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1、线性代数 教学改革,李尚志 教授 中国科学技术大学 数学系,空间为体,矩阵为用,研究对象-几何：线性空间(向量)研究工具-代数：矩阵运算 向量(问题)-modeling 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答)与微积分的关系:非线性-微积分 线性-线性代数,抽象=?,抽象=难得糊涂:忽略差别,提取共同点,从问题出发,以解决问题为线索 展开教学内容,例:怎样建立向量的坐标,有方向和大小的量 坐标化 n 数组向量与坐标运算的对应:依赖于加法与数乘的运算律(8条公理)不直接依赖于平行四边形法则基：坐标的唯一性 线性无关,存在性 极大无关组向量-坐标:同构坐标变换-数组空间中的坐标变换,例:解线性方程
2、组,方程(向量)-系数组(坐标)互为线性组合(初等变换)同解变形(高斯消去法)只用到四则运算-数域的概念关于方程个数的讨论:,方程个数有真假 线性无关与线性相关,几个方程?4个?为何 只剩2个?有假!-某方程是其余的线性组合-线性相关打假到底 极大无关组 货真价实(秩)2个,秩(方程的真正个数)的唯一性,证明只依赖于运算律 将方程换成任意向量,行列式的性质,det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w),det(u,v)=det(u,v+au),几何变换,(x,y)(x,y)x=f1(x,y),y=f2(x,y)曲线C:x=x(t),y=y(t)曲线C:x=f1(x(t),y(t),y=f2(x(t),y(t),线性变换,x=a1x+b1y,y=a2x+b2y.由矩阵 决定 画图观察:直线,平行,垂直,长度,角度,圆?,旋转:,向量方向的变化特征向量,选取特征向量为基-矩阵的对角化,射影变换,x=x/(x-1),y=y/(x-1).直线、相交、平行？相交于 x=1 的直线？圆(与 x=1 相离、切、交)?,相交直线变成平行直线,圆变成圆锥曲线,谢谢！,
