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1、第三讲,系统的因果性和稳定性1.4时域离散系统的输入输出描述-线性常系数差分方程,要点,LSI系统因果稳定性定义及判断方法时域离散系统的输入输出描述及求解方法线性常系数差分方程、初始条件与系统特性之间的关系,系统的因果性和稳定性,因果系统(causality system)若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。,LSI系统是因果系统的充要条件：,满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有
2、加入信号，输出只能等于零，注：关于此条件的严格证明可参考程佩青数字信号处理教程,系统的因果性和稳定性,如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。非因果数字系统是可以近似实现的系统。,系统的因果性和稳定性,一个非因果数字系统地实现,系统的因果性和稳定性,实际系统一般是因果系统 对图象、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因果系统在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数区分开来，如y(n)=x(n)sin(n+2)是因果系统在判断时必须考虑全部时间变量 如
3、 y(n)=x(n-k)是有条件因果系统,系统的因果性和稳定性,稳定系统(stability system)稳定系统是有界输入产生有界输出的系统数学描述：若,LSI系统是稳定系统的充要条件：,则,LSI系统是稳定系统的充要条件,证明 先证明充分性。即若h(n)满足绝对可和条件,则输入有界输出必有界。,因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-n B为任意常数,则有,下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足 那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：,x(n)=,令n=0,说明输入有界,结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果序列，且是绝对可和的，即：,例设线性时不
4、变系统的单位取样响应 式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,只有当|a|1时,有条件稳定,例1.3.7 设系统的)单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。y(n)=x(n)*h(n)=因为当n-k0时，u(n-k)=0；n-k0时，u(n-k)=1，因此，求和限为kn，所以,(1.3.15),分析该系统的稳定性：,单位取样响应h(n)=u(n)代表的系统为因果非稳定系统,1.4时域离散系统的输入输出描述-线性常系数差分方程,描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，
5、这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。,一、系统的时域描述,（1）单位冲击响应h(n)（2）差分方程,求解条件：N个初始值和M各输入序列,二、常系数线性差分方程,一个N阶常系数线性差分方程表示为：,其中：,*差分方程的阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差，如 N=N-0.线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。,求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法,对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不
6、相同的。对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是否是线性时不变因果稳定，还需要用初始条件进行限制。,差分方程与系统的关系,例1：已知常系数线性差分方程（1）若边界条件 求其单位抽样响应。（2）若边界条件 求其单位抽样响应，并判断是否为线性时不变系统。,对应一个因果系统,判断是否为线性时不变系统,1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们以后讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不
7、变系统，且多数代表因果系统。,注意：,作业,1-4；1-5（1）（3）（5）（7）1-6（1）（3）（5）；1-71-8,下一讲内容及要点,要点：抽样过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？奈奎斯特抽样定理的意义?由时域离散信号恢复模拟信号的过程称为内插恢复过程，该过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？,解：,1.已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位抽样响应为h(n)，试求系统的输出y(n)，并画图。,2 已知一个线性时不变系统的单位抽样响应 除区间 之外皆为零；又已知输入 除区间 之外皆为零；设输出 除区间 之外皆为零，试以 和 表示和。,本题的目的旨在解释当参与卷积的两序列为有限长时，如何确定卷积和的非零区间。,解：,对线性移不变系统，有,对，非零值的区间为,对，非零值区间为,得输出 的非零值区间,3.判断以下系统是否是（1）线性（2）移不变（3）因果（4）稳定的？,满足叠加原理,是线性系统,不是移不变系统,因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统,若 有界,当 时，输出有界，系统为稳定系统,当 时，输出无界，系统为不稳定系统,满足叠加原理,是线性系统,是移变系统,当 时，输出只取决于当前输入和以前 的输入,而当 时，输出还取决于未来输入,是非因果系统,当 时，,是不稳定系统,
