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1、Unit 0 課程簡介,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 0 課程簡介,首先，對參與本課程同學致上誠摯歡迎之意。本課程內容具備連貫性，除非不可抗拒因素，請盡可能參與，避免缺課帶來困擾。為避免不必要之困擾，上課時間請將手機關閉，請勿在課堂上接聽或擅自離開影響他人。為維護整潔起見，除解渴飲料外，請勿攜帶其他食物進入教室。,Unit 0 課程簡介,課程名稱：邏輯(LOGIC)上課教室：博雅館 103 上課時間：Mon 5,6 授課教師：傅皓政(Fu,Hao-Cheng)E-mail:fhz2faculty.pccu
2、.edu.tw Office:中國文化大學(大典館308-3)TEL:(02)28610511#21131 Office hours:Wed,Thu,Fri,10:10-12:00,Unit 0 課程簡介,課程進度2011/09/19：導論：什麼是邏輯？(思考的秘密,pp.5-20)2011/09/26：命題與論證(思考的秘密,pp.22-28)2011/10/03：語句連接詞(思考的秘密,pp.29-40)2011/10/10：命題邏輯語言(思考的秘密,pp.47-51)2011/10/17：真值表法(思考的秘密,pp.55-62)2011/10/24：簡易真值表法、真值樹法(思考的秘密,p
3、p.63-72；89-104),Unit 0 課程簡介,課程進度2011/10/31：簡介公理法與自然演繹法(思考的秘密,pp.80-88)2011/11/07：期中考2011/11/14：後設定理：妥當性與完備性(思考的秘密:pp.112-119)2011/11/21：傳統語詞邏輯(思考的秘密,pp.120-128)2011/11/28：述詞邏輯語言(思考的秘密,pp.136-145)2011/12/05：日常語言與邏輯語言(思考的秘密,pp.146-158),Unit 0 課程簡介,課程進度2011/12/12：述詞邏輯演算：真值樹法(思考的秘密,pp.167-176)2011/12/19
4、：述詞邏輯演算：自然演繹法(思考的秘密:pp.197-212)2011/12/26：描述詞理論(思考的秘密:pp.177-184)2012/01/02：常見的謬誤(思考的秘密,pp.219-238)2012/01/09：期末考,Unit 0 課程簡介,上課指定閱讀書籍：傅皓政(2006)，思考的秘密，台北市：三民書局。,Unit 0 課程簡介,參考書籍：1.Arnold vander Nat,Simple Formal Logic,NY:Routledge,2010.2.Leigh S.Cauman,First-Order Logic,NY:de Gruyter,1998.3.Raymond
5、M.Smullyan,First-Order Logic,NY:Dover,1968,1995.,Unit 0 課程簡介,評分方式：(1)作業成績：30%，本學期預計指派5份作業，每份作業占6%。(2)期中考成績：30%，按照學校行事曆時間進行期中考。(3)期末考成績：40%，按照學校行事曆時間進行期末考。,Unit 1 什麼是邏輯？,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 1 什麼是邏輯？,邏輯乃研究說話的道理的學科。請由直覺判斷以下兩個例子是有道理還是沒有道理的說法。,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一 實例二
6、所有的人都會死；所有的人都會死；蘇格拉底是人。蘇格拉底會死。所以，蘇格拉底會死。所以，蘇格拉底是人。,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一所有的人都會死；蘇格拉底是人。所以，蘇格拉底會死。,會死的,人,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一所有的人都會死；蘇格拉底是人。所以，蘇格拉底會死。,會死的,人,蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一所有的人都會死；蘇格拉底是人。所以，蘇格拉底會死。,會死的,蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,實例二所有的人都會死；蘇格拉底是會死。所以，蘇格拉底是人。,會死的,人,Unit 1 什麼是邏輯？,實例二所有的人都會死；蘇格拉底是會死。所以，蘇格拉底是人。,會死的,人,
7、蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,實例二所有的人都會死；蘇格拉底是會死。所以，蘇格拉底是人。,人,蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,邏輯的目標：(1)對有道理的說話做系統性的研究。(2)增強說話與思考的能力。,Unit 1 什麼是邏輯？,每個人都會花錢，但不是每個人都是經濟學家。但是，懂一些理財的方式應該是不錯的。,Unit 1 什麼是邏輯？,雖然每個人都知道物體會動、看得到光、也會使用電器，但不是每個人都是物理學家。但是，懂得一些物理原理應該是不錯的，至少在使用電器的安全上有些概念。,Unit 1 什麼是邏輯？,每個人也都知道食物放久了不能吃，但並不是每個人都是化學家。但是懂得一些物質變化的原理
8、應該還不錯，至少對於身體健康有些幫助。,Unit 1 什麼是邏輯？,所以，即使每個人都會說話，也大概能夠以直覺判斷說話有無道理，但並不是每個人都是邏輯學家。但是，學習關於推理的知識也是不錯的，至少在溝通方面有些助益。,Unit 1 什麼是邏輯？,這裡出現的說話是廣義的。簡單來說，說話就是推理過程。除了日常對話是所謂的說話之外，還包括數學證明、科學定律，甚至算命先生所做的預測都是與推理過程相關。,Unit 1 什麼是邏輯？,道理就是指推理的有效性(validity)而言。,Unit 1 什麼是邏輯？,何謂有效性(validity)？(1)能夠從前提得到結論。(注意，前提可以是空集合)(2)預設人
9、是有理性的，那麼，如果論證是有效的，在接受前提的情況下，不可能不接受結論。,Unit 1 什麼是邏輯？,實例三假設你在某個約會中遲到，當對方問你為什麼遲到？時，什麼理由才算是合理的理由呢？,Unit 2 命題與論證,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 2 命題與論證,論證是由一群語句所形成的集合。論證結構：論證是由前提與結論組成。,Unit 2 命題與論證,結論是我們的主張或要證明的結果。前提則是支持結論的理由。連結前提與結論的語詞，如因此、所以等。,Unit 2 命題與論證,關於論證的重要概念：(1)出現在前
10、提與結論的語句都是命題。(2)論證的形式化。,Unit 2 命題與論證,語句和命題的區別(1)語句：由符號組成的序列。(2)命題：符號序列的意義或內容。,Unit 2 命題與論證,不同的語句可以用來表達同一個命題。現在正在下雨。It is raining.Es regnet.&%!Z$#?,Unit 2 命題與論證,相同的語句可以表達不同的命題。明天會下雨。先借我5000元，我明天還給你。,Unit 2 命題與論證,並非所有有意義的語句都是命題。(1)問句：你今天會去上課嗎？(2)祈使句：去開門。如何判斷某個語句是否為命題呢？,Unit 2 命題與論證,命題是指有真假值的語句。一個簡單的測試方
11、式：對任一語句“S”而言，如果問句“S”為真嗎？是能夠回答的，那麼語句“S”就可以被視為命題。一般而言，什麼樣的語句會是命題呢？其實就是直述句(declarative sentence)。,Unit 2 命題與論證,邏輯研究的對象：論證形式而非個別的論證。(1)蘇格拉底是人(2)蘇格拉底會死 所有的人都會死 所有的人都會死 所以，蘇格拉底會死 所以，蘇格拉底是人,Unit 2 命題與論證,從演繹論證的觀點看：正確的推論：從前提可以推導得到結論，或者說在接受前提的情況下，一定會接受結論。不正確的推論：從前提無法推導得到結論，或者說即使接受前提的情況下，也不一定會接受結論。,Unit 2 命題與論
12、證,比較下列兩個論證：論證形式相同，因此如果(1)是正確推論，(1a)也是正確推論。(1)蘇格拉底是人(1a)傅皓政是老師 所有的人都會死 所有的老師都是人 所以，蘇格拉底會死 所以，傅皓政是人,Unit 2 命題與論證,同樣地，由於論證(2)和(2a)的論證形式相同，因此如果(2)是不正確的推論，(2a)也是不正確的推論。(2)蘇格拉底會死(2a)傅皓政是人 所有的人都會死 所有的老師都是人所以，蘇格拉底是人 所以，傅皓政是老師,Unit 2 命題與論證,論證(1)和(1a)的論證形式。(AF1)S 是 M 所有的 M 都是 P 所以，S 是 P,Unit 2 命題與論證,論證(2)和(2a
13、)的論證形式。(AF2)S 是 M 所有的 P 都是 M 所以，S 是 P,Unit 2 命題與論證,(3)如果今天下雨，則馬路會是濕的。今天下雨了。所以，馬路會是濕的。(3a)如果人類能夠生存在地球上，則地球上會有氧氣。人類能夠生存在地球上。所以，地球上會有氧氣。,Unit 2 命題與論證,(4)如果今天下雨，則馬路會是濕的。馬路會是濕的。所以，今天下雨了。(4a)如果人類能夠生存在地球上，則地球上會有氧氣。地球上會有氧氣。所以，人類能夠生存在地球上。,Unit 2 命題與論證,論證(3)和(3a)的論證形式。(AF3)如果 P，則 Q P 所以，Q,Unit 2 命題與論證,論證(4)和(
14、4a)的論證形式。(AF4)如果 P，則 Q Q 所以，P,Unit 2 命題與論證,兩種論證結構的差異。(AF1)和(AF2)是以語詞(terms)為單位的論證結構。(AF3)和(AF4)則是以命題(propositions)為單位的論證結構。,Unit 2 命題與論證,以論證(1)為例，如果以語詞為單位，該論證結構顯然是正確的推論形式；但是，如果以命題為單位，則該論證結構是不正確的推論形式。(AF1)P Q 所以，R,Unit 2 命題與論證,本課程將由介紹以命題為單位的邏輯系統開始，一般稱為命題邏輯(propositional logic)。在熟悉如何以命題邏輯系統處理推論之後，再學習建
15、構處理能力更強的述詞邏輯(predicate logic)。,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 3 命題邏輯語言,Unit 3 命題邏輯語言,日常語言構成的論證的問題：(1)歧義(ambiguity)(2)含混(vagueness)(3)開放(open),Unit 3 命題邏輯語言,實例：Nobody is perfect.I am a nobody.Therefore,I am perfect.,Unit 3 命題邏輯語言,歧義(ambiguity)：(a)語法歧義(syntactic or structu
16、ral ambiguity)(b)語意歧義(semantic or lexical ambiguity),Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義：根據不同的語句結構解讀方式，同一語句會有不同的意義。例如：下雨天留客天留我不留,Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義的實例：臺大校園內有許多聰明的學生和教授。1.臺大校園內有許多聰明的（學生和教授）。2.臺大校園內有許多（聰明的學生）和教授。,Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義的實例：我們公司有一群勤奮的員工和老闆。1.我們公司有一群勤奮的（員工和老闆）。2.我們公司有一群（勤奮的員工）和老闆。,Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義的實例：本系有三位
17、教授出版了五本書。1.三位教授總出版量是五本書。2.三位教授合著五本書。3.三位教授每人出版五本書。,Unit 3 命題邏輯語言,語意歧義：如果出現在語句中的語詞，會有不同的解釋，則同一語句會有不同的意義。例如：日落香殘，掃去凡心一點；爐邊火盡，須把意馬牢拴。,Unit 3 命題邏輯語言,語意歧義實例：那個女孩臉好正。1.那個女孩的臉蛋很漂亮。2.那個女孩的臉形是正方形。,Unit 3 命題邏輯語言,語意歧義實例：你出門在外，小心那些花花草草。1.你要注意是否有值得記錄的奇花異草。2.你要注意不要勾搭別的女生。,Unit 3 命題邏輯語言,含混性：某個語詞是含混的，若且唯若，存在某些包含該述詞
18、的語句，既無法決定該語句為真，亦無法決定該語句為假。,Unit 3 命題邏輯語言,含混性：以禿頭為例，滿頭秀髮的人顯然不是禿頭，但是，如果一根一根頭髮拔掉的話，遲早會變成禿頭。但是，我們能夠找到用來區分是否禿頭的那根頭髮嗎？,Unit 3 命題邏輯語言,含混性：再以漸層色塊為例，任意挑選兩個鄰近區塊，我們都會同意這兩個色塊顏色相同，但是，這卻違反了我們可以區分紅色與黃色的直覺。,Unit 3 命題邏輯語言,語言開放性：某個語言 L 是開放的，若且唯若，L 允許新的符號或新的解釋。例如：Orz；冏；醬；XD；886,Unit 3 命題邏輯語言,為了避免推論過程無法避免日常語言帶來的困擾，因此，我
19、們需要一個新的形式語言(formal language)。建構此形式語言的目的，至少要避免歧義、含混以及開放性的問題。,Unit 3 命題邏輯語言,適合用來處理命題邏輯的形式語言(Lk)包含兩個部份：(1)由原初符號(primitive symbols,or alphabet)形成的集合。(2)有限的形構規則(formation rules)。（目的在於建構合宜的句式(well-formed formula,wff)。）,Unit 3 命題邏輯語言,命題邏輯的字彙集包含下列幾個部份：(1)語句（或命題）符號：P,Q,R,(2)真值函映（或連接詞）：,(3)輔助符號：(,),Unit 3 命題邏
20、輯語言,命題邏輯語言中的句式都可以經由下列的形構規則建構之。(與 為句式的變量)(1)每個語句符號都是句式。(2)如果 是一個句式，那麼 也是句式。(3)如果 和 都是句式，那麼,也都是句式。(4)除了經由規則(1)-(3)所建構的稱為句式外，沒有其他句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(1)，每個語句符號均視為原子句式。實例：(1)P 是一個原子句式。(2)Q 是一個原子句式。(3)R 是一個原子句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(2)，如果 是一個句式，那麼 也是句式。實例：(1)如果 P 是一個原子句式，那麼 P也是句式。(2)如果 用來代表 P，那麼 P也是句
21、式。(3)所以，像 P、P 等都是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，那麼 也是句式。實例：(1)如果 和 分別代表 P 和 Q，那麼 PQ是句式。(2)由於 PQ 和 QR都是句式，如果和 分別代表 PQ和 QR，那麼(PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，那麼 也是句式。實例：(1)如果 和 分別代表 P 和Q，那麼 PQ是句式。(2)由於 PQ 和 QR都是句式，如果和 分別代表 PQ和 QR，那麼(PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，
22、那麼 也是句式。實例：如果 和 分別代表PQ 和(PQ)(QR)，那麼(PQ)(PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，那麼 也是句式。實例：如果 和 分別代表PQ 和(PQ)(PQ)(QR)，那麼(PQ)(PQ)(PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,上述建構句式的方式稱為遞迴定義(recursive definition)遞迴定義需要的裝置：(1)原始步驟(2)遞迴函數,Unit 3 命題邏輯語言,下列的符號組合並非合宜的句式，請指出其問題。(1)P(2)(PQ)(3)(P(4)P(5)(PQ)(PQ)(QR),Unit
23、 3 命題邏輯語言,直接子句式(immediate subformulae)的定義：(1)語句符號沒有直接子句式。(2)句式 的直接子句式只有。(3)句式、以及 的直接子句式為和。,Unit 3 命題邏輯語言,實例：(1)(PQ)(QR)的直接子句式：PQ、(QR)。(2)(PQ)(PQ)(QR)的直接子句式(PQ)(PQ)(QR)。,Unit 3 命題邏輯語言,練習題：找出下列句式的直接子句式。(1)Q(2)P(3)PQ(4)(PQ)(QR)(5)(PQ)(PQ)(PQ)(QR),Unit 3 命題邏輯語言,子句式(subformulae)的定義：(1)每一個句式本身都是自己的子句式。(2)
24、每一個子句式的直接子句式都是原句式的子句式。(3)每一個子句式的子句式都是原句式的子句式。,Unit 3 命題邏輯語言,如何完整寫出某個句式的所有子句式？方式：逐步分解並消除語句連接詞。,Unit 3 命題邏輯語言,實例：找出(PQ)(QR)的所有子句式(1)直接子句式為 PQ 和(QR)，消除語句連接詞。(2)PQ 的直接子句式是 P和 Q，消除語句連接詞。(3)(QR)的直接子句式是 QR，消除語句連接詞。(4)P的直接子句式是 P。(5)QR的直接子句式是 Q 和 R。,Unit 3 命題邏輯語言,(PQ)(QR)的所有子句式所形成的集合如下：P；Q；R；P；QR；(QR)；PQ；(PQ
25、)(QR),Unit 3 命題邏輯語言,主要連接詞(main connective)的定義：在句式 中用來連接直接子句式的語句連接詞稱為 的主要連接詞。,Unit 3 命題邏輯語言,實例：(1)(PQ)(QR)的主要連接詞為。(2)(PQ)(QR)的主要連接詞為。,Unit 3 命題邏輯語言,練習題：(a)P(b)PQ(c)(PQ)(QR)(d)(PQ)(PQ)(QR),Unit 3 命題邏輯語言,連接詞範圍(scope)的定義：某個語句連接詞的範圍是指在句式 中可以找到該語句連接詞的最小子句式而言。,Unit 3 命題邏輯語言,實例：(PQ)(QR)(1)的範圍是(PQ)(QR)。(2)的範
26、圍是(PQ)(QR)。(3)的範圍是(PQ)(QR)。(4)的範圍是(PQ)(QR)。(5)的範圍是(PQ)(QR)。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,語意學的基本概念就是解釋某個語言中的語詞及語句的意義。從單稱語詞(singular terms)來看，指涉對象就是其語意值。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,通稱語詞(general terms)的語意值就是具有該語詞描述的性質的對象形成的集合(即外延)。語句的語意值則為真假
27、值(truth-value)。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,語意學預設：(a)二值原則，命題具有真假值(也就是命題為真，或者為假)，但不能既真又假，也不能既不真也不假。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,對於二值原則的思考：什麼語句無法給出確定的真假值？(i)明天將會發生海戰。(ii)大衛是勇敢的。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(b)真值函映原則，在古典邏輯中出現的語句連接詞均為真值函映的連接詞。例如，當P為真，Q為真時，PQ顯然為真。而當P和Q兩者有任一為假的時候，則PQ顯然為假。因此，連接詞“”為真值函映的連接詞。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接
28、詞,非真值函映的連接詞例一：I know that P當“P”為真的時候，“我知道 P”可能真也可能假，因為我不會知道所有真的語句。不過，當“P”為假的時候，“我知道 P”為假。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,非真值函映的連接詞例二：It is necessary(possible)that P當“P”為真的時候，“必然 P”可能真也可能假；另外，當“P”為假的時候，“可能 P”也是可能真或者為假。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(c)外延原則，複合語句的真假值是由原子語句的真假值決定，與語句本身的內容或意義無關。以矛盾句為例，PP的真假值一定為假，無論 P 的內容為何
29、。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,根據二值原則，每個命題可能出現的情況有兩種，即真與假。因此，如果僅出現一個命題的語句，只需要考慮兩個可能情況，而出現兩個命題組成的語句，則須考慮22=4 種情況。依此類推，出現 n 個命題的語句，則需要考慮 2n 種可能情況。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：否定號(Negation)其他記號：、。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：選言號(Disjunction)其他記號：互斥選言號(exclusive disjunction),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：連言號(Conjunc
30、tion)其他記號：&、,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：條件號(Conditional)其他記號：、,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：等值號(Equivalence)其他記號：、,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,恆真句(tautology)：考慮語句的所有可能情況，如果該語句在所有可能情況中均為真，若且唯若，該語句為恆真句。實例：(a)P P(b)P P(c)P(Q P),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(a)P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(b)P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(c)P(Q
31、P),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,矛盾句(contradiction)：考慮語句的所有可能情況，如果該語句在所有可能情況中均為假，若且唯若，該語句為矛盾句。實例：(d)P P(e)(P(Q P)(f)P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(d)P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(e)(P(Q P),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(f)P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,偶真句(contingent,indeterminated sentences)：考慮語句的所有可能情況，如果該語句在某些可能情況中為真，其他可能情況中為假，若
32、且唯若，該語句為偶真句。實例：(g)P(h)P Q(i)(P Q)P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(g)P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(h)P Q,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(i)(P Q)P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,命題之間的關係(1)蘊涵關係(implication)(2)等值關係(equivalence)(3)不一致(inconsistency)(4)一致性(consistency),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(1)蘊涵關係(implication)設想某個句式集合1,2,n，以及句式，如果沒有任何情況使得
33、1,2,n皆真而 為假，則稱1,2,n 語意上蘊涵。記法：1,2,n,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,蘊涵關係實例說明：證明方式為當(1 2 n)為恆真句時，若且唯若，上述的蘊涵關係成立。(j)P Q,P Q P(k)P(Q P)(l)P,P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q,P Q P 的蘊涵關係成立，就是設法證明(P Q)(P Q)P 是恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P(Q P)的蘊涵關係成立，就是設法證明 P(Q P)為恆真句。上述的蘊涵關係表示任意命題都蘊涵恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明
34、P,P 的蘊涵關係成立，就是證明(P P)為恆真句。上述的蘊涵關係表是矛盾句蘊涵任意命題。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(2)等值關係(equivalence)對任意兩個句式 與 而言，與 等值，若且唯若 語意上蘊涵 而且 語意上蘊涵。記法：,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,等值關係實例說明：證明方式為當 為恆真句時，若且唯若，與 的等值關係成立。(m)(P Q)(P Q)(n)(P Q)(P Q),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q 與 P Q 是等值的，就是設法證明(P Q)(P Q)為恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要
35、證明 P Q與(P Q)是等值的，就是設法證明(P Q)(P Q)為恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,關於等值關係的重要觀察：(1)所有的恆真句都是等值的。(2)所有的矛盾句都是等值的。你能夠試著說明這兩個說法成立的理由嗎？,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(3)不一致(inconsistency)對任意句式集合 而言，是不一致的，若且唯若沒有任何情況能夠使集合 中的所有語句為真。記法：不一致是使得我們覺得無法信賴說謊的人的重要依據。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,不一致的實例說明：證明方式為當 中的所有句式的連言是矛盾句時，若且唯若，是不一致的。(o)
36、P Q,(P Q),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q與(P Q)是不一致的，就是設法證明(P Q)(P Q)為矛盾句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(4)一致性(inconsistency)對任意句式集合 而言，是一致的，若且唯若至少有一個情況能夠使集合 中的所有語句為真。記法：一致性是寫作或小說創作的重要思考方向。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,一致性的實例說明：證明方式為當 中的所有句式的連言不是矛盾句時，若且唯若，是一致的。(p)P Q,(P Q),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q與(P Q)是一致的，就是設法
37、證明(P Q)(P Q)不是矛盾句。,Unit 5 真值表法,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 5 真值表法,首先，讓我們複習一下，古典邏輯的二值原則預設每個原子命題只可能出現兩個真假值：即真和假。通常以T代表真，而且以F代表假。,Unit 5 真值表法,因此，如果僅出現一個命題的語句，只需要考慮兩個可能情況，而出現兩個命題組成的語句，則須考慮22=4 種情況。依此類推，出現 n 個命題的語句，則需要考慮 2n 種可能情況。,Unit 5 真值表法,所謂的可能情況就是原子命題的各種可能的組合，我們將每個可能情
38、況稱為結構(structure)或模型(model)。例如，P 代表傅老師是男人，那麼有兩個可能情況，一為傅老師是男人的世界；另一則為傅老師不是男人的世界。在第一類可能情況中，P 為真；在第二類可能情況中，P 為假。,Unit 5 真值表法,如果出現兩個原子命題，例如 P 代表傅老師是男人，Q 代表傅老師是好人。那麼，會有四個結構：P Q P Q P Q P QT T T F F T F F,Unit 5 真值表法,不難想像，如果有三個原子命題，那麼就會有 8 個不同的結構：P Q R P Q R P Q R P Q R T T T T T F T F T T F F P Q R P Q R
39、P Q R P Q R F T T F T F F F T F F F,Unit 5 真值表法,根據古典邏輯的外延原則，每個句式的真假值均可由原子命題的真假值決定。論證是一群句式的集合，其結構則為前提與結論。有效論證：不可能出現前提皆真而結論為假的情況。,Unit 5 真值表法,實例說明：考慮下列論證的語意蘊涵關係是否成立(a)PQ,QR,R P(b)PQ,RQ,R P,Unit 5 真值表法：實例(a),Unit 5 真值表法,觀察實例(a)的每個結構，其中能夠符合前提皆真的結構只有第四列，而第四列的結構亦使得其結論為真。因此，根據有效論證的判準，我們找不到前提皆真而結論為假的情況，所以實例
40、(a)的蘊涵關係是成立的。,Unit 5 真值表法：實例(b),Unit 5 真值表法,觀察實例(b)的每個結構，其中第六列的結構使得前提皆真而且結論為假。因此，根據有效論證的判準，有前提皆真而結論為假的情況，所以實例(b)的蘊涵關係是不成立的。,Unit 5 真值表法,實例(b)的蘊涵關係不成立，表示方式如下：PQ,RQ,R P其反例結構為:P Q R F T F,Unit 5 真值表法,基本練習：考慮下列論證的語意蘊涵關係是否成立(c)PQ,P Q(d)PQ,P Q(e)PQ,Q P(f)PQ,Q P,Unit 5 真值表法,(c)(PQ),P Q論證(c)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。
41、,Unit 5 真值表法,(d)PQ,P Q,Unit 5 真值表法,論證(d)為無效論證，亦即語意蘊涵關係不成立：(d)PQ,P Q其反例結構為:P Q F T,Unit 5 真值表法,(e)PQ,Q P,Unit 5 真值表法,論證(e)為無效論證，亦即語意蘊涵關係不成立：(e)PQ,Q P其反例結構為:P Q F T,Unit 5 真值表法,(f)PQ,Q P論證(f)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,進階練習：考慮下列論證的語意蘊涵關係是否成立(g)AB,(BA)A AB(h)MN,N NM(i)P(QP)(j)(CC)D,D,Unit 5 真值表法,(g)AB
42、,(BA)A AB 論證(e)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,(h)MN,N NM,Unit 5 真值表法,論證(h)為無效論證，亦即語意蘊涵關係不成立：(h)MN,N NM 其反例結構為:M N T T,Unit 5 真值表法,(i)P(QP)論證(i)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,(j)(CC)D,D 論證(j)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,真值表法的重要性在於提供一個決定命題邏輯論證有效與否的程序。不過，真值表法的缺點在於如果命題符號的個數過多，那麼真值表法則顯得過分繁複。因此，我們需要一個比較簡單的方法簡
43、易真值表法(short-cut),Unit 5 真值表法,簡易真值表法的操作方法：(1)先假設給定的論證是無效論證，也就是假設前提皆真而結論為假。(2)如果上述的假設會導致矛盾出現，那麼該論證即為有效論證。如果沒有矛盾出現，意思就是至少有一個結構可以使得前提皆真而結論為假，亦即該論證為無效論證。,Unit 5 真值表法,實例說明：(k)PQ,QR,R P(l)PQ,RQ,R P(m)PQ,QP P(n)PQ,PQ Q(o)(PQ)R PR,Unit 5 真值表法,(k)PQ,QR,R P P Q Q R R P T T T F F F F T F 矛盾假設前提皆真且結論為假會產生矛盾，所以上述
44、論證為有效論證。,Unit 5 真值表法,(l)PQ,RQ,R P P Q R Q R P T T T F F F T F T假設前提皆真結論為假不會得到矛盾，因此上述論證是無效論證。反例結構(counterexample)：P Q R F T F,Unit 5 真值表法,(m)PQ,QP P P Q Q P P T T F T T T F F 矛盾假設前提皆真而結論為假會產生矛盾，所以為有效論證。,Unit 5 真值表法,(n)PQ,PQ Q P Q P Q Q T T F T T T T T 假設前提皆真且結論為假不會導致矛盾，所以上述論證為無效論證。反例結構：P Q T T,Unit 5
45、 真值表法,(o)(PQ)R PR(P Q)R P R T F T F T F F 假設前提皆真且結論為假不會導致矛盾，所以上述論證為無效論證。反例結構：P Q R T F F,Unit 5 真值表法,函映完備性(functionally complete)對某真值函映連接詞所形成的集合 而言，如果任意 n 元真值函映均可以用集合 中的真值函映連接詞定義，那麼集合 即具有函映完備性的性質。,Unit 5 真值表法,具備函映完備性的連接詞集合，、，、，、，、,Unit 5 真值表法,DNF 與 CNF到目前為止，我們已經知道如何利用真值表決定語句的真假值。接下來，我們要挑戰的問題是：是否可以經由
46、真值表決定語句？,Unit 5 真值表法,DNF:選言標準形式(Disjunctive Normal Form)定義：某句式被稱為選言標準形式，若且唯若，此句式是由連言作為選言項(disjunct)所組合而成的選言，連言中的連言項均為準原子句式。,Unit 5 真值表法,準原子句式定義：某句式稱為準原子句式，若且唯若，該句式是原子命題或者是只包含一個否定號的原子命題。(1)P,Q,P,Q 等是準原子句式。(2)P,PP,PQ 等不是準原子句式。,Unit 5 真值表法,考慮真值表中的某個可能情況，以原子命題或其否定組合描述該狀態為真，稱之為狀態描述。,Unit 5 真值表法,決定 DNF 的程
47、序藉由狀態描述的觀念，我們可以輕易地找出以該真值表描述的 DNF。將真值表中出現T的狀態描述以選言的方式連接，就是我們所需要的 DNF。,Unit 5 真值表法,DNF 的實例(1)，假設某個真值表如下表所列：,Unit 5 真值表法,根據命題邏輯的語意規則，不難發現實例(1)的句式 其實就是 QP。句式 的 DNF 則寫成下列形式：(PQ)(PQ)(PQ),Unit 5 真值表法,DNF 的實例(2)，假設某個真值表如下表所列：,Unit 5 真值表法,根據命題邏輯的語意規則，不難發現實例(2)的句式 其實就是(PQ)。句式 的 DNF 則寫成下列形式：(PQ)(PQ),Unit 5 真值表
48、法,DNF 的實例(3)，假設某個真值表如下表所列：,Unit 5 真值表法,根據命題邏輯的語意規則，不難發現實例(3)的句式 其實就是套套句，因此可以寫成PP 或 PP等等。句式 的 DNF 則寫成下列形式：(PQ)(PQ)(PQ)(PQ),Unit 5 真值表法,DNF 的實例(4)，假設某個真值表如下表所列：,Unit 5 真值表法,根據命題邏輯的語意規則，不難發現實例(4)的句式 其實就是矛盾句，因此可以寫成(PP)或 PP等等。由於沒有任何一個狀態使得句式 為真，所以我們無法挑出任何狀態描述構成句式 的DNF。,Unit 5 真值表法,Unit 5 真值表法,DNF 的實例(5)，假
49、設某個真值表如下表所列：,Unit 5 真值表法,DNF 的實例(5)當連接詞符號代表的函映關係超過二元時，我們就無法直接以命題邏輯既有的語意規則直接找到符合該真值表的句式。不過，透過決定 DNF 的程序，我們可以找到等值句式 的DNF。,Unit 5 真值表法,實例(5)句式 的 DNF 為下列形式：(PQR)(PQR)(PQR),Unit 5 真值表法,DNF 的實例(6)，假設某個真值表如下表所列：,Unit 5 真值表法,實例(6)句式 的 DNF 為下列形式：(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR),Unit 5 真值表法,DNF 的實例(7)，假設某個真值表如下表所列：,
50、Unit 5 真值表法,根據命題邏輯的語意規則，實例(7)的句式 就是矛盾句，因此可以用(PP)、(QQ)、(RR)的形式，或者 PP、QQ、RR等表示句式。想想看，語句符號 S 並未出現在真值表的原子語句中，那麼可以用、(SS)或 SS 表達句式 嗎？,Unit 5 真值表法,CNF:連言標準形式(Conjunctive Normal Form)定義：某句式被稱為連言標準形式，若且唯若，此句式是由選言作為連言項(conjunct)所組合而成的連言，選言中的選言項均為準原子句式。,Unit 5 真值表法,在真值表中的某行，以原子命題或其否定組合描述該狀態為假，稱之為狀態描述。,Unit 5 真
