物理光学与应用光学(第二版)课件第三章.ppt

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1、第 3 章 光 的 衍 射,3.1衍射的基本理论 3.2夫朗和费衍射 3.3菲涅耳衍射 3.4光栅和波带片 3.5傅里叶光学基础 3.6二元光学概论 3.7近场光学简介例题,3.1 衍射的基本理论,3.1.光的衍射现象 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。,如图 3-1 所示，让一个足够亮的点光源S发出的光透过一个圆孔，照射到屏幕K上，并且逐渐改变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到

2、一个均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影(图3-1(a)；随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应地变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环(图3-1(b)，当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带；此后再使圆孔变小，光斑及圆环不但不跟着变小，反而会增大起来。这就是光的衍射现象。,图 3-1 光的衍射现象,3.1.2 惠更斯菲涅耳原理 惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要内容是:如图 3-2 所示的波源S，在某一时刻所产生波的波阵面为，则面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出球面次波，其后某一时刻的波阵面，

3、即是该时刻这些球面次波的包迹面，波阵面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，但不能说明衍射过程及其强度分布。菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面(例如面)上的各点发出的次波场叠加的结果。这就是惠更斯菲涅耳原理。,图 3-2 惠更斯原理,图 3-3 单色点光源S对P点的光作用,(3.1-1),这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯菲涅耳公式。,当S是点光源时，Q点的光场复振幅为,(3.1-2),3.1.3 基尔霍夫衍射公式 1.基尔霍夫积分定理 假设有一

4、个单色光波通过闭合曲面传播(图3-4)，在t时刻、空间P点处的光电场为,(3.1-3),若P是无源点，该光场应满足如下的标量波动方程：,(3.1-4),图 3-4积分曲面,将(3.1-3)式代入，可得,(3.1-5),式中,k=/c，该式即为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。,(3.1-6),且在面内和面上有连续的一、二阶偏微商(个别点除外)。如果作积分,(3.1-7),其中，表示在上每一点沿向外法线方向的偏微商，则由格林定理，有,式中，V是面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被积函数在V内处处为零，因而,根据 所满足的条件，可以选取 为球面波的波函数：,这个函数除了在r=0 点外，处

5、处解析。因此，(3.1-7)式中的应选取图 3-4 所示的复合曲面+，其中是包围P点、半径为小量的球面，该积分为,(3.1-8),(3.1-9),由(3.1-8)式，有,(3.1-10),对于面上的点，cos(n,r)=-1,r=,所以，,因此,故有,这就是亥姆霍兹基尔霍夫积分定理。它将P点的光场与周围任一闭合曲面上的光场联系了起来，实际上可以看作是惠更斯菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。,(3.1-11),2.基尔霍夫衍射公式 现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。如图 3-5 所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔，用

6、点光源S照明，并设的线度满足Min(r,l),图 3-5球面波在孔径上的衍射,其中Min(r,l)表示r,l中较小的一个。为了应用基尔霍夫积分定理求P点的光场，围绕P点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔，不透明屏的部分背照面1，以P点为中心、R为半径的大球的部分球面2。在这种情况下，P点的光场复振幅为,(3.1-12),下面确定这三个面上的。对于和1面，基尔霍夫假定：在上，的值由入射波决定，与不存在屏时的值完全相同。因此,(3.1-14),式中，A是离点光源单位距离处的振幅，cos(n,l)表示外向法线n与从S到上某点Q的矢量l之间夹角的余弦。,(3.1-13),在不透明屏的背照面1上

7、，E=0,。通常称这两个假定为基尔霍夫边界条件。应当指出，这两个假定都是近似的，因为屏的存在必然会干扰处的场，特别是开孔边缘附近的场。在1上，光场值也并非处处绝对为零。但是严格的衍射理论表明，在上述开孔线度的限制下，误差并不大，作为近似理论处理，仍然可以采用这种假定。对于2面，r=R,cos(n,R)=1,且有,因此，在2上的积分为,式中，是2对P点所张的立体角，d是立体角元。索末菲(Sommerfeld)指出，在辐射场中，,(索末菲辐射条件)，而当R时，(eikR/R)R是有界的，所以上面的积分在R时(球面半径R取得足够大)为零。,通过上述讨论可知，在(3.1-12)式中，只需要考虑对孔径面

8、的积分，即,将(3.1-10)式和(3.1-13)、(3.1-14)式代入上式，略去法线微商中的1/r和1/l(它们比k要小得多)项，得到,(3.1-15),此式称为菲涅耳基尔霍夫衍射公式。与(3.1-1)式进行比较，可得,因此，如果将积分面元d视为次波源的话，(3.1-15)式可解释为：P点的光场是上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅 成正比，与波长成反比；因子(-i)表明，次波源的振动相位超前于入射波/2；倾斜因子K()表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在0与1之间。如果一平行光垂直入射到上，则cos(n,l)=-1,cos(n,r)=cos，因而,当=0时，

9、K()=1,这表明在波面法线方向上的次波贡献最大;当=时，K()=0。这一结论说明,菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设K(/2)=0 是不正确的。,(3.1-16),在上面的讨论中，我们假定了光从光源到P点除有衍射屏外，没有遇到其它任何面，且入射光波是球面波。将这种讨论推广到光波为更复杂形状的情况，结果发现，只要波阵面各点的曲率半径比波长大得多，所包含的角度足够小，则基尔霍夫理论的结果与惠更斯菲涅耳原理推断的结果仍大体相同。进一步考察菲涅耳基尔霍夫衍射公式可以得出：该式对于光源和观察点是对称的，这意味看S点源在P点产生的效果，与在P点放置同样强度的点源在S点产生的效果相同。有时，称这个结论为亥姆

10、霍兹互易定理(或可逆定理)。由基尔霍夫衍射公式的讨论，可以得到关于互补屏的衍射光分布巴俾涅(Babinet)原理。,若两个衍射屏1和2中，一个屏的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分对应，反之亦然，这样一对衍射屏称为互补屏，如图3-6所示。设 和分别表示1和2单独放在光源和观察屏之间时，观察屏上P点的光场复振幅，表示无衍射屏时P点的光场复振幅。根据上述讨论，和可表示成对1和2开孔部分的积分，而两个屏的开孔部分加起来正好是整个平面，因此，(3.1-17)这个结论就是巴俾涅原理。该式说明，两个互补屏在衍射场中某点单独产生的光场复振幅之和等于无衍射屏、光波自由传播时在该点产生的光场复振幅。因为光波自由

11、传播时，光场复振幅容易计算，所以利用巴俾涅原理可以方便地由一种衍射屏的衍射光场，求出其互补衍射屏产生的衍射光场。,图3-6互补衍射屏,由巴俾涅原理立即可以得到如下两个结论：若0，则。因此，放置一个屏时，相应于光场为零的那些点，在换上它的互补屏时，光场与没有屏时一样；若0,则。这就意味着在0的那些点，和的相位差为，而光强度I1(P)和I2(P)=相等。就是说，两个互补屏不存在时光场为零的那些点，互补屏产生完全相同的光强度分布。例如，当一个点源通过一理想透镜成像时，像平面上的光分布除了O点源像点附近外，其它各处强度皆为零。这时，如果把互补屏放在物与像之间，则除O点附近以外，均有I1=I2。,3.基

12、尔霍夫衍射公式的近似 1)傍轴近似 在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学系统光轴夹角极小的傍轴光线。对于傍轴光线，图 3-7 所示的开孔的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离，因此，下面的两个近似条件通常都成立：cos(n,r)1,于是K()1；rz1。这样，(3.1-15)可以简化为,(3.1-18),图 3-7孔径的衍射,2)距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似(1)衍射区的划分为了对距离的影响有一明确的概念，首先考察单色光经过衍射小孔后的衍射现象。图 3-8表示一个单色平面光波垂直照射圆孔的衍射情况。若在离很近的K1处观察透过的光，将看到边缘比较清晰的光斑，其形状

13、、大小和圆孔基本相同，可以看做是圆孔的投影，这时光的传播大致可以看做是直线传播。若距离再远些，例如在K2面上观察时，将看到一个边缘模糊的稍微大些的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时已不能看做是圆孔的投影了。随着观察平面距离的增大，光斑范围不断扩大，但光斑中圆环数逐渐减少，而且环纹中心表现出从亮到暗，又从暗到亮的变化。当观察平面距离很远时，如在K4位置，将看到一个较大的中间亮、边缘暗，且在边缘外有较弱的亮、暗圆环的光斑。此后，观察距离再增大，只是光斑扩大，但光斑形状不变。,图 3-8 衍射现象的演变,从上述衍射现象的演变可以看出，离衍射孔不同距离处，衍射图样是不同的。因此，可将衍射区划分为衍射

14、效应可以忽略的几何投影区、衍射效应不能忽略的近场衍射区(衍射图样形状随距离变化，如K2、K3及其前后的范围)和远场衍射区(衍射图样基本形状保持不变，如K4面所在区域)。当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径愈大，相应的近场和远场的距离也愈远。此外，如果入射光波不是平面波而是发散的球面波，则近场图样将移到更远的距离范围，而远场图样可能不再出现。根据采用的距离近似的不同，衍射区还有另一种划分方法：衍射效应可以忽略的几何投影区，衍射效应不能忽略的菲涅耳衍射区(包括在几何投影区以后的所有区域)，以及衍射图样基本形状保持不变的夫朗和费区。这种衍射区的划分方法认为，夫朗和费衍射只是菲

15、涅耳衍射的特殊情况。,(2)菲涅耳近似和夫朗和费近似用基尔霍夫衍射公式计算衍射孔的衍射时，可以按照离衍射孔距离的不同将衍射公式进行两种不同的近似。下面求出相应的两种衍射的近似计算公式。菲涅耳近似。如图 3-7所示,设，则由几何关系有,当z1大到满足,(3.1-19),时，上式第三项及以后的各项都可略去，简化为,(3.1-20),这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射(或近场衍射)。,在菲涅耳近似下，P点的光场复振幅为,(3.1-21),夫朗和费近似。当观察屏离孔的距离很大，满足,(3.1-22),时，可将r进一步简化为,(3.1-23),这一近似称为夫朗和费近似，在这

16、个区域内观察到的衍射现象叫夫朗和费衍射(或远场衍射)。,在夫朗和费近似下，P点的光场复振幅为,(3.1-24),由以上讨论可知，菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离z1与衍射孔的线度(x1,y1)之间的相对大小。例如，当=0.63 m，孔径线度为2 mm，观察距离z11cm时为菲涅耳衍射，z1 3 m时为夫朗和费衍射。,3.2夫朗和费衍射夫朗和费衍射装置由上节的讨论已知，对于夫朗和费衍射，观察屏必须放置在远离衍射屏的地方。如图 3-9(a)所示，设xOy平面是远离开孔平面的观察平面，按照惠更斯菲涅耳原理，xOy平面上任一点P的光场，可以看做是

17、开孔处入射波面上各点次波波源发出的球面次波在P点产生光场的叠加。由于P点很远，从波面上各点到P点的光线近似平行，因而P点的光场也就是由面上各点沿方向发射光场的叠加。如果在孔后面(紧靠孔面)放置一个焦距为f 的透镜L(图3-9(b)，则由于透镜的作用，与光轴夹角为的入射平行光线将会聚在后焦平面上的P点。因此，图 3-9(b)中的P点与图3-9(a)中的P点一一对应。,图 3-9 远场与透镜后焦面对应,如果只考虑单色平面光垂直入射到开孔平面上的夫朗和费衍射，则通常都采用图3-10 所示的夫朗和费衍射装置。,图 3-10 夫朗和费衍射装置,单色点光源S放置在透镜L1的前焦平面上，所产生的平行光垂直入

18、射开孔，由于开孔的衍射，在透镜L2的后焦平面上可以观察到开孔的夫朗和费衍射图样，后焦平面上各点的光场复振幅由(3.1-24)式给出。若开孔面上有均匀的光场分布，可令 常数。又因为透镜紧贴孔径，z1f。所以，后焦平面上的光场复振幅可写为,(3.2-1),(3.2-2),式中,3.2.2 夫朗和费矩形孔和圆孔衍射 1.夫朗和费矩形孔衍射 对于图 3-10 所示的夫朗和费衍射装置，若衍射孔是矩形孔，则在透镜焦平面上观察到的衍射图样如图 3-11所示。这个衍射图样的主要特征是衍射亮斑集中分布在两相互垂直的方向上(x轴和y轴)，并且x轴上的亮斑宽度与y轴上亮斑宽度之比，恰与矩形孔在两个轴上的宽度关系相反

19、。,图 3-11 夫朗和费矩形孔衍射图样,图 3-12 是夫朗和费矩形孔衍射装置的光路图。根据(3.2-1)式，透镜焦平面上P(x,y)点的光场复振幅为,式中，是观察屏中心点P0处的光场复振幅；a,b分别是矩形孔沿x1,y1轴方向的宽度；、分别为,(3.2-3),(3.2-4),(3.2-5),图 3-12 夫朗和费矩形孔衍射光路,则在P(x,y)点的光强度为,式中，I0是P0点的光强度，且有I0=|Cab|2。,(3.2-6),(1)衍射光强分布对于沿x轴的光强度分布，因y=0，有,(3.2-7),当=0 时(对应于P0点)，有主极大，IM/I0=1。在=m(m=1,2,)处，有极小值，IM

20、=0，与这些值相应的点是暗点，暗点的位置为,(3.2-8),相邻两暗点之间的间隔为,(3.2-9),在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置由下式决定:,即,(3.2-10),这一方程可以利用图解法求解。如图 3-13 所示，在同一坐标系中分别作出曲线F=tan和F=，其交点即为方程的解。头几个次极大所对应的值，已列于表 3-1 中。在图 3-13 中还给出了沿x方向的光强度分布。,图 3-13 用作图法求衍射次极大,在图3-13中还给出了沿x方向的光强度分布。夫朗和费矩形孔衍射在y轴上的光强度分布由,(3.2-11),决定，其分布特性与x轴类似。在x,y轴以外各点的光强度，可按(3.

21、2-6)式进行计算，图3-14 给出了一些特征点的光强度相对值。显然，尽管在xOy面内存在一些次极大点，但它们的光强度极弱。,图 3-14 夫朗和费矩形孔衍射图样中一些特征点的相对强度,(2)中央亮斑矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在x,y轴上的位置是,(3.2-12),中央亮斑面积为,(3.2-13),该式说明，中央亮斑面积与矩形孔面积成反比，在相同波长和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，但是，由,可见，相应的P0点光强度愈小。,(3.2-14),(3)衍射图形状当孔径尺寸a=b,即为方形孔径时，沿x,y方向有相同的衍射图样。当ab，即对于矩形孔径，其衍射图样沿x,y方向的形状

22、虽然一样，但线度不同。例如，ab时，衍射图样沿x轴亮斑宽度比沿y轴的亮斑宽度大，如图3-11所示。,2.夫朗和费圆孔衍射 由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，因而讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标处理更加方便。如图 3-15 所示，设圆孔半径为a,圆孔中心O1位于光轴上，则圆孔上任一点Q的位置坐标为1、j1，与相应的直角坐标x1,y1的关系为x1=1cosj1y1=1 sinj1,图 3-15夫朗和费圆孔衍射光路,类似地，观察屏上任一点P的位置坐标、与相应的直角坐标的关系为,由此，P点

23、的光场复振幅按照(3-22)式，在经过坐标变换后为,(3.2-15),式中,是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。在这里，已利用了sin 的近似关系。,(3.2-16),根据零阶贝塞尔函数的积分表示式,可将(3.2-15)式变换为,这里已利用了J0(k1)为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质,可得,(3.2-17),(3.2-18),式中，J1(x)为一阶贝塞尔函数。因此，P点的光强度为,由(3.2-18)式，可以得到夫朗和费圆孔衍射的如下特点：(1)衍射图样由于=ka，夫朗和费圆孔衍射的光强度分布仅与衍射角有关(或者，由于=/f，仅与有关)，而与方位角坐标无关。这说明，夫朗和费圆孔衍射图样是圆

24、形条纹(图 3-16)。,图 3 16圆孔夫朗和费衍射图样,(2)衍射图样的极值特性由贝塞尔函数的级数定义，可将(3.2-18)式表示为,该强度分布曲线如图3-17所示。当=0时，即对应光轴上的P0点，有I=I0，它是衍射光强的主极大值。当满足J1()=0 时，I=0，这些值决定了衍射暗环的位置。在相邻两个暗环之间存在一个衍射次极大值，其位置由满足下式的值决定：,(3.2-19),(3.2-20),这些次极大值位置即为衍射亮环的位置。上式中，J2()为二阶贝塞尔函数。表3-2 列出了中央的几个亮环和暗环的值及相对光强大小。,图 3 17夫朗和费圆孔衍射光强度分布,表 3 2圆孔衍射的光强分布,

25、(3)爱里斑由表 3-2 可见，中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的83.78%，这个亮斑叫爱里斑。爱里斑的半径0由第一光强极小值处的值决定，即,因此,(3.2-21),或以角半径0表示,(3.2-22),爱里斑的面积为,式中，S为圆孔面积。可见，圆孔面积愈小，爱里斑面积愈大，衍射现象愈明显。只有在S=0.61f 时，S0=S。,(3.2-23),3.光学成像系统的分辨本领(分辨率)1)瑞利判据 从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因此，对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。但实际上，光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的有限

26、性产生衍射，这就限制了光学成像系统的分辨本领。通常，由于光学成像系统具有光阑、透镜外框等圆形孔径，因而讨论它们的分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为理论基础。,如图3-18所示，设有S1和S2两个非相干点光源，间距为，它们到直径为D的圆孔距离为R，则S1和S2对圆孔的张角为,由于圆孔的衍射效应，S1和S2将分别在观察屏上形成各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0，则由(3.2-22)式有,(3.2-25),(3.2-24),图 3-18 两个点物的衍射像的分辨,根据瑞利判据，将一个点物衍射图样的中央极大位置与另一个点物衍射图样的第一个极小位置重合的状态作为光学成像系统的分辨极限，认为此

27、时光学系统恰好可分辨开这两个点物。这时，两点物衍射图样的重叠区中点光强度约为每个衍射图样中心最亮处光强度的73.5%(对于缝隙形光阑，约为81%)。于是，由于衍射效应，一个光学成像系统对点物成像的爱里斑角半径0决定了该系统的分辨极限。,2)几种光学成像系统的分辨本领(1)人眼睛的分辨本领 人眼的成像作用可以等价于一个单凸透镜。通常人眼睛的瞳孔直径约为 1.56 mm（视入射光强的大小而定)。当人眼瞳孔直径为 2 mm时，对于最敏感的光波波长=0.55 m，按(3.2-25)式可以算得人眼的最小分辨角e为通常由实验测得的人眼最小分辨角约为1(=2.910-4 rad)，与上面计算的结果基本相符。

28、,(3.2-26),(2)望远镜的分辨本领望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜物镜的圆形通光孔径直径为D，若有两个物点恰好能为望远镜所分辨开，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角为,(3.2-27),这也就是望远镜的最小分辨角公式。该式表明，望远镜物镜的直径D愈大，分辨本领愈高，并且，这时像的光强也增加了。,例如，天文望远镜物镜的直径做得很大(可达 6m)，原因之一就是为了提高分辨本领。对于=0.55m的单色光来说，其最小分辨角=0.023=1.1210-7 rad，比人眼的分辨本领要大三千倍左右。通常在设计望远镜时，为了充分利用望远镜物镜的分辨本领，应使望远镜的放大率保证物镜的最

29、小分辨角经望远镜放大后等于眼睛的最小分辨角，即放大率应为,(3.2-28),(3)照相物镜的分辨本领 照相物镜一般都是用于对较远物体的成像，感光底片的位置大致与照相物镜的焦平面重合。若照相物镜的孔径为D，相应第一极小的衍射角为0，则底片上恰能分辨的两条直线之间的距离为,习惯上，照相物镜的分辨本领用底片上每毫米内能成多少条恰能分开的线条数N表示，N为,(3.2-29),(3.2-30),式中，D/f是照相物镜的相对孔径。可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。例如，对于D/f=13.5的常用照相物镜，若=0.55m，则N=1 4901/3.5=425(条/mm)。作为照相系统总分辨本领的要求

30、来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜的分辨本领。例如，对于上面的例子，应选择分辨本领大于425条/mm的底片。,(4)显微镜的分辨本领显微镜由物镜和目镜组成，在一般情况下系统成像的孔径为物镜框，因此，限制显微镜分辨本领的是物镜框(即孔径光阑)。显微镜物镜的成像如图3-19所示。点物S1和S2位于物镜前焦点外附近，由于物镜的焦距很短，因而S1和S2发出的光波以很大的孔径角入射到物镜，其像S1和S2离物镜较远。虽然S1和S2离物镜很近，它们的像也是物镜边缘(孔径光阑)的夫朗和费衍射图样，其爱里斑的半径为,(3.2-31),图 3-19 显微镜的分辨本领,由于显微镜物镜的成像满足阿贝(Abbe)

31、正弦条件,(3.2-32),式中，n和n分别是物方和像方折射率，在n=1 时，因l D,有,因而，能分辨两点物的最小距离为,(3.2-34),(3.2-33),式中，NA=n sin u称为物镜的数值孔径。由此可见，提高显微镜分辨本领的途径是：增大物镜的数值孔径，例如，利用油浸物镜可以获得最大的数值孔径(约1.4)；减小波长，例如，电子显微镜利用电子束的波动性成像，由于其波长可达10-3 nm，因而分辨本领将比可见光显微镜提高几十万倍，只是由于电子显微镜的数值孔径较小，其分辨本领实际上仅提高千倍以上。,3.2.3 夫朗和费单缝和多缝衍射 1.夫朗和费单缝衍射 对于上面讨论的夫朗和费矩形孔衍射，

32、如果矩形孔一个方向的尺寸比另一个方向大得多，如ba,则该矩形孔的衍射就变成一个单(狭)缝衍射(图3-20(a)。这时，沿y方向的衍射效应不明显，只在x方向有亮暗变化的衍射图样(图3-20(b)。按照(3.2-1)式，衍射屏上P点的光场复振幅为,(3.2-35),图 3-20 单缝夫朗和费衍射装置,式中，是观察屏中心点P0处的光场复振幅。相应P点的光强度为,(3.2-36),式中，=kax/(2f)=(a/)(x/f)(asin)/,为衍射角。在衍射理论中，通常称(sin/)2为单缝衍射因子。因此，矩形孔衍射的相对强度分布是两个单缝衍射因子的乘积。在单缝衍射实验中，常采用与单缝平行的线光源代替点

33、光源，这时，在观察屏上将得到一些与单缝平行的直线衍射条纹(图 3-21)。,图 3 21用线光源照明的单缝夫朗和费衍射装置,单缝衍射图样的主要特征是：(1)单色光照明的衍射光强分布 单色光照明时，当=0，对应于=0的衍射位置是光强中央主极大值(亮条纹)；当=m时，对应于满足,的衍射角方向为光强极小值(暗条纹)。对(3.2-37)式两边取微分，有,(3.2-37),由此可得相邻暗条纹的角宽度为,(3.2-38),在衍射角很小时，相邻暗条纹的角宽度为,对于中央亮条纹，其角宽度0为的两倍，即,(3.2-40),(3.2-39),上式说明，当一定时，a小，则大，衍射现象显著。例如，a=100时，=0.

34、573，即第一极小偏离入射光方向仅 0.573，光能量的大部分沿=0方向传播，衍射不明显，可视为直线传播；当a=10时，第一极小偏离入射光方向达57，衍射效应显著；当a 时，90，中央主极大已扩大到整个开孔的几何阴影区。,(2)白光照明 白光照明时，衍射条纹呈现彩色，中央是白色，向外依次是由紫到红变化。,2.夫朗和费多缝衍射 所谓多缝，是指在一块不透光的屏上，刻有N条等间距、等宽度的通光狭缝。夫朗和费多缝衍射的装置如图3-22所示。其每条狭缝均平行于y1方向，沿x1方向的缝宽为a,相邻狭缝的间距为d。在研究多缝衍射时，必须注意缝后透镜L2的作用。由于L2的存在，使得衍射屏上每个单缝的衍射条纹位

35、置与缝的位置无关，即缝垂直于光轴方向平移时，其衍射条纹的位置不变，因此，利用平行光照射多缝时，其每一个单缝都要产生自己的衍射，形成各自的一套衍射条纹。当每个单缝等宽时，各套衍射条纹在透镜焦平面上完全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加。,图 3-22 夫朗和费多缝衍射装置,1)多缝衍射的光强分布 假设图3 22 中的S是线光源，则N个狭缝受到平面光波的垂直照射。如果选取最下面的狭缝中心作为x1的坐标原点，并只计x方向的衍射，则按照(3.2-1)式，观察屏上P点的光场复振幅为,(3.2 41),式中,(3.2-42),它表示在x1方向上相邻的两个间距为d的平行等宽狭缝，在P点产生光场的相位差。相应

36、于P点的光强度为,(3.2-43),式中，I0=Aab/(f)2是单缝衍射情况下P0 点的光强。,由上述讨论可以看出，平行光照射多缝时，其每个狭缝都将在P点产生衍射场，由于这些光场均来自同一光源，彼此相干，将因干涉效应，使观察屏上的光强度重新分布。因此，多缝衍射现象包含有衍射和干涉双重效应。,由(3.2-43)式可见，N个狭缝的衍射光强关系式中包含有两个因子：一个是单缝衍射因子(sin/)2；另外一个因子是sin(Nj/2)/sin(j/2)2，根据以上公式的推导过程可以看出，它是N个等振幅，等相位差的光束干涉因子。因此，多缝衍射图样具有等振幅，等相位差多光束干涉和单缝衍射的特征。为简单起见，

37、我们以双缝衍射情况予以说明。此时，N=2,P点的光强为,(3.2-44),显然，式中的因子sinj/sin(j/2)2正是前面讨论过的等振幅双光束干涉因子。根据这个式子，绘出了如图 3-23 所示的、d=3a情况下的双缝衍射强度分布曲线，其中，图(a)是等振幅双光束干涉强度分布cos2(j2)曲线，图(b)是单缝衍射强度分布(sin/)2曲线，图(c)是双缝衍射强度分布曲线。由该图可见，双缝衍射强度分布是等振幅双光束干涉和单缝衍射的共同作用结果，实际上也可看做是等振幅双光束干涉受到单缝衍射的调制。,图 3-23 双缝衍射强度分布曲线,由该图可见，双缝衍射强度分布是等振幅双光束干涉和单缝衍射的共

38、同作用结果，实际上也可看做是等振幅双光束干涉受到单缝衍射的调制。综上所述，多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，它可看作是等振幅、等相位差多光束干涉受到单缝衍射的调制。需要指出的是，单缝衍射因子只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则因源于狭缝的周期性排列，与单缝本身的性质无关。因此，如果有N个性质相同，但形状与上述狭缝有异的孔径周期排列，则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子。此时，只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即是这种周期性孔径衍射的光强度分布。为了更清楚起见，图 3-24 给出了夫朗和费单缝和五种多缝的衍射图样照片。,图 3-24 夫朗和费单缝、双缝、

39、多缝衍射的衍射图样照片(a)单缝；(b)双缝；(c)3缝；(d)5 缝；(e)6 缝；(f)20 缝,2)多缝衍射图样特性 多缝衍射图样特性可以由多光束干涉和单缝衍射特性确定。(1)多缝衍射的强度极值 多缝衍射主极大。由多光束干涉因子可以看出，当j=2m m=0,1,2,或d sin=m 时，多光束干涉因子为极大值，称此时的多缝衍射为主极大。由于，因而多缝衍射主极大强度为,(3.2-46),(3.2-45),它们是单缝衍射在各级主极大位置上所产生强度的N2倍，其中，零级主极大的强度最大，等于N2 I。,多缝衍射极小。当Nj/2等于的整数倍，而j/2不是的整数倍，即,m=0,1,2,;m=1,2

40、,N-1,或,(3.2-47),时，多缝衍射强度最小，为零。比较(3.2-45)式和(3.2-47)式可见，在两个主极大之间，有(N-1)个极小。由(3.2-47)式，相邻两个极小(零值)之间(m=1)的角距离为,(3.2-48),多缝衍射次极大。由多光束干涉因子可见，在相邻两个极小值之间，除了是主极大外，还可能是强度极弱的次极大。在两个主极大之间，有(N-2)个次极大，次极大的位置可以通过对(3.2-43)式求极值确定，近似由,求得。例如，在m=0 和 m=1 级主极大之间，次极大位置出现在,共(N-2)个。在N/23/2时，衍射强度为,即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的4.5

41、%。此外，次极大的宽度随着N的增大而减小。当N很大时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。,(2)多缝衍射主极大角宽度多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是，主极大的条纹角宽度为,(3.2-49),该式表明，狭缝数N愈大，主极大的角宽度愈小。,(3)缺级由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，因而存在缺级现象。对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有sin/=0，即相应的衍射角同时满足d sin=m m=0,1,2,asin=n n=1,2,或,(3.2-50),则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。,从以上讨论可以看出，在多缝衍射中，随着狭缝数目的增加，衍射图样有两个显著的变

42、化：一是光的能量向主极大的位置集中(为单缝衍射的N2倍)；二是亮条纹变得更加细而亮(约为双光束干涉线宽的 1/N)。对于一个N=104的多缝来说，这将使主极大光强增大108倍，条纹宽度缩为万分之一。另外，由(3.2-45)式可知，干涉主极大位置随入射光的波长变化，同一级次的主极大方向(衍射角)，将随着波长的增加而增大，并且，当衍射角不大时，这种变化近于线性关系。,巴俾涅原理应用前面讨论了圆孔、单缝的衍射现象，如果在光路中的障碍物改换为圆盘、细丝(窄带)，其衍射特性如何呢?当然，我们可以利用菲涅耳基尔霍夫衍射公式重新求解，但是如果根据巴俾涅原理，就可使问题的处理大大简化。例如，对于图 3-21

43、所示的用线光源照明单缝的夫朗和费衍射装置，如果将单缝衍射屏换成同样宽度的不透光窄带(或细丝)，则在衍射图样中央以外的地方，将有与单缝衍射类似的衍射图样。这是因为单缝和窄带是一对互补屏，在观察屏上，除中央点外，均有，所以根据巴俾涅原理，除中央点外，单缝和窄带(或细丝)的衍射图样相同。因此，可以直接将单缝衍射特性应用于窄带(或细丝)衍射中。例如，窄带(或细丝)衍射的暗条纹间距公式为,(3.2-51)在窄带(细丝)衍射的实验中，如果测出了衍射暗条纹的间距e,可以计算出窄带(细丝)的宽度(直径)。目前已经应用的激光细丝测径仪，就是利用这个原理测量细丝(例如金属或纤维丝)直径的。,3.3 菲 涅 耳 衍

44、 射菲涅耳衍射的菲涅耳波带法1.菲涅耳圆孔衍射菲涅耳波带法1)菲涅耳波带法图 3-25 绘出了一个单色点光源S照射圆孔衍射屏的情况，P0是圆孔中垂线上的一点，在某时刻通过圆孔的波面为MOM，半径为R。,图 3-25 圆孔衍射的波带法示意图,现在以P0为中心，以r1,r2,rN为半径，在波面上作圆，把MOM分成N个环带，所选取的半径为,因此，相邻两个环带上的相应两点到P0点的光程差为半个波长，这样的环带叫菲涅耳半波带(或菲涅耳波带)。,根据惠更斯菲涅耳原理，P0点的光场振幅应为各波带在P0点产生光场振幅的叠加,假定点源和P0点到衍射屏的距离都比波长大得多，可视同一波带上点的倾斜因子相同，P0点的

45、光振幅近似为AN=a1a2+a3a4+aN(3.3-1)式中，设a1、a2、aN分别为第1、第2、第N个波带在P0点产生光场振幅的绝对值。当N为奇数时，aN前面取+号;N为偶数时，aN前面取号。这种取法是由于相邻的波带在P0点引起的振动相位相反决定的。因此，为利用菲涅耳波带法求P0点的光强，首先应求出各个波带在P0点振动的振幅。,(3.3-2),(1)波带面积SN 在图 3-26 中，设圆孔对P0点共露出N个波带，这N个波带相应的波面面积是,(3.3-3),图 3-26求波带面积,所以,(3.3-4),又由于rN=r0+N/2，故有,(3.3-5),将(3.3-4)式、(3.3-5)式代入(3

46、.3-5)式中，得,(3.3-6),同样也可以求得(N1)个波带所对应的波面面积为,两式相减，即得第N个波带的面积为,(3.3-7),(3.3-8),由此可见，波带面积随着序数N的增大而增加。但由于通常波长相对于R和r0很小，2项可以略去，因此可视各波带面积近似相等。,(2)各波带到P0点的距离 因为rN和rN-1是第N个波带的两个边缘到P0点的距离，所以第N个波带到P0点的距离可取两者的平均值，即,(3.3-9),这说明第N个波带到P0点的距离随着序数N的增大而增加。,(3)倾斜因子K()由图 3-26 可见，倾斜因子为,(3.3-10),将(3.3-8)式、(3.3-9)式和(3.3-10

47、)式代入(3.3-2)式，可以得到各个波带在P0点产生的光振动振幅,(3.3-11),可见，各个波带产生的振幅aN的差别只取决于倾角N。由于随着N增大，N也相应增大，所以各波带在P0点所产生的光场振幅将随之单调减小，,又由于这种变化比较缓慢，所以近似有下列关系：,于是，在N为奇数时,N为偶数时，,当N较大时，aN-1aN，故有,(3.3-12),下面给出波带数N和圆孔半径N之间的关系。由图 3-26 可以看出：,因为,将其代入(3.3-4)式，可得,所以，,一般情况下，均有r0N，故,(3.3-13),这就是圆孔半径N和露出的波带数N之间的关系。该式也可表示成露出的波带数N与圆孔半径N的关系，

48、,(3.3-14),2)菲涅耳圆孔衍射由以上对菲涅耳波带法的讨论可知，菲涅耳圆孔衍射有如下特点：(1)r0对衍射现象的影响由(3.3-14)式可见，对于一定的N和R，露出的波带数N随r0变化。r0不同，N也不同，从而P0点的光强度也不同。由(3.3-12)式，当N为奇数时，对应是亮点；N为偶数时，对应是暗点。所以，当观察屏前后移动(r0变化)时，P0点的光强将明暗交替地变化，这是典型的菲涅耳衍射现象。在N和R一定时，随着r0的增大，N减小，菲涅耳衍射效应很显著。当r0大到一定程度时，可视r0，露出的波带数N不再变化，且为,(3.3-15),该波带数称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔衍射效应的很重要

49、的参量。此后，随着r0的增大，P0点光强不再出现明暗交替的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。而当r0很小时，N很大，衍射效应不明显。当r0小到一定程度时，可视光为直线传播。,(2)N对衍射现象的影响 在R和r0一定时，圆孔对P0露出的波带数N与圆孔半径有关，N2N。于是，孔大，露出的波带数多，衍射效应不显著；孔小，露出的波带数少，衍射效应显著。当孔趋于无限大时，aN0,(3.3-16),这说明孔很大时，P0点的光强不再变化，这正是光直线传播的特点。因此，光的直线传播，实际是透光孔径较大情况下的一种特殊情况。光波波前完全不被遮挡时的P0点光场振幅A0，只是有圆孔时第一个波带在P0点产生光场振幅a1的

50、一半。这说明，当孔小到只露出一个波带时，P0点的光强度由于衍射效应，增为无遮挡时P0点光强度的4倍。,(3)波长对衍射现象的影响当波长增大时，N减少。这说明在N、R、r0一定的情况下，长波长光波的衍射效应更为显著，更能显示出其波动性。(4)轴外点的衍射对于轴外任意点P的光强度，原则上也可以用同样的方法进行讨论。如图 3-27 所示，为了确定不在轴上的任意点 P的光强，可先设想衍射屏不存在，以M0为中心，对于P点作半波带，然后再放上圆孔衍射屏，圆孔中心为O。这时由于圆孔和波面对P点的波带不同心，波带的露出部分如图 3-28 所示，图中为了清楚起见，把偶数带画上了斜线。于是，这些波带在P点引起振动