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1、时间:14周星期五16:00 18:00(7-8节)(2011年12月2日)地点:南教300石工1010-13;,考试安排,答疑安排,时间:14周 星期二15:00 16:30 星期三15:00 16:30 星期四15:00 16:30 星期五8:00 10:00地点:南堂112,复 习 要 点,第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算第二章 解矩阵方程、伴随矩阵的性质第三章 向量的线性相关性讨论、用矩阵的初等变 换解题、矩阵及向量组的秩的讨论第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、齐次或非齐次解的结构的讨论第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换
2、化二次型为标准形）、正定性判别第六章 子空间，基，维数与坐标，基变换与坐标 变换，线性变换及其矩阵表示,线性代数中的“一、二、三、四、五、六”,一种基本运算：矩阵的初等变换。两大主线：向量与矩阵。三种矩阵关系：等价、相似、合同。四个难点：1.矩阵和向量组的秩;2.伴随矩阵；3.相似变换;4.特征值和特征向量的讨论.五大板块：行列式、矩阵、向量、方程组、二次型。六个重要知识点：1.行列式的性质与计算;2.矩阵可逆的各种等价条件;3.矩阵秩与向量组的秩的讨论;4.向量组的相关性讨论;5.线性方程组的解的讨论;6.二次型化简（或对称阵化 为对角阵）。,一、填空,1、6 阶行列式中项,的符号为。,+,
3、2、已知向量组,线性相关。则t=。,3,3、设A，B同为 n 阶矩阵，,。,4、设,=。,5、设向量组,等价，且,线性无关，则 r 与 t 间满足。,。,7、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为。,2，-4，8,9、若二次型,是正定的，则t的取值范围是。,10、若n阶可逆矩阵 A的每行元素之和均为a,则数 一 定是矩阵 的特征值。,.,8、设,则矩阵A的秩R(A)=,05年考研题,.,2,例 1,补充例题,04年考研题,.,1/9,例 2,解,例3 设 An 为 n 阶行列式,证明 A1,A2，An,是一 个等差数列，并由此求出 An.,即,所以等差数列的首项
4、为2，公差为1，由此可得,证,例 4,5 设有方程组,问为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。,解 增广矩阵,当=4时，,因为R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多个解。,同解方程组为：,通解为：,故当4且1时，方程组有唯一解。,当=1时，,因为R(A)=2，而R(B)=3，故此时无解。,综上：,解 1）,故向量组的秩,解2）,为3，且,为一个最大无关组,2）求向量组,的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关组线性表示。,补充例题,再分别用（*）减去题中每一个等式，可得,证：由题设,线性无关，而,线性相关，从而,线性表示。故可设,现设,即,线性无关。,9
5、.设 为线性方程组 的一个基础解系，,其中 为实常数。试问满足什么关系时，,也为,的一个基础解系。,（2001年考研题）,补充例题,设,（）,由于线性无关，因此有,例10,易求得正交阵,例 11,.,02年考研题,2,由于正交变换保持向量的长度不变，故,证 设A 的特征值为,由定理10知，存在正交变换,设,则,故,证毕,(教材P2第3题),作 业 题 讲 解,2（P11第3题（2）计算行列式,解法 1（递推法）按最后一行拆项，建立递推公式,解法 2（加边法）,解法 3（提取公因子）,此为典型字母行列式。,解,P10第3题(3),3 计算,P17第2(2)题,解法1（递推法）按第一列展开，建立递
6、推公式,4 证明,解法2（消元法）,证 记,易知 F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,设 为a,b上的连续可导函数，试证明存在一点 使得行列式,设 为a,b上的连续可导函数，试证明存在一点 使得行列式,由罗尔定理知，存在一点 使得,注意到,故得所欲证。,证 设,（教材P59例21）,试证,则A，B的标准形分别为,即存在可逆矩阵 使,于是,（教材P59例21）,试证,于是,证 将方程组记为,（教材P46习题 2(1)）,解矩阵方程,由A可逆，故有,于是,注意 只能左乘，的求法。,1 设，且AB=A+2B，求 B。,见P71习题4,解 由 AB=A+2B，得,作业题讲解,补充例题,(2)
7、设A是3 阶方阵，A*是A的伴随矩阵，求行列式 的值。(P65第1题),4(1)设A，B同为 n 阶矩阵，,。,解,(2)设A是3 阶方阵，A*是A的伴随矩阵，求行列式 的值。,2.(P59习题4)设方阵A满足，证明 A 及A+2E都可逆,并求。,要证A可逆，只要证存在矩阵B，使AB=E即可。,分析：,作业题讲解,设方阵A满足，证明 A 及A+2E都可逆,并求。,证,P79第4题,解 必要性由定理7（初等变换不改变矩阵的秩）立得。,作 业 题 讲 解,充分性 设R(A)=R(B).,由等价关系的传递姓，知A与B等价。,P92第3题,解 设有,作 业 题 讲 解,证 设有,（教材P75第 2 题
8、）,设向量组,线性无关，证明向量组,线性无关。,即,作 业 题 讲 解,(P99第 1题),证法 1,证法 2(矩阵形式)(不妨设为列向量的情形),证法 3,用到了题设条件。,(P99第 2题),证,充分性：由第 1 题即知；,必要性：,证 由于A组、B组皆可由C 组线性表示，故有,例8(P104第1题)设向量组A：的秩为 r1，向量组B：的秩为 r2，向量组 C：的秩为 r3，证明：,下证,当 r1=0，r2=0时，结论显然成立。,从而，,补充例题,于是C组中任一向量可由,在 r10，r20时，可不妨设：,是A组的最大无关组,是B组的最大无关组,线性表示，从而,例8(P104第1题)设向量组
9、A：的秩为 r1，向量组B：的秩为 r2，向量组 C：的秩为 r3，证明：,答 应选 B).,例 9,04年考研题,（P104第4题）,为 R3 的一个基,并把用这个基线性表示。,解 构造矩阵 A且作初等 行变换,故知,的一个基，且,作 业 题 讲 解,为,9.设 为线性方程组 的一个基础解系，,其中 为实常数。试问满足什么关系时，,也为,的一个基础解系。,（2001年考研题）,补充例题,设,（）,由于线性无关，因此有,（教材P113 第2题）证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。,证,由等价组等秩以及 线性无关，知,（教材P113 第2题）证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是
10、基础解系。,证,由等价组等秩以及 线性无关，知,基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即试证明向量组 线性无关。,设向量,是齐次线性方程组 Ax=0 的一个,教材P95 第4题,证：,设有,两边用 A 左乘，注意到，得,于是知,故向量组 线性无关。,由于,代回(*)中，得,基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即试证明向量组 线性无关。,设向量,是齐次线性方程组 Ax=0 的一个,设 是非齐次线性方程组,的一个解，,是对应齐次线性方程组的一个基础,教材P100 第5题,解系，证明：,线性无关；,证：,线性无关。,线性表出,由(1)知：,2）设有,补充例题,再分别用（*）减去题中每一个等式，可得,证：由题设,线性无关，而,线性相关，从而,线性表示。故可设,现设,即,线性无关。,由于,证 设 为A的特征值，即存在非零向量,故,即A 的特征值全为零。,补充例题,4(P121第2题)设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为p1=(1 1 1)T,求A。,解 先求出与 3 对应的特征向量，由A的不同特征值所 对应的特征向量正交，考虑方程组：,取基础解系,补充例题,正交化,单位化,(P152第2题),构造正交矩阵,满足：,于是,02年考研题,5,
