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1、在空间任意选取一点O,过点O引三条互相垂直的数轴Ox,Oy,Oz.并按右手规则(如图),规定Ox，Oy,Oz的正方向,即沿Ox轴到Oy轴方向握住Oz轴,此时拇指指向Oz轴的正方向.再规定一个长度单位.这时就建立了一个空间直角坐标系.其中,点O称为坐标原点,Ox,Oy,Oz称为坐标轴,并分别称为x轴,y轴,z轴。,每两条坐标轴确定一个平面,称为坐标平面,分别称为xy,yz,zx平面.三个坐标平面将空间分为8个部分,称为8个卦限.把含有x轴正向,y轴正向,z轴正向的那个卦限称为第一卦限.,设M为空间的任意一点,过点M分别作垂直于三个坐标轴的平面,这三个平面分别与三个坐标轴交于P,Q,R三点.设OP
2、=,OQ=,OR=,则点M唯一确定了一个三元有序数组,反之,对任意一个三元有序数组,在x,y,z三个轴上分别取点P,Q,R,使OP=,OQ=,OR=,然后过P,Q,R三点分别作垂直于x,y,z轴的平面,这三个平面相交于一点M,则由一个三元有序数组 又唯一地确定了空间的一个点M.,坐标原点的坐标为(0,0,0);x轴上点的坐标为(x,0,0);y轴上点的坐标为(0,y,0);z轴上点的坐标为(0,0,z);xy平面上点的坐标为(x,y,0);yz平面上点的坐标为(0,y,z);zx平面上点的坐标为(x,0,z).,可以证明,空间任意两点,之间的距离公式为:,特别地,空间任意一点M(x,y,z)与
3、坐标原点O(0,0,0)之间的距离 公式为:,如果点,均位于xy平面上,即,则得到我们已知的xy平面上任意两点之间的距离公式,5.1.2 空间任意两点间的距离,与平面解析几何中建立曲线与方程的对应关系一样,可以建立空间曲面与包含三个变量的方程F(x,y,z)=0的对应关系.,如果有一个曲面S与一个三元方程F(x,y,z)=0，它们满足如下条件 1)曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0.那么曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形,而方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程.,以下我们只介绍平面和几种常见的曲面及其方程.
4、,5.1.3 空间曲面与方程,1.平面平面是空间中最简单且最重要的曲面.,例5.1.2 作z=c(c是常数)的图形.,解 方程z=c中不含x,y,这说明x,y取任何值时,总有z=c,其图形为距离xOy平面|c|个单位,且平行于xOy平面的平面.此平面可由xOy平面向上(c0)或向下(c0),平行移动|c|个单位而得到.,例5.1.3 求到两定点(1,-1,1)与(2,1,-1)等距离的点M(x,y,z)的轨迹方程.,解 由于,所以,化简得点M的轨迹方程为 2x+4y-4z-3=0.,前面两个例子所讨论的方程都是三元一次方程,所考察的图形都是平面.可以证明平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=
5、0,其中,A,B,C,D均为常数,且A,B,C不全为零.,空间中的两个平面相交得一直线。因此，联立两个三元一次方程就表示这条直线。该方程组就是这条直线的方程。,2.柱面 直线L沿给定曲线C平行移动所形成的曲面,称为柱面.动直线L称为柱面的母线,定曲线C称为柱面的准线.,例5.1.4 作方程 的图形.,(1)圆柱面,(2)抛物柱面,例5.1.5 方程 表示母线平行于z轴,准线是xOy平面上抛物线 的抛物柱面.,例5.1.6 求球心为点,半径为R的球面方程.,3.球面,4.旋转抛物面,例5.1.7 函数 的图形是一个旋转抛物面.,5.双曲抛物面,例5.1.7 函数 的图形是一个双曲抛物面,也称马鞍面。,1.平面区域,在xOy平面上,平面区域是指整个xOy平面或在xOy平面上由一条或几条曲线围成的部分,围成区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的平面区域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无限远处,则称这个区域为无界区域.否则,称为有界区域.,2.邻域,5.1.4 平面区域的概念,设 为xOy平面上一定点,为正数.以 为圆心,为半径的开圆域称为点 的-邻域.,
