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1、北京科技大学数理学院 卫宏儒,科学与工程计算,矩阵特征值与特征向量的计算主要内容,一、幂法二、反幂法三、幂法、反幂法小结四、QR算法五、Jacobi方法,问题的提出：工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的求解，有时会归结成求矩阵的特征值和对应的特征向量。学过线性代数后，我们已知求矩阵A的特征值和特征向量的解法，即先求出A的特征多项式：,令0。通过求解上述高次多项式方程，所得根即为矩阵A的特征值，然后求解方程组0，就可得出特征值对应的特征向量X。,但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很
2、大。因此，从数值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法-幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。,一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为并设A有完全的特征向量系(它们线性无关)，则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列有其中表示向量的第j个分量.,P129：定理6-2；归一化幂法是定理6-3。,证明：仅就为实数的情况来证明.假定 于是,由矩阵特征值定义知,得,.,同理可得：,假定,因为,故得,从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方法,具体步骤如下：(1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0
3、=(1,1,.,1)T(2)计算Vk=AVk-1(3)当k足够大时,即可得到：,若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|1（或|1|1时）Vk中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作mk=max(Vk)，用mk遍除的所有向量Vk，得到规范化向量。,为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列uk收敛于矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列Vk的绝对值最大的分量mk收敛于1,即,证:,例：,用幂法求
4、矩阵,按模最大特征值1和对应的特征向量x1,解:取初始向量V0=u0=(1,1,1)T，计算出Vk,uk和mk,迭代7次的结果列于下表,由上可见经过7次迭代,m7的值已稳定到小数后5位，故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：,二、反幂法：基本思路：设A没有零特征值，则A非奇异，即A的逆矩阵存在，设的特征值为其对应的特征向量为因为 A xk=k xk 所以 A-1 xk=k-1 xk 故k-1就是矩阵A-1的特征值，它们满足,对应的特征向量仍为xk。因此，求矩阵A的按模最小特征值，就相当于求其逆阵A-1的按模最大特征值n-1，这只需应用幂法即可求得。,注意点：由于求逆非常费时。故在用迭代
5、向量由uk-1求Vk时，可采用解方程组的办法。由于每次解方程组的系数矩阵都相同，故计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别当n较大时，将大大地节省计算量。三、幂法小结：幂法适用范围为求矩阵的按模最大特征值及相应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依赖于矩阵特征值的分布情况。反幂法的适用范围是求矩阵的按模最小特征值及对应的特征向量。,四、算法,1、Householder矩阵,P136定义6-1，定理6-4,P137定理6-5,、矩阵的分解,可验证:,.,定理6.7,、求矩阵全部特征值的算法,五、Jacobi方法,、预备知识,称为旋转矩阵,2、Jacobi法的基本思想与收敛性,、用Jacobi法的计算实对称矩阵的特征值及其对应的特征向量的步骤,、Jacobi改进的方法,5、Jacobi的优点和不足,作业五：,
