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1、徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,1,信号分析与处理,第6章 自适应滤波器简介,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,2,内容提要,最优滤波维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波自适应滤波原理最速下降法最小均方算法自适应滤波器的应用,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,3,6.1 概述,传统的IIR和FIR滤波器是时不变的，即在处理输入信号的过程中滤波器的参数是固定的，使得当环境发生变化时，滤波器可能无法实现原先设定的目标自适应系统根据当前自身的状态和环境调整自身的参数以达到预先设定的目标自适应滤波器的系数是根据输入信号，
2、通过自适应算法自动调整的,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,4,6.2 最优滤波,估计误差定义为期望响应与滤波器输出之差。对滤波器的要求是使估计误差在某种统计意义下“尽可能小”。滤波器是线性的，以使数学分析更为简便滤波器是离散时间的，可以数字实现,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,5,滤波器的脉冲响应类型多用FIR型IIR滤波器在计算上更为简单一些FIR滤波器稳定性好。大多数应用中，更倾向于使用FIR滤波器优化统计准则使某个代价函数或性能指标最小化，其中估计误差的均方值的计算简单，实际中使用最广泛使估计误差均方值最小化的准则称为最小均方误
3、差（minimum mean square error,MMSE）准则,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,6,正交性原理,假设线性离散时间滤波器的输入x(n)和脉冲响应w(n)都是复数无穷序列，则输出y(n)假设滤波器输入和期望响应都已经是零均值，估计误差和误差均方值为为使均方误差最小，其梯度向量的所有元素应为零,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,7,将均方误差表达式代入由估计误差的定义可知代入前式有代价函数最小化应满足,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,8,正交原理：代价函数最小化的充分必要条件是估计误差eo
4、与输入x(0)，x(1)，x(2)，正交对于最优滤波器有推论：最优滤波器输出定义的期望响应的估计与响应的估计误差也是正交的,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,9,维纳滤波器,维纳滤波器是根据信号和干扰的统计特性（自相关函数或功率谱），以线性最小均方误差估计准则设计的最优滤波器设计维纳滤波器必须有输入信号统计特性的先验知识，这在实际中往往难以预知自适应滤波器用输入数据来学习所要求的统计特性，渐进收敛（均值意义上）到维纳解维纳滤波器理论非常重要,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,10,设输入信号、滤波器系数和期望输出都是实数,徐科军 主编信号
5、分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,11,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,12,均方误差函数J是滤波器权系数w的二次方程，由此形成一个具有唯一最小值的多维超抛物曲面，通常称为误差性能曲面滤波器工作在最优状态，w应使J取最小值,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,13,为简化该式，注意到且由自相关函数的对称性代入前式简化得此式的矩阵形式,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,14,滤波器工作在最优状态下，有或者著名的维纳霍夫（Wiener-Hopf）方程若R是非奇异的，存在逆矩阵，则最优滤波器系数wo为可得
6、到代价函数最小值Jmin的表达式为,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,15,例,考虑一个二阶FIR滤波器，其抽头权系数为w0和w1，参考输入信号x(n)是方差为1的白噪声，期望信号是d(n)=b0 x(n)+b1x(n-1)其中b0=0.3，b1=0.5，试绘制误差性能曲面和等均方误差MSE曲线（等高线）,解：,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,16,例,待建模的对象是一个在输出端有加性噪声的二抽头滤波器，采用抽头权系数为w0和w1的二阶维纳滤波器对该对象进行建模。输入信号x(n)同时加到对象和维纳滤波器的输入端，x(n)是一个方差为1的
7、平稳白噪声过程。v(n)为均值为零，方差0.1且与x(n)不相关的加性噪声。试计算使Ee2(n)最小的w0和w1的最优值。,解：,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,17,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,18,两个关于维纳滤波器的主要结论计算维纳滤波器最优权系数需要预知以下统计量：输入向量的自相关矩阵R和输入向量与期望响应的互相关向量p维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波器问题的解,当维纳滤波器最优时，滤波器就是对象的近似建模,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,19,卡尔曼滤波器,维纳滤波器的局限实时信号处理时
8、，每到一个新的样本，维纳滤波器需使用以往所有数据重新计算全部自相关和互相关项卡尔曼滤波器是维纳滤波理论的发展，具有如下特点用状态空间概念描述递推计算维纳解。当前时刻的估计是由前一时刻的估计和当前输入计算得到的，比维纳滤波计算更有效,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,20,离散动态系统可由描述状态向量的状态方程和描述观测向量的观测方程共同表示x(n)：M1维向量，表示系统在n时刻的状态向量，不可观测F(n+1,n)：MM维状态转移矩阵，描述系统从n到n+1时刻之间的状态转移v1(n)：M1维向量，描绘状态转移中的加性过程噪声y(n)：动态系统在时刻n的N1维观测向量C
9、(n)：NN维观测矩阵v2(n)：N1维向量，观测噪声向量,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,21,卡尔曼滤波问题可以叙述为：利用观测数据向量y(1)，y(2)，y(n)对n1求状态向量x(i)的各个分量的最小二乘估计。根据i和n的不同取值，卡尔曼滤波可用于：滤波（i=n），用n时刻及以前时刻的测量数据来估计n时刻的信息平滑（1in），用1n时刻的全部数据来估计n以前某个时刻的信息预测（in），用n时刻及以前的测量数据来估计n+(0)时刻的信息,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,22,标量卡尔曼预测器对于一阶递归模型信号n+1时刻的预测均
10、方误差标量卡尔曼滤波器的预测公式，注意增益项是时变的,一阶递归预测器,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,23,可以推导出确定一阶卡尔曼预测器的递归式与维纳滤波器不同之处在于，卡尔曼滤波器的增益必须根据迭代法来确定，因此不可能由一般的稳定解来求得,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,24,若一阶模型不足以表征物理过程，可以用N阶模型表述卡尔曼滤波器的核心算法，用N阶矢量代替标量的方法，写成高阶形式其中，Z(n)和Q(n)分别是观测噪声方差矩阵和系统噪声方差矩阵,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,25,6.3 自适应
11、滤波,设计维纳滤波器时需要知道输入信号的统计特性，当信号统计特性偏离设计条件时，就不再是最优滤波器设计卡尔曼滤波器时必须知道产生输入过程的系统的状态方程和观测方程，即要求对信号和噪声的统计特性有先验知识，实际应用中往往难以预知自适应滤波可使滤波器参数自动调整达到最优状况，而在设计时，只需要很少或不需要关于信号和噪声的先验知识,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,26,自适应算法分类,维纳滤波的核心问题是求解维纳霍夫方程，找出误差性能曲面上的最小点当信号平稳，误差性能曲面具有恒定形状。自适应滤波算法就是如何既快又稳定地从误差性能曲面上任意一点搜索到最小点随机梯度方法代价
12、函数定义为均方误差最小二乘估计方法代价函数定义为最小加权误差平方和通常情况下，收敛速度相对较快，且对输入信号的功率谱密度不敏感，但存在计算复杂和数值稳定性不佳的问题,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,27,最速下降法,利用均方误差的梯度信息来分析自适应滤波器的性能和追踪最优滤波状态。误差性能曲面上任一点的梯度向量对应于均方误差J对滤波器系数wk的一阶导数，当前点到下一点的滤波系数的变化量恰好是梯度向量的负数。也就是说，最速下降法是在梯度向量的负方向上接连调整滤波系数，即滤波系数在误差性能曲面上以下降速度最快的路径移动，最终到达均方误差的最小点。,徐科军 主编信号分析
13、与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,28,按最速下降法调整滤波器权系数时，n+1时刻的系数向量w(n+1)可用递归表达式表示。其中正实常数称为收敛因子或步长，控制自适应速率和稳定性，越大则下降的速率越快根据前面的推导，有故最速下降法是一个含有反馈的模型，存在稳定性问题，可以证明算法的稳定条件是，其中的 是R的最大特征值,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,29,最小均方算法,实际中往往不知道输入向量的自相关矩阵R和输入向量与期望响应的互相关向量p的先验知识，因此无法计算梯度向量最小均方（LMS）算法是一种用输入向量和期望响应的瞬时值估计梯度向量的方法,徐科军 主
14、编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,30,对于固定的w值，梯度估计是无偏的最小均方算法的公式算法步骤（1）由当前时刻的输入信号向量x(n)、期望响应d(n)、滤波器系数向量w(n)，计算误差信号e(n)（2）计算滤波器系数向量的更新估计值w(n+1)（3）n增加1，返回步骤（1），直到稳态为止,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,31,自适应滤波器的应用,自适应建模估计未知系统H(z)的模型W(z)的参数当自适应滤波器处于最优工作状态时，输出y(n)逼近所期望的响应d(n)，W(z)逼近H(z)典型应用：自校正调节器，自适应回声抵消自适应反向建模典型应用：自适应信道均衡器,徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作,32,自适应线性预测根据已知的前p次观测值来预测当前时刻的信号x(n)的估计值自适应干扰抵消使用与干扰信号相关而与有用信号不相关的信号作为参考输入，估计干扰信号，然后从信号中减去该估计，得到期望信号,
