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1、第四章 间接平差,误差理论与测量平差,第四章 间接平差,4-1 间接平差原理 4-2 误差方程 4-3 精度评定 4-4 间接平差公式汇编 4-5 附有限制条件的间接平差 4-6 间接平差估值的统计性质,误差理论与测量平差,4-1 间接平差原理,间接平差法(参数平差法)是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数,建立函数模型,按最小二乘原理,用求自由极值的方法解出参数的最或然值,从而求得各观测值的平差值。,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,设平差问题中有n个观测值L,已知其协因数阵,必要观测数为t,选定t个独立参数,其近似值为,观测值L与
2、改正数V之和,称为观测量的平差值。按具体平差问题,可列出n个平差值方程为 令,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,则平差值方程的矩阵形式为 令式中为参数的充分近似值,于是可得误差方程式为,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,按最小二乘原理,上式的必须满足 的要求,因为t个参数为独立量,故可按数学上求函数自由极值的方法,得 转置后得 以上所得的方程中的待求量是 个和 个,而方程个数也是 个,有唯一解,称此两式为间接平差的基础方程。,误差理论与测量平差,间接平差一般原理,解此基础方程,一般是先消去v,得 令 上式可简写成 式中系数阵 为满秩矩阵,即,有唯一解 上式称为间接平差的法方程。解之,得
3、 将求出的代入误差方程,即可求得改正数V,从而平差结果为,误差理论与测量平差,间接平差法求平差值的计算步骤,1根据平差问题的性质,选择t个独立量作为参数;2.将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数,若函数非线性要将其线性化,列出误差方程;3由误差方程系数B和自由项组成法方程,法方程个数等于参数的个数t;4.解算法方程,求出参数,计算参数的平差值;5由误差方程计算V,求出观测量平差值;6.评定精度。,误差理论与测量平差,4-2 误差方程,按间接平差法进行平差计算,第一步就是列出误差方程。为此,要确定平差问题中参数的个数、参数的选择以及误差方程的建立等,误差理论与测量平差,确定待定参数的个
4、数,在间接平差中,待定参数的个数必须等于必要观测的个数,而且要求这个参数必须是独立的,这样才可能将每个观测量表达成这个参数的函数,而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中,必要观测的个数取决于该问题本身的性质,与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下:(一)水准网(三角高程网)水准网(三角高程网)平差的主要目的是确定网中未知点的最或然高程。如果网中有高程已知的水准点,则就等于待定点的个数;若无已知点,则等于全部点数减一,因为这一点的高程可以任意给定,以作为全网高程的基准,这并不影响网点高程之间的相对关系。,误差理论与测量平差,确定待定参数的个数,(二)三角
5、网 三角网平差的目的是要确定三角点的坐标最或是值,当网中有两个或两个以上已知点坐标,则必要观测个数就等于未知点个数的两倍;当网中少于两个已知点时,则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去4。(三)测边网(包括测边、边角同测、导线网)当网中有两个或两个以上已知点坐标,则必要观测个数就等于未知点个数的两倍;当网中少于两个已知点时,则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。(四)GPS网 当网中具有足够的起算数据时,则必要观测个数就等于未知点个数的三倍再加上WGS84坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数;当网中没有足够的起算数据时,则必要观测个数就等于总点数的三倍减去3。,误差理论与测量平差,参数的
6、选取,在水准网中,常选取待定点高程作为参数,也可选取点间的高差作为参数,但要注意参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。在平面控制网、GPS网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数,可以保证参数之间的独立性,也可以选取观测值的平差值作为未知数。因此如上所述,采用间接平差,应该选定刚好t个而又函数独立的一组量作为参数。至于应选择其中哪些量作为参数,则应按实际需要和是否便于计算而定。,误差理论与测量平差,误差方程线性化,取 的充分近似值,是微小量,在按泰勒公式展开时可以略去二次和二次以上的项,于是可对非线性平差值方程式线性化,将 按泰勒公式展开得 令,误差理论与测量平差
7、,误差方程线性化,式中为相应的函数的近似值,自由项为观测值减去其近似值。需要指出,线性化的误差方程式是个近似式,因为它略去了的二次以上的各项。当很小时,略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为精确的参数的近似值,即都很大,这样,平差值之间仍然会存在不符值。此时,就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。,误差理论与测量平差,4-3 精度评定,间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型,但它们是在相同的最小二乘原理下进行的,所以两法的平差结果总是相等的,这是因为在满 足条件下的是唯一确定的,故平差值 不因方法不同而异。,误差理论与测量平差,单位权中误差,单位权方差的估
8、值,计算式仍然是除以其自由度,即中误差为 计算 可以将误差方程代入后计算,即,顾及,得,考虑到 得,误差理论与测量平差,协 因 数 阵,在间接平差中,基本向量为,和。已知,根据前面的定义和有关说明知,故,。下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协因数阵。设,则 的协因数阵为 对角线上子矩阵是各基本向量的自协因数阵,非对角线上子矩阵为两两向量间的互协因数阵。,误差理论与测量平差,参数函数中的误差,假定间接平差问题中有t个参数,设参数的函数为 将 代入上式后,按泰勒公式展开,取至一次项,得 式中 是参数函数的近似值,当近似值一经取定,它是一个已知的系数,令,误差理论与测量平差,参数函数中的
9、误差,上式可以写成或对于评定函数 的精度而言,给出 或 是一样的。通常上式称为参数函数的权函数式,简称权函数式令,则 由表查得,故函数 的协因数为,误差理论与测量平差,参数函数中的误差,一般,设有函数向量 的权函数式为 即用来计算m个函数的精度,其协因数阵为 是参数 向量的协因数阵,即,误差理论与测量平差,参数函数中的误差,其中 对角线元素是参数 的协因数,故 的中误差为 函数 的协方差阵为,误差理论与测量平差,4-4 间接平差公式汇编,间接平差的函数模型和随机模型是 平差值方程和误差方程为 或,误差理论与测量平差,间接平差公式汇编,法方程为 其解为 观测量和参数的平差值:单位权中误差:,误差
10、理论与测量平差,间接平差公式汇编,平差参数的协方差阵:平差参数的函数的协方差阵权函数式:协因数:方差:,误差理论与测量平差,4-5 附有限制条件的间接平差,在进行间接平差时,所列误差方程式中未知数的个数应等于必要观测数,且未知数之间要相互独立。但有时实际问题中会遇到所选未知数个数多于必要观测个数,即在平差中选取了个量作为参数,其中包含了个独立量,则参数间存在个限制条件。平差时列出个观测方程和个限制参数间关系的条件方程,以此为函数模型的平差方法,就是附有限制条件的间接平差。,误差理论与测量平差,附有限制条件的间接平差原理,设有n个观测值,其权阵为,选取u个未知数,必要观测数为t,未知数之间条件个
11、数s=u-t。在实际各种类型的测量数据平差中,列出的观测方程和条件方程很多是非线性的,因此必须先按台劳公式将其化为线性形式。附有限制条件的间接平差的线性或线性化后的函数模型为 其中,误差理论与测量平差,附有限制条件的间接平差原理,即B为列满秩阵,C为行满秩阵。仍用和的估值和V代入,得误差方程和限制条件方程为 随机模型为在上两式中,待求量是n个改正数和u个参数,而方程个数n+s为,少于待求量n+u的个数,且系数阵的秩等于其增广矩阵的秩,即,误差理论与测量平差,附有限制条件的间接平差原理,故是有无穷多组解的一组相容方程。为此,按求条件极值法组成函数:式中 是对应于限制条件方程的联系数向量。V是 的
12、显函数,为求 的极小,将其对 取偏导数并令其为零,则有转置后 在上三式中,方程的个数是n+u+s,待求未知数的个数是n个改正数,u个参数和s个联系数,即方程个数等于未知数个数,故有唯一解。称这三个方程为附有限制条件的间接平差法的基础方程。,误差理论与测量平差,附有限制条件的间接平差原理,解此基础方程得 前面已令 故上式可写成 上式称为附有限制条件的间接平差法的法方程。由它可解出 和。,误差理论与测量平差,精度评定-单位权方差的估值公式,附有限制条件的间接平差的单位权方差估值仍是除以其自由度,即 式中 可以用已经算出的V和已知的权阵P直接计算。此外,也可按以下导出的公式计算。因为 上式可写成:,
13、误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,平差值方程的形式是,误差方程的常数项,其中 为常量,对精度计算无影响,故有其中 亦为常量。于是基本向量的表达式为,误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,按协因数传播律可得,误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,误差理论与测量平差,精度评定-协因数阵,误差理论与测量平差,平差参数函数的协因数,在附有限制条件的间接平差中,因在u个参数中包含了t个独立参数,故平差中所求任一量都能表达成这个参数的函数。设某个量的平差值为 对其全微分,得权函数式为,误差理论与测量平差,平差参数函数的协因数,式中F为 用代入各偏导数中,即得各偏导数值,然后按下式计算其协因数:函数的中误差为,误差理论与测量平差,再 见,