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1、第四章 线性规划在工商管理中的应用,Linear ProgrammingApplication,第四章 线性规划在工商管理中的应用,4.1 人力资源分配的问题,4.1 人力资源分配的问题,例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,4.1 人力资源分配的问题,解：设 xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们可以建立如下的线性规划模型目标函数：min x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件：s.t.x1+x6
2、 60 x1+x2 70 x2+x3 60 x3+x4 50 x4+x5 20 x5+x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0。,最优值：150最优解：x1=50，x2=20 x3=50，x4=0 x5=20，x6=10,4.1 人力资源分配的问题,例2 福安商场是个中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如右表。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？,4.1 人力资源分配的问题,解：设 xi(i=17)表示星期 i 开始休息的人数，于是我们可以建立如下的线性
3、规划模型目标函数：min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5 28 x2+x3+x4+x5+x6 15 x3+x4+x5+x6+x7 24 x4+x5+x6+x7+x1 25 x5+x6+x7+x1+x2 19 x6+x7+x1+x2+x3 31 x7+x1+x2+x3+x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0。,最优值：36最优解：x1=12 x2=0，x3=11 x4=5，x5=0 x6=8，x7=0,第四章 线性规划在工商管理中的应用,4.1 人力资源分配的问题4.2 生产计划的问题,4.2 生产计划的问题,例 3明兴
4、公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,4.2 生产计划的问题,解：设 x1，x2，x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4，x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求一件 xi 的利润：利润=售价-各成本之和,4.2 生产计划的问题,例 3明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三
5、个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,4.2 生产计划的问题,解：设 x1，x2，x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4，x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求一件 xi 的利润：利润=售价-各成本之和由上式可得到 xi(i=1,2,3,4,5)的利润分别为 15、10、7、13、9 元。,4.2 生产计划的问题,例 3明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，
6、都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,4.2 生产计划的问题,解：设 x1，x2，x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4，x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求一件 xi 的利润：利润=售价-各成本之和由上式可得到 xi(i=1,2,3,4,5)的利润分别为 15、10、7、13、9 元。这样我们可以建立如下的线性规划模型
7、目标函数：max 15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5 约束条件 s.t.5x1+10 x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0。,4.2 生产计划的问题,例4 永久机械厂生产、三种产品，均要经过 A、B 两道工序加工。设有两种规格的设备 A1、A2 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1、B2、B3 能完成 B 工序。可在 A、B 的任何规格的设备上加工；可在任意规格的 A 设备上加工，但对 B 工序，只能在 B1 设备上加工；只能在 A2 与 B2 设备上加工
8、；其有关数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,4.2 生产计划的问题,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。如 x123 表示第种产品在第 B 道工序上用 B3 设备加工的数量。,4.2 生产计划的问题,例4 永久机械厂生产、三种产品，均要经过 A、B 两道工序加工。设有两种规格的设备 A1、A2 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1、B2、B3 能完成 B 工序。可在 A、B 的任何规格的设备上加工；可在任意规格的 A 设备上加工，但对 B 工序，只能在 B1 设备上加工；只能在 A2 与 B2 设备上加工；其有关
9、数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,4.2 生产计划的问题,s.t.5x111+10 x211 6000（设备 A1）7x112+9x212+12x312 10000（设备 A2）6x121+8x221 4000（设备 B1）4x122+11x322 7000（设备 B2）7x123 4000（设备 B3）,4.2 生产计划的问题,例4 永久机械厂生产、三种产品，均要经过 A、B 两道工序加工。设有两种规格的设备 A1、A2 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B1、B2、B3 能完成 B 工序。可在 A、B 的任何规格的设备上加工；可在任意规格的 A 设备上加工，
10、但对 B 工序，只能在 B1 设备上加工；只能在 A2 与 B2 设备上加工；其有关数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,4.2 生产计划的问题,s.t.5x111+10 x211 6000（设备 A1）7x112+9x212+12x312 10000（设备 A2）6x121+8x221 4000（设备 B1）4x122+11x322 7000（设备 B2）7x123 4000（设备 B3）x111+x112-x121-x122-x123=0（产品在 A、B 工序加工的数量相等）x211+x212-x221=0（产品在 A、B 工序加工的数量相等）x312-x322=
11、0（产品在 A、B 工序加工的数量相等）xijk 0，i=1，2，3；j=1，2；k=1，2，3。,4.2 生产计划的问题,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。如 x123 表示第种产品在第 B 道工序上用 B3 设备加工的数量。总利润=（销售单价-原料单价）产品件数-(每台时的设备费用设备实际使用的总台时数)。,4.2 生产计划的问题,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。如 x123 表示第种产品在第 B 道工序上用 B3 设备加工的数量。总利润=（销售单价-原料单价）产品件数-(每台时的设备
12、费用设备实际使用的总台时数)。这样可以我们建立如下的数学模型:max z=0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123,4.2 生产计划的问题,最优值：1146.6005。最优解：x111=1200，x112=230.0492，x211=0，x212=500，x312=324.138，x121=0，x221=500，x122=858.6206，x322=324.138，x123=571.4286。,第四章 线性规划在工商管理中的应用,4.1
13、人力资源分配的问题4.2 生产计划的问题4.3 套裁下料问题,4.3 套裁下料问题,例5某工厂要做100套钢架，每套用长为 2.9 m,2.1 m,1.5 m 的圆钢各一根。已知原料每根长 7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：我们可以设计下列8 种下料方案，但只需考虑前5 种。,4.3 套裁下料问题,设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前5 种方案下料的原材料根数。于是我们可以建立如下的数学模型。目标函数：min x1+x2+x3+x4+x5 约束条件：s.t.x1+2x2+x4 100 2x3+2x4+x5 100 3x1+x2+2x3+3x5 100 x1,x2,x3
14、,x4,x5 0。,用管理运筹学软件解得（目标函数最小值为 90）x1=30，x2=10，x3=0，x4=50，x5=0。,第四章 线性规划在工商管理中的应用,4.1 人力资源分配的问题4.2 生产计划的问题4.3 套裁下料问题4.4 配料问题,4.4 配料问题,例6某工厂要用三种原料1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原料数量及原料单价，分别见下表.问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,4.4 配料问题,解：设 xij 表示第 i（i=1,2,3，1=甲，2=乙，3=丙）种产品中原料 j(j=1,2,3)的含量。如 x23 就
15、表示乙产品中第 3 种原材料的含量。,4.4 配料问题,从第一个表得约束条件：x11 0.5(x11+x12+x13)，x12 0.25(x11+x12+x13)，x21 0.25(x21+x22+x23)，x22 0.5(x21+x22+x23)。从第二个表得约束条件：x11+x21+x31 100，x12+x22+x32 100，x13+x23+x33 60。,4.4 配料问题,例6某工厂要用三种原料1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原料数量及原料单价，分别见下表.问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,4.4 配料问题,利
16、润=总收入-总原料支出,Max 50(x11+x12+x13)+35(x21+x22+x23)+25(x31+x32+x33)65(x11+x21+x31）25(x12+x22+x32)35(x13+x23+x33),4.4 配料问题,整理后得此问题的数学模型：目标函数 max z=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件 0.5x11-0.5x12-0.5x13 0-0.25x11+0.75x12-0.25x13 0 0.75x21-0.25x22-0.25x23 0-0.5 x21+0.5 x22-0.5 x23 0 x21+x
17、31 100 x12+x22+x32 100 x13+x23+x33 60 xij 0,i=1,2,3;j=1,2,3。,最大值为：500最优解为：x11=100 x12=50 x13=50，其余的 xij=0,第四章 线性规划在工商管理中的应用,4.1 人力资源分配的问题4.2 生产计划的问题4.3 套裁下料问题4.4 配料问题4.5 投资问题,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过
18、30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,4.4 配料问题,问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,解：(1)确定决策变量：a)这是一个连续投资问题，我们设 xij 表示第 i(i=15)年初投资于 j(j=A，B，C，D)项目的金额（单位万元）。根据给
19、定条件将决策变量列表如下：,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,解：(1)确定决策变量：a)这是一个连续投资问题，我们设 xij 表示第 i(i=15)年
20、初投资于 j(j=A，B，C，D)项目的金额（单位万元）。根据给定条件将决策变量列表如下：,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,(2)约束条件：每年年初应
21、把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：有资金200万元，故有 x1A+x1B=200；,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,(2)约束条件：每年年初应
22、把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：有资金200万元，故有 x1A+x1B=200；第二年：第一年给项目B 的投资次年末才可收回，故第二年年初仅有第一年给项目A 的投资本息 1.1 x1A，于是x2A+x2B+x2D=1.1x1A；,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需
23、在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,(2)约束条件：每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：有资金200万元，故有 x1A+x1B=200；第二年：第一年给项目B 的投资次年末才可收回，故第二年年初仅有第一年给项目A 的投资本息 1.1 x1A，于是x2A+x2B+x2D=1.1x1A；第三年：年初有资金 1.1x2A+1.25x1B，于是有x3A+x3B+x3C=1.1x2A+1.25x1B；,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年
24、到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,(2)约束条件：每年年初应把资金都投出去，手中没有剩余，因此第一年：有资金200万元，故有 x1A+x1B=200；第二年：第一年给项目B 的投资次年末才可收回，故第二年年初仅有第一年给项目A 的投资本息 1.1 x1A
25、，于是x2A+x2B+x2D=1.1x1A；第三年：年初有资金 1.1x2A+1.25x1B，于是有x3A+x3B+x3C=1.1x2A+1.25x1B；第四年：x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收
26、回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,第五年：x5A=1.1x4A+1.25x3B；,(3)目标函数及模型：max z=1.1x5A+1.25x4B+1.4x3C+1.55x2Ds.t.x1A+x1B=200 x2A+x2B+x2D=1.1x1A x3A+x3B+x3C=1.1x2A+1.25x1B x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B x5A=1.1x4A+1.25x3B,4.4 配料问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%。项目B
27、：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%。但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,(3)目标函数及模型：max z=1.1x5A+1.25x4B+1.4x3C+1.55x2Ds.t.x1A+x1B=200 x2A+x2B+x2D=1.1x1A x3A+x3B+x3C=1.1x2A+1.25x1B x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B x5A=1.1x
28、4A+1.25x3B xiB 30(i=1，2，3，4)x3C 80 x2D 100 xij 0(i=1，2，3，4，5；j=A，B，C，D）。,用管理运筹学软件解得 目标函数最大值为 341.35 万元 x1A=170，x1B=30；x2A=57，x2B=30，x2D=100；x3A=0，x3B=20.2，x3C=80；x4A=7.5，x4B=30；x5A=33.5。,4.4 配料问题,问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,Min f=
29、x1A+x2A+x3A+x4A+x5A+3(x1B+x2B+x3B+x4B)+4x3C+5.5x2D s.t.x1A+x1B=200 x2A+x2B+x2D=1.1x1A x3A+x3B+x3C=1.1x2A+1.25x1B x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B x5A=1.1x4A+1.25x3B,xiB 30(i=1，2，3，4)x3C 80 x2D 100 1.1x5A+1.25x4B+1.4x3C+1.55x2D 330 xij 0(i=1，2，3，4，5；j=A，B，C，D）,用管理运筹学软件解得：目标函数最小值为 1300。x1A=200，x2A=192.3，x3A=131
30、.5，x4A=144.7，x5A=159.2，x3C=80，x2D=27.7，x1B=x2B=x3B=x4B=0。,例9某人有一笔50万元的资金可用于长期投资。可供选择的投资机会包括购买国库券、购买公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等，不同的投资方式的具体参数见下表。投资者希望投资组合的平均年限不超过 5 年，平均的期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于 10%。问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？,解：设 xi 为第 i(i=17)种投资方式在总投资额中所占的比例。则该问题的线性规划模型可写为：max z=11x1+15x2+25x3+20 x4+10 x5+12x6+3x7 s.t.3x1+10 x2+6x3+2x4+x5+5x6 5 11x1+15x2+25x3+20 x4+10 x5+12x6+3x7 13 x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x6 4 15x2+30 x3+20 x4+5 x5+10 x6 10 x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1 xi 0(i=1，2，3，4，5，6，7）,
