数控编程数值计算.ppt

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1、数值计算,数控编程工作的一个重要内容,数值计算的主要内容,编写加工程序中的数值计算是编程工作的一个重要部分，如果计算有误(方法和计算错误)，就不能获得零件要求的加工轮廓，从而出现废品，造成浪费。数值计算的主要内容为：1、基点计算2、节点计算3、列表曲线的数学处理4、刀具中心位置计算 5、辅助计算,结束,直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-1),R,A,B,D,C,E,a,O,一个零件的轮廓曲线可能由不同的几何元素构成，如直线、圆弧、非圆曲线等。基点就是构成零件轮廓的各相邻几何元素的交点或切点，如右图所示。显然，相邻基点间只能是一个几何元素。,直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-2),由于一般数控机

2、床都有具有直线和圆弧插补功能，故对由直线和圆弧组成的平面轮廓，都可以通过调用数控系统的直线或圆弧插补功能来加工。此时，需计算出零件上的所有基点坐标。零件轮廓上的基点可根据零件图上的尺寸标注或通过较简单的计算间接求得。,直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-3),例1如右图中的基点A、B、D、E的坐标，可以通过零件图的标注直接获得，而C点为下列两圆方程的交点，联解两圆方程即可得C点的坐标。,R,A,B,D,C,E,a,O2(xO2,y02),O,O1(xO1,y01),直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-4),例2下图中的基点A、B、C、D的坐标，可以通过零件图的标注直接获得，而E、F点的坐标需要经过

3、计算获得。,R20,A,B,D,C,E,O,F,O1,O2,O3,10,30,20,X,Y,直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-5),F点坐标的计算：,R20,A,B,D,C,E,O,F,O1,O2,O3,10,30,20,X,Y,G,作辅助线 OGOF,则OGGF10且OO320,故 OO3G30,所以有：XF=20cos30=17.321YF=20sin30=10,继续,直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-6),E点坐标的计算：,R20,A,B,D,C,E,O,F,O1,O2,O3,10,30,20,X,Y,作辅助线 FHOO3,则有：YE=20+10=30 XE=XF-FI=XF-EItg3

4、0=XF-(YE-YF)tg30=17.321-(30-10)tg30=5.774,返回,I,H,作辅助线 EIFH,节点计算(2-1),由于一般数控装置只具有直线插补和圆弧插补功能，当零件轮廓曲线两基点间的几何要素为非直线、非圆弧的其它曲线时，则数控机床不能直接进行加工。为了加工这样的零件轮廓表面，需将其分割成若干段，每段用直线或圆弧来代替原曲线。这些用来代替原曲线的直线和/或圆弧称为逼近曲线，而这些直线或圆弧间的交(切)点称为节点。,节点计算(2-2),数控机床在运用逼近曲线进行加工时，除需计算基点外，还应计算逼近曲线上所有节点的坐标，并通过调用直线插补(G01)或圆弧插补(G02或G03

5、)功能来完成整个零件的加工。选用逼近曲线的形状，一方面取决于数控系统所具备的插补功能，另一方面应考虑在保证加工精度的前提下，节点数量尽量少，编程计算简单。逼近线段中最大的误差应小于允差值，一般取零件相应公差的1/51/10。,直线逼近节点计算,1、直线逼近的节点计算 常用的直线逼近方法有等距离直线逼近、等步长直线逼近和等误差直线逼近等。以下介绍等步长和等误差直线逼近法。,等步长法节点计算(7-1),等步长法节点计算,Y,X,y=f(x),O,Rmin,a,、求曲线的最小曲率半径Rmin,求dR/dx，并令dR/dx=0，则可求得Rmin,继续,g,等步长法节点计算(7-2),等步长逼近法节点计

6、算,Y,X,y=f(x),O,Rmin,g,g,f,a,、求插补步长h,作过点g的切线及与其相距 的平行线，与曲线y=f(x)交于点f、g，fg的距离为h。,O为曲线的曲率中心,连接fO和gO,O,由于很小，可以将曲线fgg看成是半径为Rmin的一段圆弧。故有：(h/2)2=Rmin2-(Rmin-)2=2Rmin-2h(8Rmin)1/2,继续,等步长法节点计算(7-3),等步长逼近法节点计算,Y,X,y=f(x),O,a,、求插补节点坐标,继续,b,以b点为圆心，重复步骤，即可求得曲线上的所有节点。,等误差法节点计算(7-4),等误差法节点计算等误差直线逼近方法，即使所有逼近线段的误差相等

7、。此法虽然计算较烦，但程序段少，故应用较多。其计算步骤如下：设零件轮廓上两相邻基点间的曲线为y=f(x)，如右图所示，且逼近曲线段的编程允差为。,Y,X,Y=f(x),O,继续,等误差法节点计算(7-5),Y,X,T,Y=f(x),O,等误差法节点计算,确定编程允差的圆方程，即以起点a(xa,ya)为圆心，为半径作圆：,a,求圆与曲线的公切线PT的斜率k：,P,继续,等误差法节点计算(7-6),Y,X,T,Y=f(x),O,等误差法节点计算,因直线PT为圆弧与曲线的公切线，且点P(xP，yP)、点T(xT，yT)分别在圆和曲线上，故有：,a,P,联解四方程，即可求得xP、yP、xT、yT的值，

8、进而求得斜率k。,继续,等误差法节点计算(7-7),Y,X,T,a1,l,Y=f(x),O,继续,等误差法节点计算,求弦长的方程,a,P,过点a作直线PT的平行线l，与曲线交于a1点。,则直线aa1方程为：,求a1点坐标：,联解右列方程，即可求得a1(xa1、ya1)的坐标。,以a1点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值。,圆弧逼近节点计算(3-1),RA,A,Oa1(a1,a1),Y,X,a1,Y=f(x),O,RA,继续,当采用圆弧逼近曲线时，不但要计算出各逼近圆弧的节点坐标值，还需计算逼近圆弧的圆心坐标及半径。,圆弧逼近节点计算(3-2),RA,A,Oa1(a1,a1),

9、Y,X,a1,Y=f(x),O,RA,继续,曲线用圆弧逼近时，有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等方法。三点圆法是通过已知三个节点求圆，并作为一个圆程序段；相切圆法是通过已知四个节点分别作两相切的圆，编写两个圆弧程序段。这两种方法都必须先用直线逼近方法求出各节点，再求出各圆，计算较烦琐。以下仅介绍曲率圆法。,圆弧逼近节点计算(3-3),RA,A,Oa1(a1,a1),Y,X,a1,Y=f(x),O,RA,继续,曲率圆法是一种等误差的圆弧逼近法，这种方法在决定轮廓曲线上的逼近节点的坐标值时，是使各段圆弧与各相应轮廓曲线间的逼近误差相同。,曲率圆法节点计算(5-1),RA,A,Oa1(a1,a1),Y

10、,X,a1,Y=f(x),O,RA,继续,曲率圆法的步骤如下：设零件轮廓上两相邻基点间的曲线为y=f(x)，如右图所示，且逼近曲线的编程允差为。,曲率圆法节点计算(5-2),Y,X,Y=f(x),O,RA,OA(A,A),继续,求曲线起点A(xA,yA)的曲率半径RA及曲率中心坐标OA（A，A）。,曲率半径RA为：,曲率中心坐标为：,A,曲率圆法节点计算(5-3),RA+,A,Y,X,a1(xa1,ya1),Y=f(x),O,OA(A,A),半径为,继续,求第一个节点a1。,以OA(A，A)为圆心，RA为半径作圆弧与曲线f（x）相交于a1，a1即为所求的第一个节点。,联解右列方程，即可求得a1

11、(xa1,ya1)坐标：,方程中，对所作圆弧的半径RA，如曲线曲率递减，取半径为RA+；如曲线曲率递增，取半径为RA-。,曲率圆法节点计算(5-4),RA,A,O1(1,1),Y,X,a1,Y=f(x),O,RA,继续,求逼近圆弧的半径及圆心坐标值O1(1，1)。,以RA为逼近圆弧的半径，则逼近圆弧圆心的求法为：分别以A(xA,yA)、a1(xa1,ya1)为圆心，以RA为半径画圆，则其交点即为逼近圆弧圆心O1(1,1)。,联解左列方程，即可得圆心坐标值O1(1，1)：,以a1点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值。,曲率圆法节点计算(5-5),RA+,RA,A,O1(1,1)

12、,Y,X,a1,Y=f(x),O,RA,OA(A,A),半径为,曲率圆法节点计算整个过程为：,返回,列表曲线节点的计算(5-1),在上述逼近曲线的数学处理中，基本思想是将曲线用直线或圆弧来逼近，求出节点后用直线插补或圆弧插补编程，从而在一定的编程允差范围内获得零件曲线轮廓。在这种方法中，节点计算是关键，而轮廓曲线方程是节点计算的必要条件。,列表曲线节点的计算(5-2),所谓列表曲线，是指已给出曲线上某些点的坐标值，但没有给出方程。在数控机床加工中，这种零件是经常遇到的，如汽轮机叶片、飞机机冀、机身、船体结构、凸轮、模具等。这些零件的图纸上往往只给出有限个点的尺寸（位置），而并不知道轮廓曲线的解

13、析表达式。因此，用上述逼近曲线的数学处理方法，并不能解决加工这种零件的编程问题。,列表曲线节点的计算(5-3),对于列表曲线的处理，一般的思想方法是：根据已知的几个列表点，在相邻点的区间内构造出一个简单的近似函数y=i(x)来代替该区间内的列表曲线(称为一次拟合)，然后再用上述逼近方法对曲线y=i(x)求逼近直线或圆弧的节点(称为二次拟合)，用以编制该区间内的程序，重复(n-1)次这样的过程(n个点的n-1个区间)，就可编制出列表曲线的全部轮廓加工程序。,列表曲线节点的计算(5-4),构造区间内的函数y=i(x)，应满足下列条件：列表点在曲线y=i(x)上，即列表点满足函数关系；在区间内及端点

14、处，y=i(x)有一阶及二阶连续导数，这可保证连续点处轮廓曲线是光滑的；y=i(x)是低于三次的多次项，以保证二次拟合时计算简单。,列表曲线节点的计算(5-5),近似函数y=i(x)称为插值函数，对于不同的构造插值函数的方法，有不同的列表曲线的拟合方法。常用的方法有牛顿插值法、双圆弧法、样条函数(SPLINE)法等。,双圆弧法节点计算概述(2-1),双圆弧法原则上是在两个相邻的列表点之间用一个(直线)或两个几何元素(圆弧)来逼近轮廓曲线，即插值函数为直线或圆弧。显然，这样的处理使一次拟合即可运用直线或圆弧段插补程序来获得加工轮廓曲线，避免了二次拟合，使编程简单。基于此因素，使双圆弧法成为对列表

15、曲线进行数学处理中应用最广泛的方法。,双圆弧法节点计算概述(2-2),采用双圆弧法对列表曲线进行处理时，除需已知被逼近曲线段的两个给出列表点外，还必须有其两侧的两个列表点(即不少于给出四个列表点)，并根据这四个列表点的相互关系，确定逼近的几何元素是直线还是圆弧。,直线元素的逼近,Y,X,4,O,3,2,1,如右图所示，如果给出的四个列表点P1、P2、P3、P4中，通过相邻两点的连线与X轴的夹角分别为、，若满足,则P2和P3点之间或用直线段P2P3来逼近。,内切双圆弧元素逼近(7-1),Y,X,O,P1,P4,P2,P3,继续,在一般情况下，当给出四个列表点P1、P2、P3、P4时，P2、P3之

16、间可用双圆弧来逼近。根据四个点的不同分布情况，可分别采用内切和外切双圆弧来逼近列表曲线。,内切双圆弧逼近 当列表点P1、P4在点P2、P3连线同一侧时，如右图所示，P2、P3点之间的轮廓曲线可用两个内切圆弧来逼近。,内切双圆弧元素逼近(7-2),Y,X,O,P1,P4,P2,P3,继续,N1,N,N2,内切双圆弧的构成,设P1、P2、P3、P4如右图所示。过P2点作P1P2P3的角平分线P2A2及其垂线P2M；过P3点作P2P3P4的角平分线P3A3及其垂线P3M；过P2点再作P3P2M的角平分线P2N1；过P3点作角P2P3PM的角平分线P3N2；P2N1与P2N2相交于N点。,A2,M,A

17、3,内切双圆弧元素逼近(7-3),继续,内切双圆弧的构成,过N点作P2P3连线的垂线NP，NP与P2A2和P3A3分别交于O2、O3点；分别以O2、O3点为圆心，O2 P2、O3 P3为半径作圆弧C2、C3，两圆弧必内切于N点（因在二圆心的连线上），且P2M主 P3M也分别在P2点和P3点与C2和C3相切。C2、C3即为所求列表点P2、P3之间轮廓曲线的逼近双圆弧。,Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,N1,N,N2,C3,C2,A2,M,A3,P,内切双圆弧元素逼近(7-4),继续,双圆弧的半径及圆心坐标计算,内切双圆弧逼近曲线的两圆弧半径为：,Y,X,O,P1,P4,P2,P3

18、,O2,O3,N1,N,N2,C3,C2,A2,M,A3,P,其中：R2圆弧C2的半径；L2圆弧C3的半径；R3列表点P2、P3之间的距离；、意义如图示。,内切双圆弧元素逼近(7-5),继续,双圆弧的半径及圆心坐标计算,双圆弧的圆心坐标O2（xO2，yO2）、O3（xO3，yO3）为：,Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,N1,N,N2,C3,C2,A2,M,A3,P,显然，列表点P1、P2、P3、P4都是给定的，即各坐标点P1（xP1，yP1）、P2（xP2，yP2）、P3（xP3，yP3）、P4（xP4，yP4）已知，故可求得L2、。,内切双圆弧元素逼近(7-6),继续,L2、

19、为：,Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,N1,N,N2,C3,C2,A2,M,A3,P,内切双圆弧元素逼近(7-7),继续,双圆弧逼近节点（切点）的坐标计算计算,节点N的坐标N（xN，yN）为下列方程组的解：,Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,N1,N,N2,C3,C2,A2,M,A3,P,重复上述过程，就可获得全部列表点之间双圆弧逼近的圆心坐标、半径及其节点坐标。于是，零件轮廓列表曲线的编程问题就可用各相邻点之间的两个圆弧段程序段得到解决。,外切双圆弧元素逼近(5-1),Y,X,O,P1,P4,P2,P3,外切双圆弧逼近 当列表点P1、P2、P3、P4分布情况如右

20、图所示，即点P1、P4在P2、P3连线的两侧时，P2、P3点之间的轮廓曲线可用两个外切双圆弧来逼近。,外切双圆弧元素逼近(5-2),Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,外切双圆弧的构成,设P1、P2、P3、P4如右图所示。过P2点作P1P2P3的角平分线P2A2及其垂线P2M；过P3点作P2P3P4的角平分线P3A3及其垂线P3N；从圆心在P2A2上并在P2点与P2M相切的圆，以及圆心在P3A3上并在P3点与P3N相切的圆中，选取彼此相切的两个圆弧C2、C3，使C2、C3在P点相切，且P点到 P2点的弧长等于P点到P3点的弧长。C2、C3即为所求列表点P2、P3之间轮廓曲线的逼近双

21、圆弧。,A2,A3,M,N,C3,C2,P,外切双圆弧元素逼近(5-3),Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,双圆弧的半径及圆心坐标计算,外切双圆弧逼近曲线的半径为：,C3,C2,其中：L2、意义同内切双圆弧。,P,外切双圆弧元素逼近(5-4),Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,双圆弧的半径及圆心坐标计算,双圆弧的圆心坐标O2（xO2，yO2）、O3（xO3，yO3）为：,C3,C2,其中：L2、意义同内切双圆弧。,P,外切双圆弧元素逼近(5-5),Y,X,O,P1,P4,P2,P3,O2,O3,返回,双圆弧逼近节点（切点）的坐标计算,节点P的坐标P（xP，yP）为下

22、列方程组的解：,C3,C2,重复上述过程，就可获得全部列表点之间的双圆弧逼近的圆心坐标、半径及其节点坐标。,P,刀具中心位置计算(5-1),根据计算所得零件轮廓各基点和坐标及圆心坐标，再利用数控系统刀具补偿功能（G41、G42）并输入刀具半径，即可编制出相应的零件加工程序，完成零件的加工。,刀具中心位置计算(5-2),当数控系统不具备刀具半径自动补偿功能，且用圆形车刀或铣刀加工时，就不能直接按零件轮廓尺寸提供的基点坐标值编程，而要经过一定的数学运算，以补偿刀具半径的影响。对于没有刀具半径自动补偿功能的数控系统，其零件加工程序的编制最常采用刀具中心轨迹基点来编程。,刀具中心位置计算(5-3),R

23、,A,B,D,C,E,e,d,c,b,a,O,右图中，a、b、c、d、e即为刀具中心轨迹的基点。刀具中心轨迹是零件轮廓的等距线，两线的法向距离即为刀具半径r。,刀具中心位置计算(5-4),R,A,B,D,C,E,e,d,c,b,a,O,根据几何关系可知：零件轮廓为直线，且直线方程为：,则其等距线方程为：,式中：r 为刀具半径；等号右边的正负号决定方法为：对于相同的x值，等距线上的y值大于原线的y值时取正，反之取负。如直线平行于y轴，等距线的x值大于原线的x值时取正，反之取负。,刀具中心位置计算(5-5),零件轮廓为圆，且圆方程为：,R,A,B,D,C,E,e,d,c,b,a,O,则其等距线方程

24、为：,式中：r 为刀具半径；等号边项的正负号决定方法为：对于外凸圆弧取正；内凹圆弧取负。根据等距线方程，则可求得刀具中心轨迹的基点。,过渡(5-1),加工时，当刀具由零件轮廓的一个几何表面向相邻的几何表面加工时，存在刀具中心轨迹的过度问题。常用的过渡方式有：由零件轮廓表面的等距线的交（切）点（即基点）直接过渡。,过渡(5-2),r,r,r,r,r,r,R1+r,R+r,R2-r,C,A,B,a,b,c,如下图所示，通过计算，求出零件表面的等距线（即刀具中心轨迹）的交（切）点，并将该交（切）点作为该轮廓表面加工的起（讫）点来编程，即基点的直接过渡。,过渡(5-3),r,r,r,r,r,r,R1-

25、r,R-r,R2+r,C,A,B,a1,b2,c2,a2,b1,c1,基点用圆弧过渡如下图所示，当零件轮廓两相邻表面相交而不相切时，除可以采用直接过渡外，还可以采用圆弧过渡。基点处采用圆弧过渡时，其刀具的运动距离小于采用直接过渡时刀具的运动距离，故加工效率较高。,过渡(5-4),在进行上述刀具中心轨迹编程的数学处理时，其基本问题就是：利用零件轮廓曲线的参数和刀具半径r的值，计算出刀具中心轨迹的基点参数，再利用这些参数编制成零件的加工程序。当因材料、工艺变化或刀具磨损需要更换刀具时，则必须重新对刀具中心轨迹进行数学处理，并重新编制程序。,过渡(5-5),如果能不考虑刀具半径，直接按零件的轮廓参数进行编程，并加工出合格的零件来，就必须使数控装置带有刀具半径自动补偿功能。这种刀具半径自动补偿功能，是靠加工程序中的轮廓数据结合数控系统面板上的键置入的刀具半径r值，由相应的处理子程序进行数学处理后自动完成。数控系统通过软件来自动判断基点处是否需要增加过渡程序段，若需要则自动补加一过渡程序段。这样编程人员编制加工程序时就不必考虑基点处的过渡问题。,返回,辅助计算,辅助计算包括以下内容：增量计算；脉冲数计算；辅助程序段的数值计算。,返回,