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1、1.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,两平行直线,两相交直线*,平面图形,1、用几何元素表示平面,直线及线外一点,2.迹线表示法(见书本P33)空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影,平面/投影面投影反映实形面,平面投影面投影积聚成直线,平面投影面投影类似原平面,各种位置平面的投影(三类七种情况),投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与
2、三个投影面都倾斜,铅垂面,投影特性：1.abc积聚为一条线，与OX、OYH的夹角反映、角；2.abc、abc为ABC的类似形；,1）投影面垂直面的投影,正垂面,投影特性：1.abc 积聚为一条线，与OX、OZ的夹角反映、角；2.abc、abc为 ABC的类似形。,侧垂面,投影特性：1、abc积聚为一条线，与OYW、OZ 的夹角反映、角；2、abc、abc为 ABC的类似形。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,2.另两个投影面上的投影有类似性。,是什么
3、位置的平面？,投影特征：一斜两类似,水平面,投影特性：1.abc/OX、abc/OYW，分别积聚为直线;2.水平投影abc反映 ABC实形。,2）投影面平行面的投影,正平面,投影特性：1.abc/OX、abc/OZ，分别积聚为直线；2.正面投影abc反映 ABC实形。,投影特性：1.abc/OYY、abc/OZ，分别积聚为直线；2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。,侧平面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。,2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影特征：两线一实形,一般位置平面,投影特性 1.abc、abc、abc
4、 均为 ABC的类似形；2.不反映、的真实角度。,3）一般位置平面的投影（三类似）,例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。,a,b,a,b,投影面平行面:两线一实形投影面垂直面:一斜两类似,平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,平面上取点,若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。,即：点在
5、线上，则点在面上。,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线(细实线)求解,例2 已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。,e,e,点D不属于平面ABC,e,e,点D属于平面ABC,例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。,d,e,求线先找两已知点，求点先找已知线。,a,a,b,c,c,b,f,e,f,d,1,2,1,2,四、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。,两直
6、线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影不一定反映直角。,直角投影定理,即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。,小结,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面（三类似）,投影面垂直面（一斜两类似）,投影面平行面（两线一实形）,三个投影为边数相等的类似多边形。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。另外两个投影为类似多边形。,在其平行的投影面上的投影反映实形。另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线(P27-30),1.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交（垂直）。,一、平行问题,直线与平面平
7、行,平面与平面平行,直线与平面平行,即：将线面/，转化为线线/,直线与平面平行,1.当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影，如图。,2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的积聚性投影在同面投影上。,特殊情况：,例1：过A点作平面平行于线段BC。,作图：ad/bc，ad/bc故，BC/平面DAF,分析：线线/，则线面/；过A点做直线AD/BC。,可过A点任意作直线AF,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,有无数解,分析:过M点作一条/平面内的任意直线的直线,即得.,例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。,正平线,c,b,a,m,a,b,c,m,唯
8、一解,分析:在平面ABC内作一条正平线,MN/此正平线,即得.,例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,2.两平面平行,平行,举例,例 判断下列两平面是否平行,不平行,直线与平面相交(实物),直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，且交点是直线与平面可见与不可见的分界点。,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡的可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个元素处于特殊位置的情况（直线特殊或者平面特殊）。,二、相交问题,（
9、1）.直线与平面相交（平面为特殊位置）,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1.空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性（V面）,由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上kn为可见。再根据:交点是可见与不可见的分界点，求得k m 上一段不可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),2.作图,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性,（2）直线为特殊位置,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,1.空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投
10、影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性（V面）用重影点判断,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),2.作图,用面上取点法,两平面相交(实物),两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点，交线是两平面可见与不可见的分界线。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）。,判别两平面之间的相互遮挡的可见性。,（1）两平面都为特殊平面,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c
11、,f,d,b,e,a,m(n),1.空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。,求交线,判别可见性（H面）,2.作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,例1：求两平面的交线MN，并判别可见性。,（2）.其中一平面为特殊平面,F,B,A,C,E,H,a,b,c,M,N,m,n,P,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1.空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与efh的交点m、b c与efh的交点n,即为两平面的两个共有点的正面投影，故mn是MN的正面投影。,求交线,判别可见性
12、(H面),mnb在efh上面，故水平投影mnb可见，其他可见性可根据投影特点得出。,2.作图,（2）.其中一平面为特殊平面（求交线MN）,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,三、垂直问题,1.直线与平面,与铅垂面垂直的直线为水平线,H面;与正垂面垂直的直线是正平线,V面.,与铅垂线垂直的平面是水平面,V;与正垂线垂直的平面是正平面,H.,1）平面特殊投影面垂直面的直线是投影面平行线，并在平面积聚性投影上反映直角；即,2）直线特殊投影面垂直线的平面是投影面平行面，并在平面积聚性投影上反映直角；即,作点A到平面CDEF的距离？（EFD呢？）,2.平面与平面垂直,只介绍两个投影面垂直面相垂直：它们的交线为投影面的垂直线，且在积聚性的投影反映直角;,下面举例,
