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1、,s o u t h w e s t j I a o t o n g u n I v e r s I t y,西南交通大学Southwest Jiaotong University,隧道与地下结构可靠度课程第 三 讲结构可靠度计算方法,龚 伦 副教授,主要内容,基本概念一次二阶矩理论的中心点法一次二阶矩理论的验算点法(JC法)映射变换法实用分析法,s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y,一、基本概念,西南交通大学Southwest Jiaotong University,现代的结构可靠度理论是以概率论和数理统计学为基础发展起来
2、的，要解决的中心问题是围绕着怎样描述和分析可靠度，以及研究影响可靠度各基本变量的概率模型。,1、解决的问题,结构可靠度计算方法分精确法和近似法两种。精确法：求解结构的失效概率 pf 的方法，通常称为全概率法；近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然是近似的，但仍属概率法。,2、计算方法,结构功能函数大多是非线性函数，且非线性不是很强的条件下，但又不能直接精确积分计算得到结构的可靠度，而通过计算结构可靠指标，近似得到结构可靠度的计算方法。在通常情况下，结构功能函数的一阶矩(均值)和二阶矩(方差)较容易得到，故称之为一次二阶矩法。,3、一次二阶矩法,一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用均值
3、和标准差的数学模型，求解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。该法将功能函数 在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。,s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y,二、一次二阶矩理论的中心点法,西南交通大学Southwest Jiaotong University,中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思想：首先，将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒级数展开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函数的平均值和标准差。,1、一次二阶矩中心点法,设X1,X2,Xn是结构中n个相
4、互独立的随机变量，其平均值为,标准差为,功能函数将功能函数Z在平均值P*(X1,X2,Xn)处展开且保留至一次项，即(3-1),2、推导过程,ZL平均值和方差为：(3-2),结构可靠指标为(3-3),可靠指标的几何意义是什么？证明如下功能函数泰勒级数展开至一次项，即(3-4)假定正态变换，即：(3-5),3、几何意义,将(3-5)式代入(3-4)式，得(3-6),(3-6)式为一个超平面方程，点P*(X1,X2,Xn)到平面的距离为：(3-7),中心点法,验算点法,极限方程曲面,可靠区,均值点,显然，点P*(X1,X2,Xn)到平面的距离d，就是所求的可靠指标值，两者是相等的。,P*,优点：计
5、算简便。缺点：对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区内，而不在极限边界上；选择不同极限状态方程（数学表达式不同，同样物理含义），得到的可靠指标不同。例如：p30例3-1。适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析。,4、优缺点,例题1设X1,X2,Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均值为xi（i=1,2,n)，标准差为xi(i=1,2,n)，功能函数Z=g(X1,X2,Xn)。求结构可靠指标？解 将功能函数Z在随机变量的平均值处泰勒级数展开，且保留一次项，即,5、举例,ZL的平均值和方差为：结构可靠指标为：,例题2 某结构构件正截面强
6、度的功能函数为Zg(R,S)=R-S，其中抗力R服从对数正态分布，R=100kNm，R=0.12；荷载效应S服从极值I型分布，S=50kNm，S=0.15。试用中心点法求结构失效概率Pf?解：,结构可靠指标结构失效概率,s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y,三、一次二阶矩理论的验算点法,西南交通大学Southwest Jiaotong University,JC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fiessler,Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标的计算。
7、通俗易懂，计算精度又能满足工程实际需要。国际结构安全度联合委员会(JCSS)推荐使用，故称为JC法。我国建筑结构设计统一标准(GBJ68-84)和铁路工程结构设计统一标准(GB50216-94)中都规定采用JC法进行结构可靠度计算。,1、验算点法（JC法）,将P*（X*1,X*2,X*n)定义为验算点（设计点），故称之为验算点法。又因为是在中心点法的基础上改进的，故称为一次二阶矩的改进方法。数学推导过程如下：设X1,X2,Xn(i=1,2,n)为基本变量，且相互独立，则极限状态功能函数方程为：(3-8)将极限方程用泰勒级数在P*（X*1,X*2,X*n)点上展开，取一次项，可得极限方程为：(3
8、-9),2、推导过程,设(3-10)有(3-11)将(3-11)代入(3-9)，得(3-12),Z的平均值为：(3-13)验算点在极限边界上，即又(3-14)将(3-14)代入(3-13)，得(3-15),2.1 按定义推导,Z的标准差Z为：(3-16)则可靠指标为：(3-17),随机变量满足正态分布，即(3-18)其中：(3-19),由(3-12)，得(3-19)此为超平面方程，均值点P(X1,X2,Xn)到超平面的距离d为：(3-20),2.2 按几何意义推导,各变量的方向余弦为：(3-21)显然，两种方法得到的结果是一致的。,将(3-8)与(3-18)联立，求得和各变量值，再代入到(3-
9、8)和(3-18)，且联立求解，得到新的一组和各变量值。直到满足下式为止，即(3-22)迭代结束，计算完成。,2.3 迭代过程,两个随机变量为正态分布时，其极限方程为,标准化变换,极限状态方程变为,(3-23),(3-24),(3-25),3、正态分布时的推导过程,式中,将(3-25)变为标准法线式直线方程,(3-26),(3-27),是坐标系 中原点 到极限状态直线的距离(其中P*为垂足)。在验算点法中，的计算就转化为求 的长度。,两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点,非正态分布时，可采取以下三种方法：当量正态化法（JC法）映射变换法实用分析法JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随机
10、变量Xi用等效正态分布代替，要求满足以下2个条件：原函数值F(xi*)与当量正态函数值F(xi*)相等原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度值f(xi*)相等,4、非正态分布时,JC法的等效正态分布图,原分布FXi(xi*),fXi(xi*),等效正态分布FXi(xi*),fXi(xi*),O,条件(1)和(2)的数学表达式为(3-20)(3-21)由(3-20)，得(3-22)由(3-21)，得(3-23),4.1 当量正态化法-JC法,由(3-22)，得(3-24)将(3-24)代入(3-23)，得(3-25)由(3-24)和(3-25)，得(3-26),将(3-26)代入(3-1
11、8)、(3-19)和(3-20)进行迭代计算，就可求解随机变量非正态分布的可靠度问题。显然，JC法通过当量变换，使得非正态分布的随机变量满足正态分布要求，进而应用满足正态分布的方法进行迭代计算，求解非正态分布随机变量的可靠度问题。,李云贵(1993)提出映射变换法。具体数学过程如下：设结构中的n个相互独立的随机变量为X1,X2,Xn，其概率分布函数为Fi(xi)(i=1,2,n)，概率密度函数为fi(xi)(i=1,2,n)，极限状态方程为 Zx=g(X1,X2,Xn)=0(3-27)映射变换(3-28)则(3-29),4.2 映射变换法,将(3-29)代入(3-27)，得(3-30)由于Yi
12、是一个标准正态随机变量，则(3-31)于是(3-32)(3-33)(3-34),其中：(3-35)对于常用的几种概率(1)Xi服从正态分布(3-36)(2)Xi服从对数正态分布(3-37),(3)Xi服从极值I型分布(3-38)式中，,Paloheimo和Hannus(1972)在赫尔辛基工程力学学术讨论会提出了分位值法。有的著作中是中国铁科院姚明初(1993)提出的分位值法。本文认为仍然是Paloheimo和Hannus(1972)提出的。所谓分位值法就是映射变换法的另一种表述。n个独立随机变量X1,X2,Xn，结构极限状态方程为(3-39)映射变换(3-40)则有(3-41),4.3 分位
13、值法,将(3-39)在 点进行泰勒级数展开且保留一次项，即：(3-42)于是有(3-43)其中,(3-44)是基本变量 对应分位概率为 的分位值。(3-45)各变量 的“分项可靠指标”可用(3-45)求解得到。于是得到“设计值”，即(3-46),变量Xi的“设计值”与变量Xi的标准值Xik之比定义为分项系数，即(3-47),JC法-举例,例题 已知极限状态方程：(1)(2)随机变量f，W均服从正态分布，f=38，f=0.1；W=54，W=0.05，求：两个极限状态方程条件下的及f和W的验算点之值f*，W*。解 1.首先求(1)式条件下的及f和W的验算点之值f*，W*。,由(3)得,由(4)得(
14、4-1)将上式代入(1)式，得(4-2)将(4-2)代入(4-1)，得由于 为常数，所以不需要迭代就求解出，f*，W*。,对于极限状态方程(1)，若采用中心点求解可靠指标，得当极限状态方程为线性方程时，采用验算点法与中心点法求解得到的结果是一致的。,2.按极限状态方程(2)求解及f和W的验算点之值f*，W*。由(3)式，得由(4-1)，得,将上式代入(2)式，得(5)显然，(5)式的求解需要采用迭代法求解。2.1 第一次迭代取将上式代入(5)，得,第二次迭代得显然，需要再迭代求解。,第三次迭代得满足迭代精度要求，迭代求解结束。,将 代入(4-1)，得若极限状态方程(2)应用中心点法求解可靠指标，有：,将中心点法与验算点法计算结果进行比较经比较发现，中心点法在极限状态方程是非线性方程，求解得到的结果与验算点法有较大误差。但若极限状态方程为线性方程，则两者求解结果一致。,
