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1、1,第3章 线性系统的能控性和能观测性,3.1 能控性和能观测性的概念3.2 线性定常连续系统的能控性3.3 线性定常连续系统的能观测性3.4 线性系统能控性与能观测性的对偶关系3.5 线性离散系统的能控性与能观测性 3.6 传递函数中零极点对消与状态能控能观测性与性之间的关系3.7 线性系统结构按能控性、能观测性分解3.8 线性定常系统的最小实现,2,3.1 能控性和能观测性的直观理解,能控性：输入能否控制状态的变化？,线性系统的能控性和能观测性是描述系统内在特性的基本概念。判别系统能控性和能观测性的基本依据就是系统的状态空间表达式。,能观测性：状态的变化能否由输出反映出来？,3,例 如图所
2、示电路。系统状态变量为系统端电压x，输入为电源u(t)，输出为电压y。,状态不能控和状态不能观测的,例 如图所示的电路。,状态能控和状态完全能观测的,4,(1)对于状态空间表达式,状态变量x1不能控，状态变量x2不能观。,5,状态变量x1和x2 既能控又能观测,(2)对于状态空间表达式,只有少数简单系统可以从状态变量图或原理图中直接判断出系统的能控/能观测性。如果系统结构及参数复杂，只有借助于数学方法才能获得系统能控/能观测性分析的正确结论。,6,3.2 线性定常系统的能控性,1、能控性定义,能控性定义：对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在t0，tf有限时间区间内使得系统
3、的某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf)，则此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。,7,2、能控性判据,定理3.1 线性定常系统,其状态完全能控的充要条件是由A，B阵所构成的能控性判别矩阵,满秩，即,n是该系统的维数。,(1)能控性秩判据,8,易知,例 考察如下系统的能控性,9,其秩为3，该系统是状态完全能控的，或者简称系统是能控的。,从而,10,例3.4 已知三阶双输入系统的状态方程，试判别其能控性。,由于 的第1行和第3行完全相同,因此系统是状态不完全能控的，或者简称系统是不能控的。,解：,11,如果系统的阶次n和输入
4、维数r都比较大，判别Mc的秩是比较困难的。考虑到,其中 是Mc的转置矩阵，故可以通过计算 的秩来确定Mc的秩。因为 是一个nn 的方阵，确定其秩是比较方便的。,对于例3.4，由,容易看出，所以系统是不能控的。,12,(2)能控性约当标准型判据,定理3.2 设线性定常系统,具有互不相同的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型:,中,阵不包含元素全部为零的行。,系统的能控性是系统的内在特性，坐标变换并不能改变这种特性。,13,系统2,系统不能控,某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线标准型，对于这种系统不能应用这个判据，应采用能控性矩阵Mc来判别。,系统1,系统能控
5、,14,具有重特征值,则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非奇异变换后的约当标准型：,定理3.3 若线性定常系统,15,(a),(b),(c),(d),16,(3)能控性PBH秩判据 线性定常系统,完全能控的充分必要条件为,或等价地,式中，为矩阵A的所有特征值，C为复数域。,17,例 已知线性定常系统的状态方程为,解：根据状态方程可写出,试判别系统的能控性。,18,求出A的特征值为：,当 时：,当 时：,19,当 时：,计算结果表明，系统满足PBH秩判据的能控性条件，所以系统完全能控。,20,(4)线性定常系统输出能控性判据,输出可控性定义,如果能构造一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时
6、间间隔 内，使任一给定的初始输出 转移到任一最终输出，那么称系统为输出完全可控的。,输出可控性判据,输出完全可控的充分必要条件为：,的秩等于输出变量的维数m，即,系统的状态空间描述为：,21,例3.6 已知系统的状态方程和输出方程，试判断系统的状态可控性和输出可控性。,解：系统状态能控性矩阵为,状态不完全能控,系统状态可控性和输出可控性是两个不同的概念，两者没有什么必然的联系。,输出完全能控,22,3.3 线性定常连续系统的能观测性判据,1、能观测性定义,能观测性定义：如果在有限的时间区间 内，根据测量到的输出向量y(t)和输入向量u(t)，能够唯一确定系统在 时刻的状态，则称 在 上是可观测
7、的；若系统所有状态 都在 上可观测，则称系统是完全可观测的，也称系统是可观测的。,通过对输出量的有限时间的量测，能否把系统的状态识别出来。,23,2、能观测性判据,(1)能观测性秩判据,状态完全能观测的充要条件是其能观测判别矩阵,满秩，即,定理3.4 线性定常系统,若系统是能观测的，简称A，C为能观测对。,24,例3.7 已知系统的状态空间描述,判别其能观测性。,解：,由于Mo为奇异矩阵，系统是不能观测的。,25,(2)能观测性约当标准型判据,定理3.5 线性定常系统,A阵具有两两互不相同的特征值。则其状态完全能观测的的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角线标准型：,中,阵不包含元素全部为零
8、的列。,26,系统能观测,系统不能观测,27,定理3.6 线性定常系统,具有重特征值，,则系统状态完全能观测的充分必要条件是，经非奇异变换后的约当标准型：,中与每一个约当小块首列相对应的所有那些列，其元素不全为零。,28,系统能观测,系统不能观测,29,(3)能观测性PBH秩判据 线性定常系统,完全能观测的充分必要条件为,或等价地,式中，为矩阵A的所有特征值，C为复数域。,30,例 已知线性定常系统的状态空间表达式为,试判别系统的能观测性。,31,解：根据状态空间表达式可写出,求出A的特征值为：,32,当 时：,当 时：,33,当 时：,计算结果表明，系统满足PBH秩判据的能观测性条件，所以系
9、统完全能观测。,34,3.4 线性系统能控性与能观测性的对偶关系,对偶系统,系统 状态完全能控的充要条件和系统 状态完全能观测的充要条件相同；,系统 状态完全能观测的充要条件与系统 完全能控的充要条件相同。,对偶原理,35,对偶系统结构图：互为对偶的系统意味着输出端与输入端互换，信号传送方向的反向；信号引出点和相加点互换，对应的矩阵转置。,36,对偶系统的传递函数矩阵的关系,对偶系统的特征方程相同,对偶关系建立了系统的能观测性与能控性之间的内在关系，从而也沟通了控制问题与估计问题之间的内在联系。,37,3.5 线性定常离散系统的能控性与能观测性,一、线性定常离散系统的能控性定义及判据,定义 对
10、于n阶线性定常离散系统,若存在控制作用序列，能使某个初始状态x(0)=x0在第i步上到达零状态，即使系统从任意非零初始状态经有限步转移到零状态，即x(i)=0，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。,38,定理(线性定常离散系统能控性判别准则)线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵,满秩，即。,39,例3.12 已知离散系统的状态方程的G，H为：,试判别其能控性。,解：能控性矩阵,离散系统是能控的。,40,二、线性定常离散系统的能观测性定义及判据,定义 对于n阶线性定常离散系统,若能根据有限个采样瞬间测得的可以惟一地确定出系统任意初始状态x(0)=x0，则称此系统是
11、状态完全能观测的，简称系统是能观测的。,41,定理(线性定常离散系统能观测性判别准则)线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条件是能观测矩阵,满秩，即。,42,例3.13 已知离散系统状态方程的G，C为：,试判别其能观测性。,解：能观测矩阵,离散系统是能观测的。,43,3.6 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观测性之间的关系,定理 单变量系统能控又能观测的充分必要条件是传递函数G(s)中没有零极点对消现象。,两个结论:(1)一个系统的传递函数所表示的仅是该系统既能控又能观测的那一部分子系统，因而传递函数是系统的一种不完全描述。(2)一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则视状态变量的选择
12、不同，系统或是不能控的，或是不能观测的，或是既不能控又不能观测的。,44,例3.16 设某系统状态方程如下:,试判别其状态是否完全能控且完全能观测。,解:方法 通过能控阵及能观测阵求解,系统不能控,系统能观测,结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。,45,方法 通过传递函数来判别,结论：该系统不是状态完全能控且完全能观测的。,46,例 设系统传递函数如下:,第1个实现：,能控标准形一定能控,第1个实现不能观测,第2个实现：,能观测标准形一定能观测,第2个实现不能控,47,第3个实现：,第3个实现既不能控又不能观测,结论：传递函数中有零极点对消现象，系统状态或者是不完全能控的，或者是不完全
13、能观测的，或者是既不能控又不能观测的。,48,3.7 线性系统结构按能控性、能观测性分解,一个不能控、不能观测的系统，可以将其状态空间划分为四部分：能控且能观测子空间、能控但不能观测子空间、不能控但能观测子空间、不能控且不能观测子空间。把系统的状态空间分解成上述四部分就称为系统的规范结构分解。,49,一系统按能控性分解,定理 设一个不完全能控系统的动态方程为:,若系统能控性矩阵的秩为r(rn)，则存在一个非奇异变换,将系统变换为能控性结构分解标准型,50,从能控性矩阵 中选出的r个线性无关的列向量,为任意选取的(n-r)个n维列向量，使它与线性无关。,51,能控性结构分解后的系统结构图,从图中
14、明显看出，输入信号u是通过能控子系统传递到能控状态，而对不能控子系统确毫无影响。该系统属于结构不完全能控系统。,52,例3.17 已知线性定常系统状态空间描述，判别其能控性，若不是完全能控，试将该系统按能控性分解。,状态不完全能控,解:系统的能控性矩阵为,53,能控子系统,不能控子系统,输出量分解y=y1+y2,54,55,二.系统按能观测性分解,若系统能观测矩阵的秩为r(rn)，则存在一个非奇异线性变换,定理 设一个不完全能观测系统的动态方程为:,能将系统变换为能观测性结构分解标准型,56,从能观测性矩阵 中选出的r个线性无关的行向量,在确保 是非奇异的条件下完全是任意的,r维能观测子系统,
15、(n-r)维不能观测子系统,57,能观测性结构分解后的系统结构图,从图中看出，能观测子系统的状态可以由输出y反映出来，而不能观测子系统与输出y没有必然联系，不能由输出观测到。,58,解：系统能观测判别阵 为：,状态不完全能观测,例3.18 已知线性定常系统状态空间描述，判别其能观测性，若不是完全能观测，试将该系统按能观测性分解。,59,60,三.系统结构的规范分解,则存在非奇异变换将状态空间分解为能控能观、能控不能观、能观不能控、不能控不能观四个部分。,定理 设一个不完全能控且不完全能观测系统的线性定常系统为:,61,1既与输入相通，又与输出相通，是能控能观测子系统；在2中只有输入通道，而无输
16、出通道，是能控但不能观测的子系统；在3中只有输出通道，而无输入通道，是不能控但能观测的子系统；4既不与输入相通，又不与输出相通，是不能控又不能观测的子系统。,系统输入和输出之间只存在惟一的一条单向控制通道，即u 1 y。,62,推论 对不完全能控和不完全能观系统，其输入输出描述（即传递函数）只能反映系统中能控且能观测的那一部分，即下式成立：,输入-输出描述（传递函数）只是对系统结构的一种不完全描述。只有对完全能控且完全能观测的系统（不可简约系统），输入-输出描述才足以表征系统结构，即描述是完全的。,63,首先对系统 按能控性分解定理进行能控性分解，即引入状态变换Pc，即,定理 按能控能观测结构
17、分解步骤：,同理，可先进行能观测性分解，再进行能控性分解。,对分解后的能控子系统，构造变换阵，按能观测性分解定理进行能观测性分解。,对分解后的不能控子系统，构造变换阵，按能观测性分解定理进行能观测性分解。,利用 对按能控性结构分解后的 系统进行变换，就可以得到规范结构分解。,64,例3.19 已知系统是状态不完全能控和不完全能观测，试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解，并求系统的输入-输出描述。,解：例3.17已经将系统按能控性分解,65,对分解后的能控子系统，构造变换阵，按观测性分解定理进行能观测性分解。,不能观测，构造,不能控子系统是一维的且能观测的，故无需再进行能观测分解，令:。,对
18、分解后的不能控子系统，构造变换阵，按能观测性分解定理进行能观测性分解。,66,按照 对按能控性结构分解后的系统进行变换，就可以得到规范结构分解,67,四、系统的输入-输出描述,反映系统输入输出特性的传递函数阵G(s)只是对系统的一种不完全的描述，只能反映系统中能控且能观测那个子系统的动力学行为。,对于例3.19：,68,五、化系统矩阵A为约当型法,例 已知系统的约当标准型为,69,70,3.8 线性定常系统的最小实现,定义（最小实现定义）：设传递函数矩阵G(s)的一个实现为，如果不存在另一个实现，使得 的维数小于x的维数，则称 为G(s)的一个最小实现。,定理 传递函数矩阵G(s)的一个实现 为最小实现的充分必要条件是，是既能控又能观测的。,71,例 设系统的传递函数为,解：求能控性实现,能控性实现一定是能控的，其能观测性判别如下：,系统不能观测,试求系统的能控性实现；能观测性实现；对角形实现；最小实现。并分析各自的能控能观测性。,72,求能观测性实现,能观测性实现一定是能观测的，其能控性判别如下：,系统不能控,73,求对角形实现,系统不能控但能观测,74,最小实现,任意一种最小实现都是既能控又能观测的。,75,作业：3.1、3.2、3.3、3.5、3.6、3.10、3.11,
