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1、第三章 复变函数的积分,第3节 柯西积分公式,柯西积分公式,高阶导数公式,设B为单连通域,f(z)在B内解析,z0B,在C内部作CR:|z-z0|=R(取其正向),绕z0的任一正向简单闭曲线,则,设C为B内,B,C,一、柯西积分公式,定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内部的任一点,则,D,C,证明:由于f(z)在z0连续,D,C,CR,z,z0,R,且 Rd.,故任给e 0,存在d 0,当|z-z0|d 时,|f(z)-f(z0)|e.,在C内部作CR:|z-z0|=R(取其正向),=0,柯西积分公式,特别,如C
2、:|z-z0|=R,z=z0+Reiq,则上式成为,说明:,1)这里的D可为单连通域，也可为多连通域；,只要 f(z)在简单闭曲线C及其所围的区域内解析,且z0在C的内部,则,柯西积分公式也成立。,2)柯西积分公式的含义,3)柯西积分公式的应用:可求积分,a)f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,b)z0在C的内部.,要注意:,函数在C内部任一点的值可用它在边界上的值通过积分唯一确定。,例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值:,例2：求,其中C为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线.,如果各阶导数存在,并且导数运算可在积分号下,进行,则,由,解析函数的积分表达式为,(1)解析函数是否存在各阶
3、导数?,(2)导数运算可否在积分号下进行?,高阶导数公式.,二、高阶导数公式,高阶导数公式,定理(高阶导数公式)设函数f(z)在区域 D内解析,z0 在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线,且C的内部全含于D,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且,说明:,1)解析函数具有任意阶导数；,可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一,2),确定。,说明:,3)高阶导数公式的应用:可求积分,a)f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,b)z0在C的内部.,要注意:,高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,证明 首先考虑n=1的情形.因为z0在C的内部,故当|z|适当小时,z
4、0+z也在C的内部.所以应用,于是,可知,因为f(z)在C上解析,所以在C上连续,故有界.,于是存在M 0,使得|f(z)|M.又因为z0 是C,内部区域内的点,所以存在R 0,使,在C的内部区域.,因此当z在C上时,利用类似的方法可求得,证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,例1.求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内,n=3,根据,例2.求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内,n=1,根据,例3.求积分,解.函数 在C内的 处不解析.,在C内分别以i 和-i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,由,其中C是正向圆周,于是,同理,柯西-古萨(CauchyGoursat)基本定理,设
5、B为单连通域，则,f(z)在B内解析,C为 B内任何一条闭曲线。,？,Morera定理,设B为单连通域，,如f(z)在B内连续，,且对 B内任,何一条简单闭曲线C,有,则 f(z)在B内解析。,典型例题,例4.计算积分,解 由,例5.设C表示正向圆周,求,于是 而1+i 在C内,所以,解 根据,当z在C内时,例6.计算积分 其中,解(1)根据,(2)根据,(3)根据 以及前面的结果,解,(1)n 0时,函数 在 上解析.,(2)n=1时,由 得,由 得,可得,(3)n1时,根据,例8.计算积分 其中C是正向圆周,解 因为函数 在C内z=1处不解析,但 在C内处处解析,所以根据,作业,P59：5(3,4);6(3,5,7,9)；7(1,3,5)；8；11;14.P60-61：9；15.,
