类似可证.（kA L(V)证明略）据kA=K A 可知，(k l)A=(K L)A=K(L A)=k(lA).(其中用到乘法的结合律成立).,据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间.,L(V)上的可逆变换定义4 变换A:VV 称为可逆变换，如果存在B:VV,使得 A B=BA=E.这时称B 为A 的逆变换，记为A 1=B.B:V
10、V 即为A:VV 的逆映射.命题4 A L(V)，且可逆 A 1L(V),规定:16.A n=(A 1)n.16.是一种规定，也可看成是性质.即将A n中的幂指数扩充到整数范围（nZ）.可以证明幂运算的性质9.10.依然成立.,证明：证A 1L(V),即证A 1是V上的变换，且保持向量的加法和数乘运算不变.,A 1显然是V上的变换，关键证其为线性变换.A 1(+)=A 1(A A 1()+A A 1()=A 1(A(A 1()+A(A 1()=A 1(A(A 1()+A 1()=(A 1A)(A 1()+A 1()=A 1()+A 1().A 1(k)=A 1(k(A A 1)()=A 1(k
11、(A(A 1()=A 1(A(kA 1()=(A 1A)(kA 1()=kA 1().故 A 1L(V),五.线性变换的多项式,注:该性质的证明略，注意问题如下:,例1(0)R3,是把向量射到上的内射影变换，则,()x()x R x(x),分析:性质1),2)即7.1节例2.这里仅需证明3),4),5),例2 1）线性空间Pn中，求微商是线性变换(P274例5),显然 D n=0.,2）线性空间Pn中，变元的平移变换S a：Pn Pn，aP,S a(f()=f(+a).易验证S a是线性变换.据泰勒展开式,以上实例说明，线性变换的一些关系可以通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些
12、内在联系及特征性质.,7.3 线性变换的矩阵,一.引入概念,设V是数域P上n维线性空间，1,2,n是V的一组基，A L(V)，则对任意的（V），=x11+x22+xnn,且其中系数是唯一确定的，称为向量在基1,2,n下的坐标.由于 A=A（x11+x22+xnn）=x1 A（1）+x2 A（2）+xn A（n）.故A 完全由 A（1）,A（2）,A（n）有必要研究基1,2,n与其象 A（1）,A（2）,A（n）之间的相互联系.从而得到如下结论：,定理1 设 1,2,n是V 的基 对任意的1,2,nV,存在唯一的A L(V),使得 A i=i,i=1,2,n.分析证明思路：1)存在性：对任意的1
13、,2,nV,存在A L(V),使得 A i=i,i=1,2,n(即 P282，2.).2)唯一性：若另存在BL(V),Bi=i,i=1,2,n A=B(即 P281，1.).,定理意义分析:,(2)设1,2,n是V的基，对任意的V，A L(V),由此看出,研究A 的特征，关键在于研究i与Ai 的关系,这里i,AiV，i=1,2,n,定理1的意义就在于证明了 是满射，从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.,二 的性质,L(V)Pnn,且保持加，减，乘，数乘，可逆性.,三 线性变换下的坐标变换,向量与A在同一基下的坐标变换公式,注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别（见P6.4）,三 A(
14、L(V)在不同基下的矩阵,定理4 A(L(V)在基1,2,n下的矩阵是A A(L(V)在基1,2,n下的矩阵是B(1,2,n)=(1,2,n)X,A A,定义3 A,BPnn,称A相似B，记AB，如果存在可逆矩阵XPnn,使得 B=X1AX,相似关系的性质：1）自反性：对任意的APnn,AA.(存在E Pnn,A=E1AE)2）对称性：AB，则 BA.(AB 存在可逆阵X Pnn，B=X1AX XBX1=X(X1AX)X=A,即存在Y=X1，A=Y1 BY BA）3）传递性：AB,BC,则 AC.(AB,BC 存在可逆阵X,YPnn,B=X1AX,C=Y1BY C=Y1(X1AX)Y=(XY)
15、1A(XY)AC)矩阵的相似关系是P上的等价关系.,4）X1A1X+X1Ar X=X1(A1+Ar)X(X1AX)(X1AX)(X1AX)=X1(A1A2 Ar)X 即 A1B1 ArBr,则 A1+A2+ArB1+B2+Br,A1A2 ArB1B2 Br.5）X1(Ar)X=(X1AX)r(是性质4的特例)6）AB,则 Ar Br(AB B=X1AX 据性质5,Br=(X1AX)r=X1(Ar)X Ar Br).据以上性质得：AB,则 f(A)f(B),f(x)Pnn.(设 f(x)=a0+a1x+anxn,因 AB Ar Ar,r=0,1,n,又由B=X1AX得 kB=k(X1AX)=X1
16、(kA)X,即 kAkB 据性质4知 a0 A0+a1A+anAn a0B0+a1B+anBn，即 f(A)f(B）).,7）（定理5）（1）A(L(V)在不同基下矩阵A，B相似；（2）AB（A,BPnn）,则存在A(L(V)，使A,B是 A 在不同基下的矩阵.,证明：由定理4即知(1)成立.这里仅证(2).AB 存在可逆阵X,使 B=X1AX,又据定理1,有A(L(V),A(1,2,n)=(1,2,n)A 设(1,2,n)X=(1,2,n)因X可逆，故(1,2,n)X 1=(1,2,n)1,2,n 与1,2,n 等价 1,2,n 是V的基,且A(1,2,n)=A(1,2,n)X)=(A(1,
17、2,n)X=(1,2,n)AX=(1,2,n)X1)AX=(1,2,n)X1AX=(1,2,n)B A,B分别是在基1,2,n 和基1,2,n 下的矩阵.,矩阵的相似关系作为Pnn上的等价关系把Pnn分成若干个互不相交的子集 提出问题：对任意的A L(V),找到一个基，使在该基下的矩阵最简单？（这是今后要讨论解决的一个问题）,利用矩阵相似性质可以简化矩阵的运算（如利用如上例题可简化如下矩阵的计算）,7.4 特征值与特征向量,一.特征值、特征向量概念引入,问题：对任意的AL(V),如何找到一个基，使A 在该基下的矩阵最简单？定义4 A L(V),若存在A P，存在(0)V，使得 A=0（1），则
18、称0为A 的特征值，为A 的属于0的特征向量.几何意义：V3中，A 与 在同一直线上，其长度相差|0|倍.特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.,证明：1）A 0 对任意的kP,k0,A(k)kA k(0)0(k).即:凡k都是A 的属于0的特征向量.,2)设是A 的属于特征值1,2 特征向量 A=1=2(1 2)=o 因0,故 1 2=o 1=2.,V=V|A=是V的子空间，称为A 的属于特征值的特征子空间，由A 的属于特征值的特征向量与零向量(非的特征向量)组成.,证明：对任意的 kP,V,A()=A()A()=()V A(k)=kA=
19、k()=(k)kV 故V是V 的子空间.例 取数乘变换K L(V)，对任意的(0)V,kP,K()=k,即V中非零向量均为K 的属于特征值 k 的特征向量，特征子空间即为V.特别当 k=1时,V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特征值的特征向量；当k=0 时,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量.它们的特征子空间均为V.,二.特征值、特征向量的计算,1.命题:设A(L(V)在基1,2,n 下的矩阵A=(aij)nn,则=x11+x22+xnn 是A 的属于特征值的特征向量的充要条件是,该命题说明，是否为A 的特征值，(0)是否为A 的属于的特征向量，关键在于|EA|是否等于0
20、，故有必要研究多项式|EA|的特性 促使引入一下概念：,2.定义5 APnn,是文字，矩阵|EA|的行列式称为矩阵A的特征多项式，记为 fA().fA()=|EA|Px,fA()=n.为A 的特征值的充要条件是fA()=0.,对命题是A 的特征值的充要条件是 fA()=0 的证明分析:,以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为 fA()的根，设0是的特征值，即 fA(0)=|0 EA|=0 如上齐次线性方程组(0EA)X=0 的非零解均为A 的属于特征值0 的特征向量 给出如下课题的思路：,3.求特征值，特征向量的方法（对给定的A）,该实例说明：导数为0的多项式只能是零或非零常数，其中非零常数均
21、为求导线性变换D 的属于特征值0的特征向量.,例4 S：V2V2,S()=/(按逆时针方向旋转 度得/).(即二维平面上的旋转变换,见P274例1).,三 特征多项式 fA()(APnn,P为复数域)的性质,设 f A()在复数域C上有n个根1,2,n（重根按重数计），a1+a2+an=Tr(A),称为A的迹，则1）1+2+n=Tr(A)；（2）12n=|A|.,证明:据根与系数的关系及性质1 1+2+n=a11+a22+ann=Tr(A)成立.12n=(1)n()n|A|=|A|成立.,3.(定理6)n阶矩阵AB，则存在可逆矩阵XPnn,使得 fA()=fB().,证明：AB 存在可逆矩阵X
22、Pnn,使得 B=X1AX fB()=|EB|=|EX1 AX|=|X1(eA)X|=|X1|EA|X|=|X1|X|EA|=|X1 X|EA|=|EA|=fA().,3.说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换A 的矩阵A的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故可将矩阵A的特征多项称为线性变换A 的特征多项式，记为 fA().,AB，则|A|=|B|.,证明:AB fA()=fB()两多项式的常数项相等，即(1)n|A|=(1)n|B|A|=|B|.,定理 6 的逆一般不成立，即 fA()=fB()一般推不出AB|.,但 A，B不相似.因为与A=E 相似的矩阵只能是 A
23、.(设 X1 AX=B B=X1 AX=X1 X=E=A),4.哈密顿 凯莱(Hamilton Caylay)定理:设 fA()是数域 P上n阶矩阵A的特征多项式，则 fA(A)=An(a11 a 22 ann)A+(1)n|A|E=0.,Caylay(1821-1895)英国数学家，天文学家.矩阵论的创立人。1845年发表“线性变换理论”，1858年给出哈密尔顿-凯莱定理.他也是n维几何，高位抽象空间的创立人.在群论和天文学方面也有贡献.1895年卒于英国剑桥.,Hamilton(1805-1865)英国数学家，物理学家.对分析力学做出重要贡献.在数学方面的主要贡献是发现“四元数”，其主要著
24、作为“四元数讲义”.17岁发现“光束理论”。矩阵论的提出，源于四元数的研究,故一般称该定理为哈密顿 凯莱定理.,该定理的证明从略.其意义为:当矩阵A的特征多项式 fA()中的文字 取矩阵数域P上的n阶矩阵X，从而构成矩阵多项式时 fA(X)时，A是该矩阵多项式的根，即 fA(A)=0（零矩阵）.由于 L(V)Pnn,A 与A之间保持运算，故有如下推论成立.,(推论)设A L(V),fA()是A 的特征多项式，则 fA(A)=O.,7.5 对角矩阵,对角矩阵 是矩阵中最简单的一种 哪些A(L(V)在适当的基下,其矩阵是对角矩阵？若A 在某基下的矩阵是对角矩阵，则称A 可对角化 本节问题：什么样的
25、线性变换可以对角化？,(定理1)A(L(V),dimV=n)可对角化的充要条件是：A 有n个线性无关的特征向量.,2(定理8)属于不同特征值的特征向量线性无关.,证明：对特征值的个数n进行归纳.仅一个特征值1时，据定义存在非零向量V，有 A=1成立 显然线性无关.设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，现证属于k+1个不同特征值1,k,k+1的特征向量 1,k,k+1线性无关.设 a11+akk+ak+1k+1=0(1)给等式（1）两边同乘以k+1，得 a1 k+1 1+ak k+1 k+ak+1 k+1 k+1=0（2）给等式（1）两边同施以线性变换A，得,A（a11+akk+ak+1k+1
26、)=a1A 1+akA k+ak+1A k+1=a111+akkk+ak+1k+1k+1=0(3)由(3)(2)得 a1(1k+1)1+ak(kk+1)k+ak+1(k+1k+1)k+1=0 a1(1k+1)1+ak(kk+1)k=0 因 1,k 线性无关(归纳假定)可知 ai(ii)=0,i=1,n 因特征值互异，即ii 0,i=1,n，故得 a1=a k=0 等式(1)为 a k+1k+1=0 由k+1 0 推出 a k+1=0 1,k,k+1线性无关.,3（推论1）A L(V),dimV=n,fA()在数域P中有n个 不同的根，则可对角化.,(推论2)A L(V),dimV=n,fA()
27、在复数域C中无重根，则可对角化.,证明思路与定理8相仿，对特征值的个数k 进行归纳即可，此处从略.关键是正确理解意义.,A(L(V),7.6线性变换的值域与核,一 引入概念,定义6 A(L(V)的值域 A V=A|V；A 的核 A 1(0)=|A=0,V.也将A 的值域和核表示为：A V=ImA,A 1(0)=KerA.,称dimA V为A 的秩，dimA 1(0)为A 的零度.,A V,A 1(0)是 V 的子空间.,证明：对任意的A，A A V，A+A=A(+)，kA=A(k)A V，且A V非空，故A V是V的子空间.对任意的,A 1(0)A=A=0 A(+)=A+A=0，A(k)=kA
28、=0+，kA 1(0),且 A 1(0)非空 故A 1(0)是V的子空间.,例 线性空间 Pxn 中 D(f(x)=f/(x).则 D 的值域为Pxn-1,D 的核为子空间P.,二.值域与核的性质,(定理10)A L(V),1,n是V的基，且 A 在该基下的矩阵为A，则 1)A V=A(L(1,n)=L(A 1,An)；2)A 的秩=A的秩.,A（L(1,n)）=L(A 1,A n),(定理11)A L(V),dimV=n，则 A 的秩+A 的零度=n.,(推论)L(V),dinV=n，则 A 是单射的充要条件为A 是满射,证明思路分析：分三步完成：（1）A 是单射的充要条件为 A 1(0)=
29、0；（2）A 1(0)=0的充要条件为 A V=V；（3）A V=V 的充要条件为A 是满射.,该性质说明：dimA V+dimA 1(0)=n.但此时不能断定A V+A 1(0)=V.例如在 Pxn 中,D Pxn=Pxn-1,D 1(0)=P,D Pxn+D 1(0)=Pxn-1 Pxn.其中，D Pxn D 1(0)=P.即dim(D Pxn+D 1(0)=n1,而dim(D Pxn D 1(0)=1.,例 设APnn，A2=A.证明A相似于一个对角矩阵,7.7不变子空间,一 不变子空间的概念及性质,定义7 A L(V),W是数域P上线性空间V的子空间，称W是A 的不变子空间，简称为A
30、子空间，如果：对任意的W，AW.即 A W W（对线性变换A 封闭）.性质1 对任意的AL(V),V,0是A子空间（例1）.,V,W,A W,性质2 对任意的A L(V),A 的值域A V,核 A 1(0)是A 子空间(例2).证明：对A VVA A V,A 1(0),A=0A 1(0)，故命题成立.性质3 AB=BA，则B V,B 1(0)是A 子空间(例3).证明：对任意的BB V，A(B)=B(A)B V B V是A 子空间.对任意的B 1(0),B=0,要证明 B 1(0)，关键证B(A)=0.而 B(A)=A(B)=A(0)=0,故B 1(0)是A 子空间.同理：A V，A 1(0)
31、是B 子空间.由于A f(A)=f(A)A，故 f(A)V,f(A)1(0)是A 子空间.,性质4 K L(V),则V的任一子空间是K 子空间.V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间.证明：设W是V的任一子空间，对任意的W,由子空间的定义可知，K=kW,故命题成立.性质5 A L(V),W是A 子空间，f(x)Px,则W是f(A)子空间.,性质6 W1,W2是A 子空间，则 W1+W2,W1W2仍是A 子空间.证明：对任意的1+2W1+W2，A(1+2)=A1+A2 W1+W2.对任意的W1W2，AW1且AW2，故AW1W2，所以命题成立.性质7 A L(V),则A 的属于特征值的特征子
32、空间V是A子空间.证明：对任意的V,A=V V是A子空间.性质8 A L(V),则A 有一维A子空间的充要条件是：存在P,对任意的(0)W,A=,且 W=L().,该性质即说：W是A 的一维不变子空间的充要条件是：W是A 的某特征值的一维特征子空间V.,证明：必要性 设W是A 子空间，dimW=1 取W的基，即W=L()A W,即存在P,使得 A=成立.充分性 设A=(0)L()=W显然是V的一维子空间，对任意的W，=x 应有 A=A(x)=xA=x()=(x)=W,即W是一维A 子空间.,二 线性变换在子空间上的限制（AW）,定义 A L(V),W是A 子空间，规定 AW：WW，AW()=A(W),称AW为A 在W上的限制.,实例：1.AA 1(0)是A 1(0)上的零变换.（对任意的A 1(0),AA 1(0)()=A=0）2.AL(V),W是V的子空间，则AWL(W).3.AV是V上的数乘变换.（对任意的V，A=）性质10 AL(V),W=L(1,r)是V的A子空间的充要条件是：A1,ArW.证明：A W=A L(1,r)=L(A1,Ar)，故,三 不变子空间与线性变换的对角化,V分解成A 子空间直和的充要条件：A 在某基下矩阵是准对角矩阵,命题：A 可对角化的充要条件是V可分解成A 的一维不变子空间的直和.,
