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1、7.6 泰勒公式与泰勒级数,一、泰勒公式,泰勒中值定理,泰勒公式与麦克劳林公式,二、泰勒级数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、泰勒公式,根据函数的微分，有 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时)，略掉o(x-x0)，得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时)，其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)。近似公式的不足：精确度不高，误差难于估计。为了达到一定精确度的要求，可考虑用n次多项式Pn(x)近似f(x)。,下页,设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n1)阶导
2、数，我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n来近似表达f(x)，我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等：,f(x0)Pn(x0)，f(x0)=Pn(x0)，f(x0)Pn(x0)，f(x0)Pn(x0)，f(n)(x0)Pn(n)(x0)。,下页,一、泰勒公式,Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n,多项式系数的确定：,a0，,a0 f(x0)，,=a1，,a1=f(x0)，,2!a2，,3!a3，,n!an。,Pn(x)a12a2(xx0)nan(xx0)n1，,Pn(
3、x)2a2 32a3(xx0)n(n1)an(xx0)n2，,Pn(x)3!a3432a4(xx0)n(n1)(n2)an(xx0)n3，,Pn(n)(x)n!an。,下页,Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n,于是所求多项式为,多项式系数的确定：,下页,泰勒中值定理：,定理7.13 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n1)的阶导数，则当x(a,b)时，f(x)可以表示为,展开式,而R n(x)的表达式,称为f(x)按(xx0)的幂展开的n 阶泰勒公式，,称为拉格朗日型余项。,下页,泰勒公式：,。,当x00时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是,麦克劳林公式：,首页,如果f(x)在区间(a,b)内具有各阶导数都存在，则对于任意的正整数n，泰勒公式都成立。当n时，如果R n(x)0，则得幂级数,这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数。,在泰勒级数中取x00，得,此级数称为f(x)的麦克劳林级数。,结束,二、泰勒级数,
