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1、,11级15班 雷寅,排列组合与概率初步,引入：两个基本原理,分类计数原理（亦称加法原理）,做一件事，完成它可以有 n 类方案，在第 一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，在 第n 类办法中有 mn 种不同的方法 那么 完成这件事共有 Nm1 十 m2 十 十 mn 种不同的方法,那么从A地到B地的方法有a+b+c种,分步计数原理（亦称乘法原理）,做一件事，需要分成 n 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种 不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2mn 种不同的方法,那么从A地到B地的方法有ab种
2、,从A地到B地须经由C地转车,有何区别？(o?),备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法 都能实现目的,任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同,Example,书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放 有 5 本不同的语文书 1）从中任取一本，取法种数有（）A.5 B.6 C.10 D.11 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？A.5 B.6 C.10 D.30,排列组合,排列,所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序从n个不同元素中，任取m
3、(mn)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列,排列数,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排 列数，用符号 A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!此外规定0!=1,Example,有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成4位位数互不相同的密码，共有多少个不同的密码？,A(9，4)=9!/5!,Example,有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成位数互不相同的四位数，共有多少个不同的密码？,8A(8，3),A(9，4)-A(8，3),组
4、合,组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序从n个不同元素中，任取m(mn)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合,组合数,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!m!)C(n,m)=C(n,n-m),Example,从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会，则不同的选法有多少种？,C(4，2)C(3，2),二项式定理,（a+b)n=C（n，0）anb0+C（n，1）a(n-1）b1+C（n，n）a0bn
5、,二项式定理,（a+b)n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数C（n，r）(r0，1，2，n)叫做二项式系数。,二项式定理,二项展开式的通项公式（简称通项）为C（n，r）(a)(n-r)br，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项,二项式定理与杨辉三角,杨辉三角的第n行就是n项二项式 展开式的系数列,Example,(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为,22C(10,2)-1=179,排列组合综合例题,打包法插空法反面法,打包法,在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素,Example,有8个不同的球，其中红球3个，黑球2
6、个，白球3个，若将这些球排成一列，则红球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的 排法共有多少种？,A(3,3)A(2,2)A(5,5),Example,若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和B不 能相邻，则不同的排法有多少种？,C(3,1)A(2,2)A(3,3)+A(3,2)A(2,2)A(2,2)+A(3,3)A(2,2),插空法,插空法一般用于解决间隔问题（要求某些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的问题），解决此类问题，可以先将其他的元素排号，再将指定的不相邻元素插入他们的空隙及两端位置,Example,若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和B不 能相邻，则不同的排法有多少种
7、？,A(3,3)A(4,2),反面法,含“至多”、“至少”的排列组合问题是需要分类的，有时从反面思考，能够简化运算,Example,在一批共100件产品中，有3件次品，97件 正品，某次质检过程中须从这批产品中抽检3件，则抽到次品的抽法有多少种？,C(100,3)-A(97,3),组合中的分组问题,非平均分组与分配平均分组与分配部分平均分组与分配,非平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师分成三组进行打分，使一组2人、一组3人、一组4人的不同分法共有多少种？,C(9,2)C(7,3)C(4,4),非平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活
8、动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处2人，一处3人，一处4人的不同分法有多少种？,C(9,2)C(7,3)C(4,4)A(3,3),非平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(3)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边2人，南边3人，西边4人的不同分法有多少种？,C(9,2)C(7,3)C(4,4),非平均分组与分配,总结：若n个元素分成m组，m1,m2,.,mm为各组的元素个数且各不相等，则非平均非组的方法种数N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3).C(mm
9、,mm);不定向分配的分法种数M=NA(m,m);定向的非平均分配问题与非平均分组一样,平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师平均分成三组打分，则不同分法有多少种？,C(9,3)C(6,3)C(3,3)/A(3,3),平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师平均分成三组，并分到东、西、南三个位置打分，则不同分法有多少种？,C(9,3)C(6,3)C(3,3),平均分组与分配,总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题，而实际中不含排列问题，故要除以组数的全排列数，而第二问则直接得
10、出了答案。也可以理解为(2)问的答案为(1)问的答案乘以组数的全排列数,部分平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(1)若将9位评委老师平均分成四组打分，一组3人，其余每组2人，则不同分法有多少种？,C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3),部分平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师(2)若将9位评委老师分到东、南、西、北四处打分，一处3人，其余每处2人，则不同分法有多少种？,C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)A(4,4),部分平均分组与分配,某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9
11、位评委老师(3)若将9位评委老师分到四处打分，使东边3人，其余每处2人，则不同分法有多少种？,C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2),部分平均分组与分配,总结：部分平均分组问题先按“非平均分组”列式后再除以等分组的阶乘；部分均匀分配问题可以遵循先分组后排列的原则,概,率,相互独立事件,事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，则称两个事件A、B相互独立,二项分布,用表示随机试验的结果如果事件发生的概率是P,则不发生的概 率q=1-p，N次独立重复实验中发生K次的概率是P(=K)=C(n,k)pk(1-p)(n-k),Example,随机抛掷100次硬币，恰有50次正面朝上的概率是多少？,C(100，50)(1/2)50(1-1/2)50,几何分布,几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在第n次伯努 利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率P(=K)=(1-p)k p,Example,随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出第一次现正面的概率是多少？,(1-1/2)9(1/2),谢谢观赏,何妨袖手闲看704797297,
