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1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,x,y,o,x,y,o,z,p,A,B,i,j,p,A,B,C,Q,P=x i+y j,P=x i+y j+z k,p=(x,y,z),p=(x,y),在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,你能得到类似的结论吗？,x,y,o,p,A,B,C,Q,z,定理 如果三个向量，那么对空间任 一向量p,存在有序实数组x,y,z使得 p=x a+y b+z c,a,b,c,基底,基向量,a,b,c,不共面,判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面.()(2)若
2、a,b为空间两个不共线的向量，c=a+b(,R且0)，则a,b,c构成空间的一个基底.()(3)若a,b,c为空间一个基底，则-a,-b,-c也可构成空间一个基底.(),二、空间向量的正交分解及坐标表示1.单位正交基底：由三个_的有公共起点的_组成的基底称为单位正交基底.,两两垂直,单位向量,2.空间向量的正交分解,i,j,k,正交基底,P=xi+yj+zk,p=(x,y,z),类型 一 判断三个向量能否成为基底【典型例题】1.已知e1,e2,e3是空间向量的一个基底，下列向量中，能够与向量a=e1+e2,b=e1-e2构成基底的向量的序号是_.e1;e2;e1+2e2;e1+2e3.2.已知
3、e1,e2,e3是空间向量的一个基底，向量a=3e1+2e2+e3,若a,b,c能作为空间向量的一个基底，则实数满足的条件是什么？请说明理由.,0,类型 二 空间向量的分解用基底表示向量【典型例题】1.(2013聊城高二检测)如图所示，点M为OA的中点，以 为基底的向量 则(x,y,z)=_.,类型 三 空间向量(点)的坐标表示【典型例题】1.已知在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为D1C1,B1C1的中点，若以 为基底，则向量 的坐标为_,向量 的坐标为_，向量 的坐标为_.,(1/2,1,1),(1,1/2,1),(1,1,1),2.如图所示，在三棱锥O-ABC中，
4、OA，OB，OC两两垂直，OA=1，OB=2，OC=3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以 方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标.,4.向量在不同基底下的坐标1.已知向量a,b,c是空间的一个基底，向量a+b,a-b,c是空间的另一个基底，一个向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3)，则p在基底a+b,a-b,c下的坐标为_.2.向量p在基底a，b，c下的坐标是(3，2，-1).试求p在基底 下的坐标.,【易错误区】求向量的坐标时建系不当致误【典例】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则 的
5、坐标为_,的坐标为_,的坐标为_.,1.下列各组向量能构成一个基底的是()A.长方体ABCD-A1B1C1D1中的向量B.三棱锥A-BCD中的向量C.三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量D.四棱锥S-ABCD中的向量【解析】选B.根据题意可知，A，C，D中的向量都共面，只有B中的三个向量不共面，可构成一个基底.,2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴,z轴正方向上的单位向量，且向量 则p的坐标为_.【解析】根据题意,i,j,k是空间直角坐标系中的单位正交基底，又答案：,3.已知四面体ABCD中，棱AC，BD的中点分别为E，F，则【解析】如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则答案：3a+3b-5c,4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设 与B1D1的交点为E，则【解析】如图所示，答案：,5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4,点E是AB的中点，点F是A1D1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标.【解析】A(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,0,4),D1(0,2,4),C1(2,2,4),E(1,0,0),F(0,1,4),
