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1、数量关系,第七章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点,线,面,基本方法 坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、空间直角坐标系,三、向量的线性运算,二、向量的概念,空间直角坐标系与向量代数,第七章,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,
2、特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,为空间两点.,在直角三角形,和,中,用勾股定理,2.空间两点间点的距离,空间两点间距离公式,例1.在 y 轴上求与两点,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?,等距离的点.,向量表示:,向量的模:,向量的大小,二、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量
3、:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k,个向量共面.,空间一点在轴上的投影,过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上,的投影.,空间一向量在轴上的投影,轴u称为投影轴.,已知向量的起点A和终点B,在轴u上的投影分别为,那么轴u上的有向线段,的值,称为向量在轴u上的,投影.,1.向量在轴上的投影,三、向量的线性运算,Projection,在轴u上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴u上的,投影,记为,投影性质1,投影等于向量的
4、模乘以,投影有正、,负之分;,模只为正值.,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和.,投影性质2：两向量和在轴上的投影,u,A,B,c,A,B,c,投影性质3,1,证,B,A,2.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,的投影,如 是与轴 u正向一致的单位向量,因此,可知:,上坐标分别为,起点,终点,向量在x轴上的投影,向量在y轴上的投影,向量在z轴上的投影,按基本单位向量的坐标分解式：,向量的坐标表达式：,坐标,坐标,坐标,3.模、方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三
5、坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例+.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例+.设点 A 位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,4、向量的加减法,加法,三角不等式,定义2：设,则,减法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,5.向量与数的乘法,性质1.,设 a 为非零向量,则,设,则,定义3：,性质2.,取
6、方向与三个坐标轴正向相同的单位向量,则任意向量,可分解为,例2.,解:,由向量的运算性质得,求,例3.,证明连接三角形两边中点的线段平行于,第三边且等于第三边的一半。,证明:,所以有,且,例4.已知两点,在AB直线上求一点 M,使,解:设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明:由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,5、两向量的数量积,1）.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,6、两向量的数量积,故,2）.性质,为两个非零向量,则有,3）.运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,4）.数量积的坐标表示,设,则
7、,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,例5.已知,解:,求,故,例6+.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,1）.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,例如力矩,思考:右图三角形面积,S,7、两向量的向量积,2）.性质,为非零向量,则,3）.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,4）.向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,(行列式计算见 P339P342),例6 已知,求与 都垂直且满足如下之一条件的向量:,(1)为单位向量;,又,得,所以,(1),例6+.已知三点,角形 ABC 的面积.,解:如图所示,求三,8、向量的混合积,1）定义,已知三向量,称数量,混合积.,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2）混合积的坐标表示,设,3）性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,(可用三阶行列式推出),例7.已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积.,解:已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,补充例.证明四点,共面.,解:因,故 A,B,C,D 四点共面.,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,2.向量关系:,思考与练习,1.设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦.,答案:,2.用向量方法证明正弦定理:,
