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1、三、四章内容提要典型例题分析,数值分析典型例题 II,*,化难为易,化繁为简,化繁为简,初等行变换不改变方程组的解,1.交换矩阵的第i行与第j行的位置,2.以非零数k乘以矩阵的第i行的每个元素,3.把矩阵的第i行的每个元素的k倍加到第j行的对应元素上去,A(n 1)=Fn-1Fn-2F1 A,其中Fk 为 Frobenius矩阵。,A=F1-1F2-1 Fn-1-1 A(n 1),直接方法:高斯消元法,L U,高斯消元法本质是矩阵的分解。,矩阵分解(Top 10 Algorithms),(1)特征值分解:A=CDC,C,D=eig(A),(3)LU分解:PA=LU,L,U,P=lu(A),(4
2、)Cholesky分解:A=LLT,R=chol(A),*,(2)奇异值分解:A=USV,U,S,V=svd(A),(5)非负矩阵分解Learning the Parts of Objects by Non-negative Matrix Factorization,Nature,1999,Demo1,I=imread(monalisa.pgm);U,S,V=svd(double(I);s=diag(S);n1=5;Snew=diag(s(1:n1);zeros(size(s,1)-n1,1);figure,imshow(U*Snew*V,)n2=20;Snew=diag(s(1:n2);ze
3、ros(size(s,1)-n2,1);figure,imshow(U*Snew*V,),*,迭代法思想:,*,Iterate:To say or doagainoragain and again,迭代背后的思想是一种与传统思维模式截然不同的方式,传统思维方式往往希望一遍做好,一次成功;但是迭代开发意味着反复地做,不断地根据反馈进行调整。,*,迭代格式构造,收敛条件(局部vs全局),中止准则,加速(松弛思想),Aitken加速方法 超松弛加速方法,*,共轭梯度法的关键是构造一组两两共轭的方向(第k步迭代生成共轭方向张成k维子空间)。巧妙的是共轭方向可以由上次搜索方向和当前的梯度方向组合产生。,
4、现代迭代方法(Top 10 Algorithms),最速下降法思想简单,但收敛速度慢。本质上因为负梯度方向函数下降快是局部性质。,复杂性:,高斯消元法共用乘法和除法次数为n3/3+n2-n/3,常用记号O表示是多少阶的,则O(n3/3)。,注释2:复杂性对估计求解大型方程组所需的时间有用。例如在一台特定的计算机上求解n=500个方程的方程组所需的时间我们可以通过求解一个n=50个方程的方程组得到一个很好的猜测,即对用掉的时间按比例放大1000倍。,注释1:按O的记法,把n的不同次幂相加的结果仅保留了最高次幂,因为最高次幂决定了当n趋近无穷时的极限形态。换而言之,对于大的n,低阶项对算法的执行时
5、间的估计没有太大影响,仅需要近似估计执行时间时可以忽略不计。,常用的范数:,Hilbert矩阵条件数:for i=1:10c(i)=cond(hilb(i),2);%vander(1:i)end,plot(1:10,c),范数(全局),问题的好与坏,算法的快与慢,|X(k+1)X*|B|X(k)X*|,范数的威力和魅力:,ekT=0 0 1 0 0,=I mkekT,Fk1=I+mk ekT,(k=1,2,n 1),F1-1F2-1 Fn-1-1=,Fk1 Fj1=I+mk ekT+mj ejT kj,F1-1F2-1 Fn-1-1=I+m1 e1T+mn-1 en-1T,例1.,ekTmj=
6、0,kj,例2.设A为对称矩阵。高斯消元法一步后,A约化为,证明 B 也是对称矩阵。,约化主元不为零的判断,定理3.1 约化主元 的充分必要条件是矩阵A各阶顺序主子式不等于零。即,例4.严格对角占优矩阵的约化主元ak,k(k-1)0(k=1,n)。,例3.严格主对角占优矩阵一定是非奇异的。,严格对角占优矩阵:高斯消元法中约化主元不等于零,Jacobi方法,GS方法和SOR方法收敛。,思考:若A是严格对角占优矩阵,当0 w=1时,SOR方法收敛。,例5.Ax=b,其中A对称正定,问解此方程的Jacobi迭代法是否一定收敛？,对称正定矩阵:直接法高斯消元法中约化主元大于零,迭代法GS方法,SOR方
7、法,最速下降方法和共轭梯度法收敛。,例6.,例7.,例8.,病因是条件数大,病症是什么呢?,例9.矩阵的Doolittle分解,A=LU,L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵。,a11=u11,a1n=u1n,a21=m21u11,an1=mn1u11,*,对A的元素aij,当 jk 和 ik+1时,m21u12+u22=a22,m21u1n+u2n=a2n,u22=a22-m21u12,u2n=a2n-m21u1n,m31u12+m32u22=a32,mn1u12+mn2u22=an2,m32=(a32-m31u12)/u22,mn2=(an2-mn1u12)/u22,*,矩阵L和矩阵U的元素
8、计算公式,计算次序,*,更新顺序:先行后列列除行不除旧元素减去所在行和列前k-1分量点乘的加和,Doolittle分解：,更新顺序:先列后行行除列不除旧元素减去所在行和列前k-1分量点乘的加和,Crout分解：,求矩阵的Doolittle分解,*,三对角矩阵分解,*,步骤I:,三对角矩阵分解 A=L U,(k=2,3,n),*,下三角方程组 LY=f,步骤II:,上三角方程组 UX=Y,步骤III:,*,求解三对角方程组的追赶法,*,对称正定矩阵的 Cholesky分解,(1)对于非零向量,xTAx总是正的;(2)A的顺序主子式全大于零;(3)A的特征值全为正实数。help chol,对称正定
9、矩阵:,1)序列收敛2)迭代矩阵谱半径小于13)迭代矩阵特征值全小于1 4)迭代矩阵范数小于15)反证法,迭代法收敛证明思路:,例10.设A是一个可逆矩阵,矩阵序列满足 Xk+1=Xk(2I A Xk)，（k=0,1,2,）则当 时,证明：由Xk+1=Xk(2I A Xk)，得 I AXk+1=I A Xk(2I A Xk)=(I A Xk)2 于是 I AXk=(I A Xk-1)2=(I A Xk-2)22=,例11.,思路:,(1)A1=B(I+R+R2+)；(2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式 Xk+1=Xk R+B(k=0,1,2,)产生的矩阵序列 Xk 收敛到矩阵A-1；(3)对
10、矩阵序列 Xk,有误差估计式,例12.设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I AB。如果|R|q 1,试证明,收敛的w取值范围。,例13.方程组Ax=b,其中A是对称正定阵,讨论迭代格式,思路:,例14.,思路:,续例14.,思路:,例15.,思路:,定理4.1 对任意的f和任意的初始向量X(0)迭代法 X(k+1)=B X(k)+f 收敛的充分必要条件是,例16.,思路:,例17.,思路:-1/2a1/2收敛,-1/2a1时系数矩阵正定。,例18.,例18.,例18.,参考:Writting Fast Matlab Codes,1.中小规模线性方程组x=Ab;%Solves A*
11、x=b,2.(超)大规模线性方程组(Preconditioned cg),作业,题目1:从理论角度(复杂度和收敛性)比较各 种方法的优劣。,*,题目2:从数值角度比较各种方法的性能(公平),题目3:科研或生活中遇到的线性方程组？,提示:,参考代码:Matlab代码Iterative Solver,*,1.如何生成方程组A=gallery(poisson,n);b=ones(size(A,1),1);x0=zeros(size(A,1),1);,2.如何生成方程组矩阵市场:UF Sparse Matrix Collection:,提示:,*,3.更具挑战和趣味的例子图像编辑 参考:Matlab代
12、码Possion图像复原 参考:Deblurring Images:Matrices,Spectra,and FilteringGoogle PageRank 参考:Numerical Computing with MATLAB数据挖掘和模式识别 参考:Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition高光谱图像解混 参考:Sparse Unmixing of Hyperspectral Data医学成像 参考:Mathematical Methods in Image Reconstruction,迭代法思想:,*,To start today,to start now and to ship,make it a habit,迭代背后的思想是一种与传统思维模式截然不同的方式,传统思维方式往往希望一遍做好,一次成功;但是迭代开发意味着反复地做,不断地根据反馈进行调整。,
