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1、小结,一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线),投影面平行线(一斜两平行)水平线、正平线、侧平线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。,投影面垂直线(一点两垂直)铅垂线、正垂线、侧垂线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,一般位置直线(三斜无实长)三个投影与各投影轴都倾斜。,二、直线上的点,从属性:点的投影在直线的同名投影上。,定比性:点分线段之比在投影中不变。AB:CB=ac:cb=a”c”:c”b”,三、两直线的相对位置,平行,相交,交叉,同面投影互相平行(注意投影面平行线)。,同面投影相
2、交,交点是两直线的共有点,且符合点的投影特性。,同面投影可能相交,但“交点”不符合点的投影特性。所谓“交点”是两直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时,在该投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行于某一投影面时,在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时,在三个投影面上的投影都不反映直角。,直角投影定理,即要在投影图中画垂直或判断垂直,必须有投影面平行线。,1.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,两平行直线,两相交直线*,平面图形,1、用几何元素表示平面,直线及线外一点,2.迹线表示法 空间平面与投影面的交线
3、叫平面的迹线。平面P与H面的交线为水平迹线PH,与V面的交线为正面迹线PV,与W面的交线为侧面迹线PW。,a.一般位置平面的迹线表示法,b.特殊位置平面的迹线表示法,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影,平面/投影面投影反映实形面,平面投影面投影积聚成直线,平面投影面投影类似原平面,各种位置平面的投影(三类七种情况),投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面,倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,铅垂面,投影特性:1.abc积聚为一条线,与OX、OYH的夹角反映、角;2.abc、abc为ABC的类似形;,1
4、)投影面垂直面的投影,正垂面,投影特性:1.abc 积聚为一条线,与OX、OZ的夹角反映、角;2.abc、abc为 ABC的类似形。,侧垂面,投影特性:1、abc积聚为一条线,与OYW、OZ 的夹角反映、角;2、abc、abc为 ABC的类似形。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性:,1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,2.另两个投影面上的投影有类似性。,是什么位置的平面?,投影特征:一斜两类似,水平面,投影特性:1.abc/OX、abc/OYW,分别积聚为直线;2.水平投影abc反映 A
5、BC实形。,2)投影面平行面的投影,正平面,投影特性:1.abc/OX、abc/OZ,分别积聚为直线;2.正面投影abc反映 ABC实形。,投影特性:1.abc/OYY、abc/OZ,分别积聚为直线;2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。,侧平面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性:,1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。,2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影特征:两线一实形,一般位置平面,投影特性 1.abc、abc、abc 均为 ABC的类似形;2.不反映、的真实角度。,3)一般位置平面的投影(三类似),例:用有积聚性的迹线表示下列平面:过直线AB的
6、正垂面P;过点C的正平面Q;过直线DE的水平面R。,a,b,a,b,投影面平行面:两线一实形投影面垂直面:一斜两类似,平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1:已知平面由直线AB、AC所确定,试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2:在平面ABC内作一条水平线,使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解!,平面上取点,若点在平面内的任一直线上,则此点一定在该平面上。,即:点在线上,则点在面上。,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线,然后再在该直线上确定点的位置。,例1:已知K点在平面ABC上,求
7、K点的水平投影。,面上取点的方法:,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线(细实线)求解,例2 已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。,e,e,点D不属于平面ABC,e,e,点D属于平面ABC,例3:作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。,d,e,求线先找两已知点,求点先找已知线。,a,a,b,c,c,b,f,e,f,d,1,2,1,2,k,b,例4:AC为正平线,补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,找点B先求线DB,求线DB先找点K。,利用平行四边形对边平行,例5:判断点K是否在平面上(另判断四点是否在同一平面*),点在面上,点不在面上(*)
8、,点不在面上,例6:已知平面ABCD的边BC/H面,完成其正面投影。,b,c,1,1,a,d,a,b,c,d,BC为水平线bc/OX,分析:根据ad想办法求bc,a,b,c,b,a,c,例7 已知ABC 给定一平面,试过点C作属于该平面的正平线,过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,正平线上的点Y坐标相同,水平线上的点Z坐标相同,交点K是既满足Y坐标又满足Z坐标的点。,k,k,k,1,2,1,k,例8:在ABC内确定K点,使K点距H面为18mm,距V面为15mm.,分别画出:1.距H面18mm的水平线(Z相同=18)。2.距V面15mm的正平线(Y相同=15)。3.两条线的交点满足K
9、点的条件。,2,例9:在平面ABC上取一点K,使点K在点A之下15mm(Z)、在点A之前20mm处(Y)。(思考题),K在点A之下15mm的水平线上,K在点A之前20mm的正平线上,四、圆的投影,圆的投影特性:,1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形;(实形性),2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线,其长度等于圆的直径;(积聚性),3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径AB的投影(ab);短轴是与上述直径垂直的直径DE的投影(de)。(类似性)本节到此,椭圆的近似画法(四心法):,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,椭圆的画法,一节到此,1.CF
10、=CE=OA-OC,O,2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点,取对称点3.4。,3.分别以1.2.3.4点为圆心,1为半径作弧,拼成近似椭圆。,四、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时,在该投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行于某一投影面时,在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时,在三个投影面上的投影不一定反映直角。,直角投影定理,即要在投影图中画垂直或判断垂直,必须有投影面平行线。,小结,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面(三类似),投影面垂直面(一斜两类似),投影面平行面(两线一实形),三个投影为边数相等的类似多边形。,在其垂直的投影面
11、上的投影积聚成直线。另外两个投影为类似多边形。,在其平行的投影面上的投影反映实形。另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线(P27-30),1.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交(垂直)。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,即:将线面/,转化为线线/,直线与平面平行,1.当直线与特殊位置平面相平行时,直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影,如图。,2.当直线与平面都为特殊情况且平行时,直线与平面的积聚性投影在同面投影上。,特殊情况:,例1:过A点作平面平行于线段BC。,作图:ad/bc,ad/bc故,BC/平面DAF,分析:线线/,则
12、线面/;过A点做直线AD/BC。,可过A点任意作直线AF,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,有无数解,分析:过M点作一条/平面内的任意直线的直线,即得.,例2:过M点作直线MN平行于平面ABC。,正平线,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,分析:在平面ABC内作一条正平线,MN/此正平线,即得.,例3:过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线,则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行,则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,2.两平面平行,平行,举例,例 判断下列两平面是否平行,不平行,直线与平面相交(实物),直线与平面相
13、交,其交点是直线与平面的共有点,且交点是直线与平面可见与不可见的分界点。,要讨论的问题:,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡的可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个元素处于特殊位置的情况(直线特殊或者平面特殊)。,二、相交问题(重点与难点),(1).直线与平面相交(平面为特殊位置),a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1.空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面,其水平投影积聚成一条直线,该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性(V面),由水平投影可知,KN段在平面ABC前,故正面投影上kn为可见。再根据:交点是可见与不可见的分界点,求得k m 上一段不可见。,
14、还可通过重影点判别可见性。,1(2),2.作图,例:求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性,(2)直线为特殊位置,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,1.空间及投影分析,直线MN为铅垂线,其水平投影积聚成一个点,故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性(V面)用重影点判断,点位于平面上,在前;点位于MN上,在后。故k 2为不可见。,1(2),2.作图,用面上取点法,两平面相交(实物),两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时交线上的点都是两平面的共有点,交线是两平面可见与不可见的分界线。,要讨论的问题:,求两平面的交线,方法:确定两平面的两
15、个共有点。确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况(即两种情况:一个平面处于特殊,两个平面都处于特殊)。,判别两平面之间的相互遮挡的可见性。,(1)两平面都为特殊平面(书),可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),1.空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面,它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。,求交线,判别可见性(H面),2.作图,从正面投影上可看出,在交线左侧,平面ABC在上,其水平投影可见。,例1:求两平面的交线MN,并判别可见性。,(2).其中一平面为特殊平面,F,B,A,C,E,H,a,
16、b,c,M,N,m,n,P,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1.空间及投影分析,平面EFH是一水平面,它的正面投影有积聚性。ab与efh的交点m、b c与efh的交点n,即为两平面的两个共有点的正面投影,故mn是MN的正面投影。,求交线,判别可见性(H面),mnb在efh上面,故水平投影mnb可见,其他可见性可根据投影特点得出。,2.作图,(2).其中一平面为特殊平面(求交线MN),c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面,说明点N位于DEF所确定的平面内,但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,三、
17、垂直问题,1.直线与平面,与铅垂面垂直的直线为水平线,H面;与正垂面垂直的直线是正平线,V面.,与铅垂线垂直的平面是水平面,V;与正垂线垂直的平面是正平面,H.,1)平面特殊投影面垂直面的直线是投影面平行线,并在平面积聚性投影上反映直角;即,2)直线特殊投影面垂直线的平面是投影面平行面,并在平面积聚性投影上反映直角;即,作点A到平面CDEF的距离?(EFD呢?),2.平面与平面垂直,只介绍两个投影面垂直面相垂直:它们的交线为投影面的垂直线,且在积聚性的投影反映直角;,下面举例,垂直,垂直,不垂直,ed,(e),1,1,举例,此点是AB和MN的重影点,例 求直线与平面的交点,并判别可见性.,V,
18、W,本节到此,小结:直线与平面及两平面的相对位置,直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。当直线与特殊位置平面相平行时,直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影。,两平面平行 若两投影面垂直面相互平行,则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,一、平行问题(P38),二、相交问题,求直线与平面,平面特殊,利用交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点,另一个投影可投在直线的另一个投影上;可见性直接判断。(P47),直线特殊,利用交点的一个投影与直线的积聚性投影重合,另一个投影可利用平面上取点的方法求解;可见性用重影点判断。(P49),两平面相交,一平面特殊,可利用特殊位置平面的积聚性找出两
19、平面的两个共有点,求出交线;可见性可直接判断。(P54),两平面特殊,交线为投影面的垂直线,可见性可直接判断(P52)。,三、垂直问题,1).直线与投影面垂直面:与铅垂面相垂直的直线是水平线,与正垂面相垂直的是正平线,并在平面积聚的投影面上反映直角。,1.直线与平面垂直,2).投影面垂直线与平面:与铅垂线垂直的是水平面,与正垂线垂直的是正平面,并在平面积聚的投影面上反映直角。,垂直 不垂直,2.两平面垂直,1)两个投影面垂直面相垂直:它们的交线为投影面的垂直线,且在两积聚性的投影反映直角。,完,1,1,1,举例,此点是CD和MN的重影点,举例,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面(三类似),投影面垂直面(一斜两类似),投影面平行面(两线一实形),三个投影为边数相等的类似多边形。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形。另外两个投影积聚为直线。,小 结,二、平面上的点与直线(P27-30),直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性,交点可直接求出。,判断直线的可见性,特殊位置线面相交,根据平面的积聚性投影,能直接判别直线的可见性。,一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性,交线可直接求出。,判断平面的可见性,
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