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1、1,第十章 曲线积分与曲面积分,目录 下页 返回 结束,习题课,例题选讲,基本内容,2,一、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,首页 上页 下页 返回 结束,3,(1)写出曲线L方程及相应弧微分公式ds,L为参数方程:,L为直角坐标方程：,L为极坐标方程：,对弧长的曲线积分解题步骤：,首页 上页 下页 返回 结束,4,(2)将L的表达式及弧微分公式直接代入曲线积分式,化为定积分,定出积分限.(注:下限小于上限),L为参数
2、方程,L为直角坐标方程,L为极坐标方程,首页 上页 下页 返回 结束,5,(1)直接化为对参变量的定积分,对坐标的曲线积分计算方法：,注:下限对起点,上限对终点,首页 上页 下页 返回 结束,6,(2)利用积分与路径无关的条件,若,则积分只与L的起点与终点有关,故可选取便于计算的路径,如折线段、圆弧段、直线段(结合P、Q考虑).,(3)利用格林公式(适用于封闭曲线)化为定积分.,注:若曲线L不是封闭的,直接计算又困难,可考虑添加 辅助曲线C,使L+C为封闭曲线,再利用格林公式.,首页 上页 下页 返回 结束,7,(4)利用斯托克斯公式(适用空间封闭曲线积分).,利用行列式记号可记为：,首页 上
3、页 下页 返回 结束,8,或：,注:格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面闭区域 D(空间曲面)上重积分(曲面积分)与边界曲线 上曲线积分之关系.,首页 上页 下页 返回 结束,9,(1)利用对称性简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,2.基本技巧,对于曲线积分,下面四个条件等价:,首页 上页 下页 返回 结束,10,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,其中,为有向曲线L上点(x,y)处的切向量的方向角.,(4)利用斯托克斯公式;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,首页 上页 下页 返回 结束,11,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对
4、坐标),转化,二重积分,(1)统一积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定积分区域,把曲面积分域投影到相关坐标面,首页 上页 下页 返回 结束,12,计算方法,第一类(对面积的曲面积分),首页 上页 下页 返回 结束,13,上侧取正号,下侧取负号.,第二类(对坐标的曲面积分),前侧取正号，后侧取负号.,首页 上页 下页 返回 结束,14,右侧取正号，左侧取负号.,注：对于封闭曲面,可考虑用高斯公式.,首页 上页 下页 返回 结束,15,2.基本技巧,(1)利用对称性简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取
5、平行坐标面的平面),高斯公式反映的是空间闭区域上三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,首页 上页 下页 返回 结束,16,(3)两类曲面积分的转化,其中,为有向曲面上点(x,y,z)处的法向量的方向角.,首页 上页 下页 返回 结束,17,三、例题选讲,解 利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,首页 上页 下页 返回 结束,18,首页 上页 下页 返回 结束,19,解,首页 上页 下页 返回 结束,20,解 因在 上有,故,原式=,首页 上页 下页 返回 结束,21,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,首页 上页 下页 返回 结束,22,解法2,它与L所围区域为D,(利
6、用格林公式),则,添加辅助线段,首页 上页 下页 返回 结束,23,提示:,首页 上页 下页 返回 结束,24,提示:,方法1,利用对称性,首页 上页 下页 返回 结束,25,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,首页 上页 下页 返回 结束,26,且取下侧,提示:以半球底面,原式=,记半球域为,高斯公式有,为辅助面,利用,首页 上页 下页 返回 结束,27,证 设,(常向量),则,首页 上页 下页 返回 结束,28,解 取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分,且取下侧,则,首页 上页 下页 返回 结束,29,第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得,首页 上页 下页 返回 结束,30,思考题,1)二重积分是哪一类积分?,答:第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的曲面积分与 曲面 的侧有关,首页 上页 返回 结束,
