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1、,4.1 雷达信号的数学表示与分类 4.2 模糊函数与雷达分辨率 4.3 线性与非线性调频脉冲信号 4.4 相位编码脉冲信号 4.5 相参脉冲串信号 4.6 步进频率脉冲信号 4.7 正交波形 4.8 距离与多普勒模糊 4.9 连续波信号与连续波雷达 4.10 基于DDS的任意波形产生方法,第4章 雷达信号波形,与通信系统发射的信号不同，雷达的发射信号只是信息的载体，它并不包含目标的任何信息，所有的目标信息都蕴含在发射信号经目标反(散)射的回波中。雷达的发射信号波形不仅决定了信号的处理方法，而且直接影响系统的分辨率、测量精度以及杂波抑制(抗干扰)能力等主要性能。因此，信号波形设计已成为现代雷达
2、系统设计的重要方面之一。本章首先给出雷达信号的数学表示及其分类；然后介绍模糊函数的概念和雷达分辨理论，重点分析一些典型的常用雷达信号波形及其特征，并讨论其参数的选取；接着介绍脉冲雷达的距离和多普勒模糊问题以及连续波雷达的有关内容；最后介绍利用DDS技术产生常用雷达波形的原理和工程实现方法，并给出本章主要插图的MATLAB程序代码。,4.1.1 雷达信号的数学表示雷达的发射信号一般是除初相外其余参量均已知的确知信号(相参雷达的发射信号须与某一基准信号保持严格的相位关系)，而回波信号则是与噪声、干扰叠加成的随机信号。,4.1 雷达信号的数学表示与分类,信号可以用时间的实函数s(t)表示，称为实信号
3、，其特点是具有有限的能量或有限的功率。能量有限的信号称为能量信号；能量无限但功率有限的信号，称为功率信号。描述能量信号的频谱特性通常采用能量谱密度(EnergySpectrumDensity，ESD)函数(实际应用中常用振幅谱|S()|)来描述；对于功率信号，则常用功率谱密度(PowerSpectrumDensity，PSD)函数来描述。,设信号为s(t)，对于能量信号，能量谱密度(ESD)函数定义为(4.1.1)对于功率信号，功率谱密度(PSD)函数定义为(4.1.2),其中 为信号s(t)的自相关函数。按照信号的频率组成，可将信号划分为低通(Low Pass)信号和带通(Band Pass
4、)信号。通常所用的雷达信号，其带宽比载频小得多，称为窄带(通)信号。,一个实带通信号可表示为(4.1.3)其中：a(t)为信号的幅度调制或包络，x(t)为相位调制项，f0为载频。信号包络a(t)的变化与相位调制和载波相比为时间的慢变化过程。对于低分辨雷达，在一个波位上发射的多个脉冲的目标回波的包络a(t)通常近似认为不变。,信号x(t)的频率调制函数fm(t)和瞬时频率fi(t)分别为(4.1.4)(4.1.5)实信号具有对称的双边频谱。对窄带信号来说，由于其带宽远小于载频，两个边带频谱互不重叠，此时用一个边带频谱就能完全确定信号波形。为了简化信号和系统的分析，通常采用具有单边频谱的复信号。,
5、常用的复信号表示，即实信号的复数表示有两种：希尔伯特(Hilbert)变换表示法和指数表示法。对窄带信号来说，这两种表示方法是近似相同的。,1.希尔伯特(Hilbert)变换表示法一般地，复信号可表示为s(t)x(t)jy(t)(4.1.6)如果要求复信号具有单边频谱，那么就要对虚部有所限制。如果实信号为信号x(t)的傅立叶变换)，定义其复解析信号为(4.1.7),其中U(f)为频域的阶跃函数。利用傅立叶变换的性质可得(4.1.8)其中，的Hilbert变换式。,这样，由式(4.1.8)构成的复信号的频谱就可以满足式(4.1.7)的要求，即使得原实信号的负频分量相抵消，而正频分量加倍。实信号x
6、(t)的能量和复解析信号sa(t)的能量分别为(4.1.9)(4.1.10),2.指数表示法复解析信号在推导信号的一般特性时是有效的表示方式，但在分析具体信号时又极不方便，故常采用指数形式的复信号来代替复解析信号。实信号用指数形式的复信号实部表示为(4.1.11)其中 为实信号的复指数形式，而为复信号的复包络。,窄带实信号、复信号和复包络之间的关系可归纳如表4.1所述。,表4.1 窄带实信号、复信号和复包络之间的关系,窄带实信号、复信号和复包络间的能量关系为(4.1.12)其中，有时为了分析方便，常对信号能量进行归一化，即令(4.1.13)窄带实信号x(t)的频谱|X(f)|，其对应的复解析信
7、号的频谱|Sa(f)|和信号复包络频谱|U(f)|之间的关系如图4.1所示。,图4.1 窄带实信号、复解析信号及复包络频谱的关系,对于窄带雷达信号，可以用其复包络u(t)或对应的频谱U(f)完全描述。但适当的波形参数有时更能方便地表示信号的某些特征。经常采用归一化二阶矩作为信号时宽、带宽的有效度量，分别定义信号有效时宽t(也称为有效持续时间或均方根时宽)和有效带宽f(也称为均方根带宽)为(4.1.14)(4.1.15),由于噪声叠加在信号上的缘故，在测时(测距)和测频(测速)时就会出现随机偏移真实值的情况。以有效时宽t和有效带宽f来表示的时间测量和频率测量的均方根误差的近似式分别为(4.1.1
8、6)(4.1.17),式中，S/N表示测量之前的信噪比。对于普通脉冲信号，时宽带宽积BT1，因此匹配滤波器输出峰值信噪比 2E表示复信号的能量，N0表示输入噪声的功率谱密度。因此式(4.1.16)和式(4.1.17)经常表示为(4.1.18)(4.1.19)由式(4.1.16)和式(4.1.17)可看出：,(1)输入信噪比愈大，测时误差和测频误差就愈小(精度愈高)，精度和信噪比的开方具有正比关系；(2)测时精度和等效带宽具有正比关系，测频精度和等效时宽具有正比关系，因此在信噪比相同的情况下，加大信号带宽就能提高测时精度，加大信号时宽就能提高测频精度。但测时和测频不能同时测的很准，这就是“雷达测
9、不准原理”，将在小节具体介绍。,4.1.2 雷达信号的分类雷达信号形式多种多样，按照不同的分类原则有不同的分类方法，如按照雷达体制、调制方式、模糊图等进行分类。按照雷达体制分类，雷达信号划分为脉冲信号和连续波信号(与之对应的雷达分别为脉冲雷达和连续波雷达)。它们可以是非调制的简单波形，也可以是经调制的复杂波形。进一步按调制方式分类，连续波信号包括：单频连续波，多频连续波，间歇式连续波，线性或非线性调频连续波，二相编码连续波等；脉冲信号包括：单载频的普通脉冲信号，,脉内、脉间或脉组间编码(相位、频率编码)脉冲信号，相参脉冲串(均匀脉冲串、参差脉冲串)信号等。按调制方式，雷达信号的分类如图4.2所
10、示。此外，还有不同于正弦载波波形的特殊雷达信号，如沃尔什函数信号、冲击信号、噪声信号等。,图4.2 雷达信号波形分类,按照信号的模糊函数形式来划分，雷达信号有四种类型：A类正刀刃型、B1类图钉型、B2类剪切刀刃型，C类钉床型(见表4.4)。显然，从信号分辨特性的角度来考虑，按照信号的模糊函数来分类是雷达中最为合理的一种分类方法。雷达有各种不同的用途，如预警雷达、监视雷达、搜索与跟踪雷达、导航雷达等。不同用途的雷达往往采用不同的信号形式。多用途的雷达通常有多种可用的信号波形，可根据需要随时予以更换，以达到最佳的工作效果。综合雷达的实际任务和工作要求，表4.2列出了常用的雷达信号及其特点。,表4.
11、2 常用雷达信号的种类和特点,模糊函数(Ambiguity Function)是分析雷达信号和进行波形设计的有效工具。通过研究模糊函数，可以得到在采用最优信号处理技术和发射某种特定信号的条件下，雷达系统所具有的分辨率、模糊度、测量精度和抗干扰能力。,4.2 模糊函数与雷达分辨率,4.2.1 模糊函数的定义及其性质1.模糊函数的定义模糊函数最初是为了研究雷达分辨率而提出的，目的是通过这一函数定量描述当系统工作于多目标环境下，发射一种波形并采用相应的滤波器时，系统对不同距离、不同速度目标的分辨能力。换句话说，就是当“干扰目标”与观测目标之间存在着距离和速度差别时，模糊函数定量地表示了“干扰目标”(
12、即临近的目标)对观测目标的干扰程度。下面从分辨两个不同的目标出发，如图4.3所示，以最小均方差为最佳分辨准则，推导模糊函数的定义式。,图4.3 目标环境图,雷达的发射信号通常为窄带信号，用复信号可表示为(4.2.1)其中u(t)为信号的复包络，f0为载频。若采用理想的“点目标”模型，假设目标1和目标2的时延分别为d和d，多普勒频移分别为f和ffd，且功率相同，两个目标的回波信号可表示为(4.2.2),于是，两个目标回波的均方差可表示为(4.2.3)作变量代换，令 并将和用2E代换，上式可简化为,(4.2.4)将上式中积分项定义为(4.2.5),这就是模糊函数的表达式。可见射频信号st(t)的模
13、糊函数取决于其复包络u(t)的模糊函数。式(4.2.4)可改写为(4.2.6)考虑到分辨目标一般是在检波之后进行，式(4.2.6)表明：(，fd)为两个相邻目标回波信号的均方差提供了一个保守的估计。也就是说，(，fd)是决定相邻目标距离速度联合分辨率的唯一因素。,需要说明的是，式(4.2.5)并不是模糊函数的唯一形式。有的文献从匹配滤波器的输出出发，定义了不同形式的模糊函数(4.2.7),上述两种定义的形式不同，物理含义也不完全相同。按照国际上的统一建议，称从分辨角度出发定义的模糊函数为正型模糊函数，而称从匹配滤波器输出得到的定义式为负型模糊函数。应用哪种定义形式取决于实际分析的需要。在没有噪
14、声的情况下，最优滤波器的输出为模糊函数图的再现，不同之处只是峰值点不在原点，对应的时延与频移发生了偏移。模糊函数图的峰值在原点；对目标回波而言，最优滤波器输出的峰值对应的位置为目标的距离和多普勒频率。,一般匹配滤波器的输出都经过线性检波器取出包络值，所以用(，fd)来表示包络检波器的作用。而在实际分辨目标时，常采用功率响应(，fd)2更方便。也就是说，波形的分辨特性由匹配滤波器响应的模平方决定。因而有的文献也把(，fd)和(，fd)2统一称为模糊函数。若不加特别说明，本书中所说的模糊函数均指(，fd)。,利用帕塞瓦尔(Parseval)定理及傅立叶变换性质，式(4.2.5)还可改写为另外一种形
15、式(4.2.8)用三维图形表示的模糊函数称为模糊函数图，它全面表达了相邻目标的模糊度。为方便起见，有时也常用模糊度图来表示模糊函数，它是幅度归一化模糊函数图在某一高度上(如6 dB)的二维截面图，也称为模糊椭圆。,2.模糊函数的性质模糊函数有一些重要的性质，可以用来分析一些复杂的信号。其主要性质如下：关于原点的对称性，即 在原点取最大值，即且在原点取值为1，即归一化幅值。,模糊体积不变性，即 该性质说明了模糊曲面的主峰高度和曲面下的总容积只决定于信号能量，而与信号形式无关。,自变换特性，即 该性质说明了模糊函数的二维傅立叶变换式仍为某一波形的模糊函数。但是，这个性质并不能用来反证具有自变换性质
16、的函数为模糊函数。模糊体积分布的限制，即,(4.2.9),该性质表明了模糊体积沿fd轴的分布完全取决于发射信号复包络的自相关函数或信号的能量谱，而与信号的相位谱无关；模糊体积沿轴的分布完全取决于发射信号复包络的模值，而与信号的相位调制无关。组合性质：若c(t)a(t)b(t)，则有(4.2.10)该性质表明了两个信号相加的合成信号的模糊函数除了两个信号本身的模糊函数外，还包括这两个信号的互模糊函数分量。,时间和频率偏移的影响：若则v(t)的模糊函数为(4.2.11)式中u为u(t)的模糊函数。信号周期重复的影响：如果单个脉冲信号u(t)的模糊函数为u(，fd)，将信号u(t)重复N个周期得到的
17、信号其中ci表示复加权系数，Tr为脉冲重复周期，则v(t)的模糊函数为,(4.2.12),4.2.2 雷达分辨理论雷达分辨率是指在各种目标环境下区分两个或两个以上的邻近目标的能力。雷达分辨邻近目标的能力主要从距离、速度、方位和仰角四个方面考虑，其中方位和仰角的分辨率取决于波束宽度。一般雷达难以在这四维同时能分辨目标，在其中任意一维能分辨目标就认为具有目标分辨的能力。这里主要分析距离分辨率和速度分辨率与波形参数的关系，通过分辨常数和模糊函数来分析各种波形的分辨性能。,1.距离分辨率假定两个目标在同一角度但处在不同距离上，在不考虑相邻目标的多普勒频移时，由式(4.2.6)得到(4.2.13)令式(
18、4.2.5)中fd0可知，信号的距离模糊函数为(4.2.14)当0时，|(，0)|有最大值。距离分辨率由|(，0)|2的大小来衡量。若存在一些非零的值，使得|，0|0，0|，那么两个目标是不可分辨的。,当0时，|(，0)|随增大而下降的越快，距离分辨性能越好；若要求系统具有高距离分辨率，就要选择合适的信号形式使其通过匹配滤波器(或相关积分器)输出很窄的尖峰，而实际的滤波器的输出包络可能具有图4.4所示的三种典型形式。图4.4(a)的响应是单瓣的，但如果主瓣很宽，临近目标就难以分辨。图4.4(b)的响应主瓣很窄，对临近目标的分辨能力较好，但存在间断离散型旁瓣，若其间距为，当目标间距相当于的整数倍
19、时，分辨就很困难。图4.4(c)的响应主瓣也很尖，但存在类似噪声的基底型旁瓣；,虽然基底旁瓣不高，但强目标的响应基底有可能掩盖弱目标的响应主瓣；在多目标环境中，多个目标响应基底的合成甚至可能掩盖较强目标的主瓣，造成临近目标不能分辨。,图4.4 距离模糊函数类型,正因为如此，至今尚没有统一的反映信号分辨特性的参数。通常用距离模糊函数和速度模糊函数主瓣的3 dB宽度(半功率宽度)来定义信号的固有分辨率，分别称为名义距离分辨率nr(简称距离分辨率)和名义速度分辨率fnr(简称速度分辨率)。名义分辨率(nominalresolution)只表示主瓣内邻近目标的分辨能力，而没有考虑旁瓣干扰对目标分辨的影
20、响。有时为了方便，如遇到sinc函数，也采用4 dB宽度来表示名义分辨率。,时延分辨率为(4.2.15)根据Parseval定理，式(4.2.15)可重写为(4.2.16),B为信号的有效带宽。因此，时延分辨率对应的距离分辨率(Range Resolution)为(4.2.17)其中c为光速，B为信号带宽。R取决于信号带宽。例如：若信号带宽为1 MHz，距离分辨率为150 m；若信号带宽为100 MHz，距离分辨率为1.5 m。显然，信号带宽越宽，脉冲宽度越窄，距离分辨率越高。,当目标时延差较大时，为了全面考虑主瓣和旁瓣的分辨问题，可以定义另一种反映分辨特性的参数：时延分辨常数TRC(Time
21、 Resolution Constant)，其表达式为(4.2.18),它可作为统一度量测量多值性和分辨率的参数。显然，从距离分辨角度出发，信号距离模糊函数的最佳形式是冲击函数。因此可用模糊函数与冲击函数的相似程度来衡量信号的固有分辨率，它表示信号频谱与均匀谱的相似程度，称为频谱持续宽度FSP(Frequency SPan)，有的文献也称为有效相关带宽，其定义式为(4.2.19),因此，表示距离分辨率的距离分辨常数CR就可以表示为(4.2.20)不难看出，时延分辨常数TRC越小，或频谱持续宽度FSP越宽，则距离分辨率越好。因此，只要信号具有大的持续带宽(有效相关带宽)就能获得高的距离分辨率，而
22、不必具有很窄的脉冲宽度(窄脉冲信号限制辐射的能量)。,2.速度分辨率与距离分辨率类似，信号的速度分辨率取决于速度模糊函数(4.2.21)多普勒分辨率fd为(4.2.22),式中是脉冲宽度。则相应的速度分辨率v为(4.2.23)当目标时延差较大时，为了全面考虑主瓣和旁瓣的分辨问题，可分别定义频率分辨常数FRC(Frequency Resolution Constant)和时间持续宽度TSP(Time SPan)为(4.2.24),(4.2.25)由上可得到表示速度分辨率的速度分辨常数(4.2.26)式中c为光速，f0为载频，为波长。所以，频率分辨常数FRC越小，或时间持续宽度TSP(也称为有效相
23、关时间)越宽，信号的速度分辨率越好。,3.距离-速度联合分辨率如前所述，速度相同、距离不同的目标分辨用信号的距离模糊函数表示；距离相同、速度不同的目标分辨用信号的速度模糊函数表示。类似地，可以用来表示距离-速度联合分辨率。定义模糊面积AA(AreaofAmbiguity)(4.2.27),作为距离-速度(或时延-多普勒)联合分辨常数。由模糊函数性质可知，只要信号的能量一定，模糊面积即为定值。这就说明了时延与多普勒联合分辨率的限制。无论怎样使时延或多普勒fd分辨率的某一方减小，其结果都将带来另一方的增大。这就是雷达模糊原理(Radar Ambiguity Principle)。设计雷达信号时，只
24、能在模糊原理的约束下通过改变模糊曲面的形状，使之与特定的目标环境相匹配。,4.2.3 单载频脉冲信号的模糊函数单载频脉冲信号是最基本的雷达信号，其时宽带宽积近似为1。下面推导矩形包络和高斯包络脉冲信号的模糊函数及其分辨率参数。1.矩形脉冲 矩形脉冲信号的归一化包络可写为(4.2.28),其中T为脉冲宽度。将上式代入模糊函数定义式(4.2.5)可得(4.2.29)对上式进行分段积分计算：当0T 时，积分限，则(4.2.30),当TT时，因u(t)u*(t)0，所以(，fd)0。,综合以上三种情况，可得(4.2.32)所以，矩形脉冲信号的模糊函数可表示为(4.2.33),矩形脉冲信号的模糊图及模糊
25、度图如图4.5所示(脉宽T1 s)。,图4.5 矩形脉冲信号的模糊函数图和模糊度图(6dB),式(4.2.33)中，若令fd0，可得到信号的距离模糊函数，即信号的自相关函数(4.2.34)同样，若令0，则可得到信号的速度(多普勒)模糊函数(4.2.35)图4.6给出了矩形脉冲信号(脉宽T1 s)的距离和速度模糊函数图。,图4.6 距离模糊函数图与速度模糊函数图(s=1 ms),2.高斯包络高斯包络单载频脉冲信号的复包络可写为(4.2.36)其中2表征高斯脉冲的均方时宽，其值越大，脉冲越宽。将上式代入模糊函数定义式(4.2.5)可得(4.2.37),作变量代换：可得(4.2.38),上式的计算中
26、利用了傅立叶变换对：注意：这里的该信号的归一化模糊函数为(4.2.39)高斯脉冲的模糊函数如图4.7所示，模糊度图如图4.8所示。图4.7中1 s，图4.8中分别为1 s和0.2 s。,图4.7 高斯脉冲的模糊函数(1 s),图4.8 模糊度图(6dB),分别令0、fd0可得信号的距离和多普勒模糊函数分别为(4.2.40)(4.2.41)高斯脉冲信号的距离模糊函数和多普勒模糊函数如图4.9所示。,图4.9 高斯脉冲的距离模糊函数和多普勒模糊函数(1s),如果将高斯脉冲按能量等效为矩形脉冲，则矩形脉冲的时宽Tp与高斯脉冲的均方时宽2之间的关系为(4.2.42)表4.3对矩形脉冲和高斯脉冲的分辨性
27、能进行了对比。,表4.3 矩形脉冲和高斯脉冲的分辨性能比较,从前面的分析可以看出，单载频脉冲信号模糊图呈正刀刃形，其重要特征是模糊体积集中于与轴线重合的“山脊”上。窄脉冲沿频率轴取向，具有良好的距离分辨率；而宽脉冲沿时延轴取向，具有良好的速度分辨率。单载频脉冲信号的不足之处是不能同时提供距离和速度参量的高分辨率。由于单脉冲信号的产生和处理都比较简单，因此对目标测量精度以及多目标分辨率要求不高、作用距离又不太远的雷达，可采用此类信号，实际上这也是一般雷达最常用的一种信号形式。,从分辨特性角度来看，模糊函数有四种类型：A类正刀刃型、B1类图钉型、B2类剪切刀刃型和C类钉床型；相应地，常用的雷达信号
28、按模糊函数也被划分成四类，如表4.4所示。,表4.4 雷达信号按模糊函数分类表,在实现最佳处理并保证一定信噪比的前提下，距离分辨率主要取决于信号的频率结构，为了提高距离分辨率，要求信号具有大的带宽；而速度分辨率则取决于信号的时间结构，为了提高速度分辨率，要求信号具有大的时宽；测量精度和分辨率对信号有一致的要求。此外，为了提高雷达发现目标的能力，要求辐射信号具有大的能量。,因此，为了提高雷达系统的发现能力、测量精度和分辨能力，要求雷达信号具有大的时宽、带宽、能量乘积。但在系统的发射和馈电设备峰值功率受限制的情况下，大的信号能量只能靠加大信号的时宽来得到。单载频脉冲信号的时宽带宽积接近于1，大的时
29、宽和带宽不可兼得。因此，对这种信号来说，测距精度和距离分辨率同测速精度和速度分辨率以及作用距离之间是相互限制的。,解决的方法之一是采用脉内非线性相位调制技术来提高信号的带宽，而同时又不减小信号的时宽。常用的脉内非线性相位调制技术有线性调频、非线性调频、相位编码以及频率编码等脉冲压缩信号，采用这种方法能获得大的时宽带宽积。后面将要介绍的相参脉冲串信号则是通过脉冲调幅，通过增大信号持续时间而不减小信号带宽的方法来得到大的时宽带宽积。下面几节分别对这些信号进行讨论。,调频脉冲压缩信号是通过非线性相位调制来获得大时宽带宽积的典型例子，包括线性调频和非线性调频信号，其中非线性调频脉冲压缩信号有多种调制方
30、式，如：V形调频、正弦调频、平方律调频等。,4.3 线性与非线性调频脉冲信号,4.3.1 线性调频(LFM或Chirp)脉冲信号线性调频信号是研究最早、应用也最广泛的一种脉冲压缩信号，它是在匹配滤波理论的基础上提出的。这种信号的突出优点是匹配滤波器对回波信号的多普勒频移不敏感，即使回波信号有较大的多普勒频移，匹配滤波器仍能起到脉冲压缩的作用，缺点是输出响应将产生与多普勒频移成正比的附加时延。,线性调频矩形脉冲信号的表达式可写为(4.3.1)其中，信号的复包络为(4.3.2),T为脉冲宽度；B/T为调频斜率，B为调频带宽，也称频偏。信号的瞬时频率为(4.3.3)信号波形示意图如图4.10所示。,
31、图4.10 线性调频信号的波形示意图,1.信号的频谱特性 线性调频信号的频谱由信号的复包络完全决定。对式(4.3.2)作傅立叶变换可得(4.3.4)作变量代换上式即可化为(4.3.5),其中积分限(4.3.6)采用菲涅尔(Fresnel)积分公式(4.3.7),并考虑其对称性(4.3.8)信号频谱可表示为(4.3.9a),根据菲涅尔积分的性质，当BT 1时，信号95以上的能量集中在B/2B/2的范围内，频谱接近于矩形。图4.11给出了不同BT值的频谱。,图4.11 线性调频信号的频谱,当BT 1时，式(4.3.9a)的频谱可近似表示为(4.3.9b)这时，U(f)的幅度谱|U(f)|和相位谱(
32、f)可近似表示为(4.3.9c)(4.3.9d),2.线性调频信号的模糊函数将式(4.3.2)信号的复包络代入模糊函数定义式(4.2.5)可得(4.3.10),上式中积分项为单载频矩形脉冲的模糊函数(参看单载频脉冲信号的内容)，只是这里的频移项有一个偏移，即fd。线性调频信号的模糊函数可表示为(4.3.11)图4.12和图4.13分别给出了线性调频矩形脉冲信号的归一化模糊图(剪切刀刃型)和模糊椭圆。,在小节已提到四个波形参数，分别为信号的有效时宽t和有效带宽f，以及时延测量的均方根误差t和频率测量的均方根误差f。可以证明，有效时宽t和有效带宽f有如下关系(4.3.12),图4.12 线性调频信
33、号的模糊函数图(B4 MHz，T2s),图4.13 线性调频信号的模糊度图(6 dB),该关系式可根据式(4.1.14)和式(4.1.15)所给的t和f的定义，采用Schwartz不等式推导出来。它是波形时宽及其频谱之间的傅立叶变换关系的结果。波形持续时间越长，它的频谱越窄；频谱越宽，时间波形越窄。因此，信号的时宽及其频谱不能同时任意小。,式(4.3.12)有时称为雷达测不准原理，因为它与量子物理中的重要概念Heisenberg测不准原理相类似。物理测不准原理是指一个物体(例如亚原子粒子)的位置和速度不能同时被精确地测量出来。但是实际上，雷达测不准原理与物理上的测不准原理正好相反，由式(4.3
34、.12)可知，对于雷达同时定位目标位置和确定目标速度来说，理论上不会存在精度限制。由式(4.1.16)和式(4.1.17)给出的均方根测时误差t和均方根测频误差f的定义，可得它们的乘积为,(4.3.13a)把不等式(4.3.12)代入式(4.3.13a)得到(4.3.13b),这表明只要雷达的信噪比(SNR)足够大，或者对于一定的SNR，选择具有大tf乘积的波形，就可以同时测量时延和频率，并且具有设计雷达时所期望的任意小的理论误差。当然，大的tf乘积需要长持续时间的波形和较宽的频谱宽度，例如采用脉冲的内部调制信号，使带宽比脉冲宽度的倒数大得多。根据式(4.3.13b)，距离测量精度R和径向速度
35、测量精度vr的乘积可以表示为(4.3.14),在雷达同时测距和测速中，没有任何理论上的“测不准”问题，所以不要同量子物理学中的测不准原理相混淆。在量子力学中，观察者对用来观察粒子的波形不能加以控制，而雷达工程师可以选择tf的值并提高SNR来改善测量精度。雷达传统上的精度限制其实不是理论上的必然，而是由于受到实际系统复杂性或系统成本等的限制。线性调频信号的距离模糊函数或自相关函数为(4.3.15),不难得到信号的时延分辨率(在4 dB处)为 当BT30时，持续带宽FSP近似为调频宽度B，与脉冲宽度无关，只要调频带宽B很大，信号可以有较高的距离分辨率，即 线性调频信号的速度或多普勒模糊函数为(4.
36、3.16),因此，线性调频信号的多普勒分辨率(4dB)为fnr1/T。持续时宽等于脉冲的宽度T，频移分辨常数FRC1TSP1T。图4.14所示为线性调频信号的归一化距离和速度模糊函数图。由图4.13不难看出，线性调频信号的模糊度图是单载频矩形脉冲信号的模糊度图旋转了一个角度，这样便带来了以下优点：(1)当目标的距离已知时，可以有很高的测速精度；当目标的速度已知时，可以有很高的测距精度。,图4.14 线性调频信号的距离模糊和多普勒模糊函数图,(2)在多目标环境中，当目标速度相同时，可以有很高的距离分辨率；当目标距离相同时，可以有很高的速度分辨率。,线性调频信号的主要缺点是：(1)在多脉冲观测的场
37、合，对于距离和速度都不知道的目标，只能测出其联合值；对于剪切刀刃附近的多目标，则完全无法分辨。当然，可以通过发射两个调频斜率相反的脉冲，克服联合测定的模糊。(2)匹配滤波器输出波形的旁瓣较高，当频移为零时，第一旁瓣约为13.2 dB。可以通过加权来降低旁瓣，但会导致主瓣的展宽。这在下一章介绍。(3)当调频带宽较大时，A/D的采样速率要求较高。,4.3.2 非线性调频脉冲信号虽然线性调频信号通过脉压在一定程度上解决了现代雷达对大时宽带宽的要求，但是它仍存在主副瓣比较低的问题。通过加权匹配滤波器可以降低副瓣，但加权又带来了信噪比降低和主瓣展宽的问题。为了解决以上问题，现代雷达也经常采用非线性调频(
38、NLFM)信号。,NLFM信号有多种类型，下面主要介绍V形调频信号和运用逗留相位原理进行近似求解的非线性调频信号。1.V形调频信号V形调频信号的表达式可写为(4.3.17)其中,(4.3.18),图4.15 V调频信号的波形与时频关系,由模糊函数的组合性质，可得V调频信号的模糊函数为(4.3.19)其中：11(，fd)和22，fd分别为u1(t)和u2(t)的模糊函数；而12，fd表示u1t和u2t的互模糊函数。由于u1tu2t，所以有(4.3.20)具体表达式可参考式(4.3.11)。,互模糊函数12(，fd)按下式计算(4.3.21)参照线性调频信号的模糊函数推导过程，可以求出(4.3.2
39、2),其中：当0T时，(4.3.23)当T2T时，(4.3.24),由式(4.3.19)可以看出，V调频信号的模糊函数是11(，fd)、22(，fd)和12(，fd)的矢量叠加。结果使原点处的主瓣高度增大一倍，倾斜刀刃的绝大部分由于取向不同，互不影响，形成旁瓣基台。图4.16为V调频信号的模糊图。从图中也可以看出，模糊图接近图钉型，解决了距离、速度联合测量的模糊问题。但对于多目标环境，仍有一定的测量模糊。,图4.16 V调频信号的模糊图,2.运用逗留相位原理进行近似求解的非线性调频信号运用逗留相位原理来近似求解非线性调频信号，首先给定一个窗函数，这里采用hamming窗，其表达式为(4.3.2
40、5),对给定的窗函数W(f)求得信号的群时延函数T(f)，其中常系数K1则根据具体的时延和频率偏移确定。(4.3.26)通常，T(f)是非线性函数，令tT(f)，可采用迭代或内插等数值计算方法确定T(f)的反函数，即非线性调频信号的调频函数f(t)为(4.3.27),对该调频函数进行积分即可计算相位(t)(4.3.28)则该非线性调频信号为(4.3.29),利用MATLAB工具，根据调频带宽确定的采样率，可以用下列方法产生非线性调频信号。该方法适用于任何窗函数的综合，其实现过程为：(1)将瞬时频率按照调频带宽离散化，采样间隔Ts大于两倍带宽的倒数。(2)将调频时间按照采样频率的整数倍离散化，即
41、时间向量t0TsTe，Te为脉冲宽度。(3)根据所选的窗函数，由式(4.3.26)计算群时延T(f)。,(4)采用数值计算方法确定T(f)的反函数f(t)。(可直接调用MATLAB中内插函数interp1)(5)按式(4.3.28)利用直接累加的方法求出离散点上的相位值。图4.17为由ha mming窗函数得到的NLFM信号的时频关系图和频谱，其时宽为200 s，调频带宽为1 MHz。,图4.17 非线性调频信号,相位编码信号是另一种脉冲压缩信号，其相位调制函数是离散的有限状态，称为离散编码脉冲压缩信号。由于相位编码采用伪随机序列，故又称为伪随机编码信号。按照相移取值数目的不同，相位编码信号可
42、以分为二相编码信号和多相编码信号。本节只介绍二相编码信号，并以巴克码序列和最大长度序列(M序列)编码信号为例进行分析。,4.4 相位编码脉冲信号,4.4.1 二相编码信号及其特征1.二相编码信号的波形一般编码信号的复包络函数可写为(4.4.1)其中j(t)为相位调制函数。对二相编码信号来说，j(t)只有0和两种取值，对应序列用cK1，1表示。取信号的包络为矩形，即(4.4.2),则二相编码信号的复包络可写为(4.4.3)其中：v(t)为子脉冲函数，T为子脉冲宽度，P为码长，PT为信号的持续时间。,2.二相编码信号的频谱利用函数的性质，式(4.4.3)二相编码信号的复包络可改写为(4.4.4)其
43、中：(4.4.5),应用傅立叶变换对：，不难得到二相编码信号的频谱为(4.4.6)其能量谱为(4.4.7),其中：(4.4.8a)(4.4.8b),这里表示二相伪随机序列的非周期自相关函数。通常，当P1时，伪随机序列的非周期自相关函数具有性质：(4.4.9)因此有(4.4.10),上式说明，二相编码信号的频谱主要取决于子脉冲的频谱。若采用的伪随机序列具有良好的非周期自相关特性，则得到的二相编码信号的频谱与子脉冲的频谱基本相同。二相编码信号的带宽与子脉冲带宽相近，即信号的脉冲压缩比或时宽带宽积为所以，采用较长的二相编码序列，就能够得到大的脉冲压缩比。,3.二相编码信号的模糊函数利用模糊函数的卷积
44、性质，可得到二相编码信号的模糊函数为(4.4.11)其中1(，fd)为子脉冲(矩形脉冲)的模糊函数。而2(，fd)可按下式计算,(4.4.12)利用式(4.4.11)和式(4.4.12)以及矩形脉冲的模糊函数式(4.2.29)，就可以计算出二相编码信号的模糊函数。,令fd0，可得到信号的距离模糊函数即自相关函数为(4.4.13)其中：为单个矩形脉冲的自相关函数，而为归一化的二相伪随机序列的非周期自相关函数。显然，二相编码信号的自相关函数主要取决于所用二相序列的自相关函数。,二相编码信号的时间分辨常数和持续带宽分别为 因此，子脉冲宽度T相同的二相编码信号都具有相同的持续带宽和时延分辨常数。二相编
45、码信号的速度模糊函数为(4.4.14),则信号的持续时(TSP)宽和频移分辨常数(FRC)分别为因此，持续时宽相同的二相编码信号具有相同的频率分辨常数。下面介绍两种典型的伪随机序列编码信号。,4.4.2 巴克(Barker)码巴克码序列具有理想的非周期自相关函数，即码长为P的巴克码的非周期自相关函数为(4.4.15)它的副瓣电平等于1，是最佳的有限二相序列，但是目前只找到7种巴克码(如表4.5所示)，最长的是13位。长度为n的巴克码表示为Bn。,表4.5 巴克码序列,长度P13、T1 s的巴克码序列编码信号的波形和频谱如图4.18所示。,图4.18 巴克序列编码信号的波形与频谱,图4.19与图
46、4.20为按式(4.4.11)计算的信号模糊函数图及模糊度图(P13、T1 s)。,图4.19 巴克码信号的模糊图,图4.20 巴克码序列的模糊度图(6 dB),图4.21 巴克码的距离模糊函数(左)和速度模糊函数(右),目前所知的巴克码序列的长度都太短，巴克码提供的最好副瓣衰减是22.2 dB，因而限制了它的应用。为了满足实际需要，人们提出了多项巴克序列和组合巴克序列。可以将Bm的码用于Bn的码，从而产生长度为mn的编码。例如，合成的B54码可以表示为B5411101，11101，00010，11101组合编码Bmn的压缩比为mn。但是，合成巴克码的自相关函数的副瓣不再等于1。,4.4.3
47、M序列编码信号伪随机编码也称最大长度序列(MLS)编码。这些码之所以称为伪随机的，原因在于其码元1，1出现的概率统计特性与掷硬币序列类似。但最大长度序列又是周期性的，通常称M序列。M序列为二相周期序列(4.4.16)且满足下列关系式(4.4.17),其中表示模2加；D表示移位单元；n为移位寄存器的位数。当(IDD2Dn)为不可分解的多项式，且又是原本多项式时，序列X0具有最大长度，其长度(周期)为P2n1，所以称之为最大长度序列。实际应用中，通常采用线性逻辑反馈移位寄存器来产生M序列。下面举例说明如何产生M序列。如果取n4，则序列长度P15。序列产生器框图如图4.22所示。,图4.22 M序列
48、产生器框图,设寄存器初始值为(1，1，1，1)，那么在移位脉冲的作用下，输出端将产生周期为15的M序列：1，1，1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，或者写为：，。图4.23为周期P15的M序列编码信号的模糊图。信号的自相关函数(fd0的主截面)和多普勒模糊函数(0的主截面)见图4.24。,图4.23 模糊函数图,图4.24 非周期自相关函数(左)与速度模糊函数(右),M序列具有许多重要的性质，下面列出与波形设计相关的几条：(1)在一个周期内，“1”的个数为(P1)2；“1”的个数为(P1)2。(2)M序列与其移位序列相乘，可得另一移位序列，即(4.4.18),(3)M序列的周期
49、自相关函数为(4.4.19)长度P15的M序列的自相关函数如图4.25所示。可以看出，周期自相关函数的副瓣均为1，而非周期自相关函数的峰值副瓣电平可以大于1。,雷达实际工作的过程中，在一个脉冲重复周期内发射一个周期的M序列信号，再对回波进行相关处理只能得到非周期自相关函数，因此，在雷达中希望非周期自相关函数的峰值副瓣电平尽可能低一些。(本书中提到自相关函数时若未特别指出，均为非周期自相关函数。),图4.25 M序列自相关函数(P15),(4)M序列的模糊函数为(4.4.20)(5)n级移位寄存器，改变反馈连接，能获得的M序列总数为(4.4.21),其中jp为欧拉斐(Eulor-phi)函数，即
50、(4.4.22)例如，3阶移位寄存器产生的最大长度序列的个数为(4.4.23),而6阶移位寄存器产生的最大长度序列的个数为(4.4.24)表4.6给出了n10的M序列反馈连接，由此可以产生不同长度的M序列。,表4.6 M序列的反馈连接,伪随机序列具有理想的周期自相关函数，而且模糊函数呈各向均匀的钉耙型。但是非周期工作时，自相关函数有较高的旁瓣。二相伪随机序列除了巴克码序列以外，其它序列(L序列、M序列等)的非周期自相关函数都不太理想。除二相序列以外，弗兰克(Frank)序列和郝夫曼(Huffman)序列等复数多相序列具有良好的非周期自相关特性，它们属于多相编码信号，此处不进行讲述。,与线性调频
