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1、1,集合论,2,集合论部分,第3章 集合的基本概念和运算第4章 二元关系和函数,3,第3章 集合的基本概念和运算,3.1 集合的基本概念3.2 集合的基本运算3.3 集合中元素的计数,4,3.1 集合的基本概念,集合的定义与表示 集合与元素 集合之间的关系 空集 全集 幂集,5,集合定义与表示,集合 没有精确的数学定义 理解：一些离散个体组成的全体 组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示 列元素法 A=a,b,c,d 谓词表示法 B=x|P(x)B 由使得 P(x)为真的 x 构成 常用数集 N,Z,Q,R,C 分别表示自然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意 0 是自然数.,6,集合
2、与元素,元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于 实例 A=x|xRx2-1=0,A=-1,1 1A,2A注意：对于任何集合 A 和元素 x(可以是集合)，xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.,7,隶属关系的层次结构,例 3.1A=a,b,c,d,d b,cAbAdAdAdA,8,集合之间的关系,包含（子集）A B x(xA xB)不包含 A B x(xA xB)相等 A=B A B B A 不相等 A B 真包含 A B A B A B 不真包含 A B 思考：和 的定义 注意 和 是不同层次的问题,9,空集与全集,空集 不含任何元素的集合实例 x|x2+1=0 xR 就是空集定理 空
3、集是任何集合的子集 A x(xxA)T 推论 空集是惟一的.证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A(AE),10,幂集,定义 P(A)=x|xA 实例 P()=，P()=,P(1,2,3)=,1,2,3,1,2,3计数 如果|A|=n，则|P(A)|=2n,11,3.2 集合的基本运算,集合基本运算的定义 文氏图（John Venn）例题集合运算的算律集合包含或恒等式的证明,12,集合基本运算的定义,并 AB=x|xA xB 交 AB=x|xA xB 相对补 AB=x|xA xB 对称差 AB=(AB)(BA)=(AB)(AB)绝对
4、补 A=EA,13,文氏图表示,14,关于运算的说明,运算顺序：和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1A2An=x|xA1xA2xAn A1A2An=x|xA1xA2xAn某些重要结果 ABA AB AB=（后面证明）AB=AB=A,15,只有一、二年级的学生才爱好体育运动,F:一年级大学生的集合 S：二年级大学生的集合 R：计算机系学生的集合 M：数学系学生的集合 T：选修离散数学的学生的集合 L：爱好文学学生的集合 P：爱好体育运动学生的集合,T(MR)S,RS T,(MF)T=,MLP,PFS,S(MR)P,除去数学和计算机系二年级学生外都不选修离散数学,例
5、1,所有计算机系二年级学生都选修离散数学,数学系一年级的学生都没有选修离散数学,数学系学生或爱好文学或爱好体育运动,16,例2,=S2,=S5,=S1,S2,S4,=S3,S5,与 S1,.,S5 都不等,17,集合运算的算律,吸收律的前提：、可交换,18,集合运算的算律（续）,19,集合包含或相等的证明方法,证明 XY命题演算法包含传递法等价条件法反证法并交运算法,证明 X=Y命题演算法等式代入法反证法运算法,以上的 X,Y 代表集合公式,20,任取 x，xX xY,命题演算法证 XY,例3 证明AB P(A)P(B)任取x xP(A)xA xB xP(B)任取x xA xA xP(A)xP
6、(B)xB xB,21,包含传递法证 XY,找到集合T 满足 XT 且 TY，从而有XY例4 AB AB证 AB A A AB 所以 AB AB,22,利用包含的等价条件证 XY,例5 ACBC ABC 证 AC AC=C BC BC=C(AB)C=A(BC)=AC=C(AB)C=C ABC 命题得证,23,反证法证 XY,欲证XY,假设命题不成立，必存在 x 使得 xX 且 xY.然后推出矛盾.例6 证明 AC BC ABC证 假设 AB C 不成立，则 x(xABxC)因此 xA 或 xB，且 xC 若 xA,则与 AC 矛盾；若 xB,则与 BC 矛盾.,24,利用已知包含式并交运算,例
7、7 证明 ACBC ACBC AB证 ACBC，AC BC 上式两边求并，得(AC)(AC)(BC)(BC)(AC)(AC)(BC)(BC)A(CC)B(CC)AE BE A B,由已知包含式通过运算产生新的包含式 XY XZYZ,XZYZ,25,例8 证明 A(AB)=A（吸收律）证 任取x,xA(AB)xA xAB xA(xA xB)xA,命题演算法证明X=Y,任取 x，xX xY xY xX 或者 xX xY,26,等式替换证明X=Y,例9 证明A(AB)=A（吸收律）证(假设交换律、分配律、同一律、零律成立)A(AB)=(AE)(AB)同一律=A(EB)分配律=A(BE)交换律=AE
8、零律=A 同一律,不断进行代入化简，最终得到两边相等,27,反证法证明X=Y,例10 证明以下等价条件 AB AB=B AB=A AB=(1)(2)(3)(4)证明顺序：(1)(2),(2)(3),(3)(4),(4)(1),假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 xX且xY，或者存在 x 使得 xY且xX，然后推出矛盾.,28,(1)(2)显然BAB，下面证明ABB.任取x，xAB xAxB xBxB xB因此有ABB.综合上述（2）得证.,(2)(3)A=A(AB)A=AB（将AB用B代入),29,(3)(4)假设AB,即xAB，那么xA且xB.而 xB xAB.从而与AB=A矛盾.,(4
9、)(1)假设AB不成立，那么 x(xA xB)xAB AB与条件（4）矛盾.,30,集合运算法证明X=Y,例11 证明AC=BC AC=BC A=B证 由 AC=BC 和 AC=BC 得到(AC)-(AC)=(BC)-(BC)从而有 AC=BC 因此 AC=BC(AC)C=(BC)C A(CC)=B(CC)A=B A=B,由已知等式通过运算产生新的等式 X=Y XZ=YZ,XZ=YZ，X-Z=Y-Z,31,集合的基数与有穷集合包含排斥原理有穷集的计数,3.3 集合中元素的计数,32,集合 A 的基数：集合A中的元素数，记作 cardA有穷集 A：cardA=|A|=n，n为自然数.有穷集的实例
10、：A=a,b,c,cardA=|A|=3；B=x|x2+1=0,xR,cardB=|B|=0 无穷集的实例：N,Z,Q,R,C 等,集合的基数与有穷集合,33,包含排斥原理,定理 设 S 为有穷集，P1,P2,Pm 是 m 种性质，Ai 是 S 中具有性质 Pi 的元素构成的子集，i=1,2,m.则 S 中不具有性质 P1,P2,Pm 的元素数为,34,证明,证 设 x不具有性质 P1,P2,Pm,xAi,i=1,2,m xAiAj,1 i j m xA1A2Am,x 对右边计数贡献为 1 0+0 0+(1)m 0=1,证明要点：任何元素 x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为，否则为
11、,35,证明（续）,设 x具有 n 条性质，1nm x 对|S|贡献为 1 x 对 贡献为 x 对 贡献为.x 对|A1A2Am|贡献为 x 对右边计数贡献为,36,S中至少具有一条性质的元素数为,推论,37,解：S=x|xZ,1 x 1000,如下定义 S 的 3 个子集 A,B,C：A=x|xS,5|x，B=x|xS,6|x，C=x|xS,8|x,例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？,应用,38,对上述子集计数：|S|=1000,|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=133，|C|=1000/8=125,|
12、AB|=1000/30=33,|BC|=1000/40=25,|BC|=1000/24=41,|ABC|=1000/120=8,代入公式 N=1000(200+133+125)+(33+25+41)8=600,例1（续）,39,文氏图法,求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？,40,例2 24名科技人员，每人至少会1门外语.英语：13；日语：5；德语：10；法语：9英日：2;英德：4；英法：4；法德：4会日语的不会法语、德语求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数,x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10 x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1,y1=4,y2=3,y3=2,41,例3 求欧拉函数的值,欧拉函数：(n)表示0,1,n1中与n互素的数的个数.(12)=4，与12互素的数有1,5,7,11.解：n 的素因子分解式 Ai=x|0 xn1且 pi 整除 x,42,实例,与 60 互素的正整 数有 16 个：1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59.,43,
