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1、,MATHEMATICA MODEL,制作:龚劬,血管三维重建的问题,-2-,断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。,问题重述,-3-,为简
2、化，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256,-256,z）,（-256,-255,z）,（-256，255，z），（-255,-256,z）,（-255,-255,z）,（-255，255，z）（255,-256,z）,（255,-255,z）,（255，255，z）。试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。,问题重述,-4-,Z=1,Z=0,Z=49,
3、Z=50,Z=99,Z=98,-5-,1）血管的表面是由半径固定、球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动而形成的包络面。2）中轴线上任两点处的法截面圆不相交。3）管道中轴线与每张切片平面有且只有一个交点。,假设,-6-,二值图象的象素矩阵为0-1矩阵，矩阵横纵坐标对应原图象的直角坐标系位置，0和1分别代表该位置上的黑或白象素。,图象的矩阵表示,-7-,将管道看成是小球运动包络形成的，则管道的切片便是滚动的小球在平面z上的截圆形成的包络。,问题分析,小球沿螺旋线滚动时，在某平面上的截圆形成包络。,-8-,-9-,解决问题的关键在于发现定理：在一条粗细均匀血管的任何横截面的图象内，其包含的最大内切
4、圆的圆心位于中轴线上，该圆的半径等于滚动球的半径。基于：1）球的任意截面都是圆2）经过球心的球截面是所有截圆当中半径最大的圆,问题分析,-10-,求滚动球半径r的方法1）平均法2）抽样法3）极大似然法4）叠加法求出的半径在28.530.5之间，为什么？,建模方法思想,-11-,需考虑的细节：1）如何读入一个数字图象，即如何由bmp图象文件（或其它格式的图象文件）得到象素矩阵？MATLAB函数imread()：m=imread(0.bmp)或把图象序列转换为三维数组for b=0:99 m(:,:,b+1)=imread(int2str(b),.bmp);end,建模方法思想,-12-,需考虑的
5、细节：2）何谓边界点？四邻域的概念 找边界点坐标的算法也可用MATLAB函数:edge()如：m=imread(0.bmp)；bw=edge(m,sobel)3）最大内切圆的圆心和半径须取小数和整数有区别吗？4）取整方法：四舍五入（round)，向上取整(ceil)，向下取整(floor),建模方法思想,-13-,5）如何由切片图叠合作出血管的立体图？方法1：利用plot3()clearfor b=0:99 m1=imread(int2str(b),.bmp);m(:,:,b+1)=edge(m1,sobel);endfor k=0:99 for i=1:512 for j=1:512 if(
6、m(i,j,k+1)=1)plot3(i,j,k+1,b-.);hold onend,end,end,endrotate3d，hold off,-14-,5）如何由切片图叠合作出血管的立体图？方法1：利用plot3(),-15-,方法2：利用patch()for b=0:99m(:,:,b+1)=imread(int2str(b),.bmp,bmp);endm1=m(1:4:512,1:4:512,:);for i=1:size(m1,1)for j=1:size(m1,2)for k=1:size(m1,3)if m1(i,j,k)=0 m1(i,j,k)=88;else m1(i,j,k)
7、=0;end,end,end,endms=smooth3(m1);hiso=patch(isosurface(ms,5),FaceColor,1,.75,.65,EdgeColor,none);,hcap=patch(isocaps(m1,5),FaceColor,interp,EdgeColor,none);colormap(default)view(45,30),axis tightgriddaspect(1,1,.4)lightangle(45,30);lighting phongisonormals(ms,hiso)set(hcap,AmbientStrength,.6)set(his
8、o,SpecularColorReflectance,0,SpecularExponent,50)rotate3d,-16-,5）如何由切片图叠合作出血管的立体图？方法2：利用patch(),-17-,中轴线的建模：求中轴线与各横断面的交点和曲线拟合、逼近。参赛者使用的方法主要有：1）枚举法2）平行切线法3）外推法4）滚球法5）投影法6）变换法7）细化法,建模方法思想,-18-,方法一：以黑色点为圆心，以r0为半径画圆，判断此圆周上的象素点是否为黑色若全为黑色，则增大半径再判断，直到圆周上有白色象素点，记录该圆的圆心坐标和半径，然后，取下一个黑色象素点重复以上步骤，直至黑色区域中所有象素点都搜
9、索完为止；所有记录点中对应于最大半径的圆心坐标，就是该切片的最大内切圆圆心坐标，此半径即是血管的半径,具体实现时出现的问题,-19-,方法一得出的中轴线投影：,具体实现时出现的问题,中轴线在ZX平面投影图 中轴线在YZ平面投影图什么原因造成内切圆圆心的误差如此之大？,-20-,模型的检验 不检验只能说完成问题的一半。由于所给图象只是离散数据，以象素为单位。无论以何种方式建模，都是近似计算，效果如何，检验很必要。还可通过检验，发现模型的误差，修正模型，提高模型的正确性。阅卷中发现的检验方法主要有：1）逐片比较2）法平面法3）滚动法,建模方法思想,-21-,模型检验时也发现内切圆圆心误差较大，特别
10、是后面的切片。,建模方法思想,Z=30,Z=0,-22-,模型检验时也发现内切圆圆心误差较大，特别是后面的切片。,建模方法思想,Z=50,Z=40,-23-,模型检验时也发现内切圆圆心误差较大，特别是后面的切片。,建模方法思想,Z=60,Z=57,-24-,误差大的原因和改进途径,误差大的原因：1）图象误差 实际图象边界上的点是连续的，在转换成bmp图象时，象素表示的图象边界是离散的，成锯齿状，与实际图象有误差（舍入误差）。2）同一张切片上的最大内切圆不唯一 解决办法：1）方法一：取平均求出同一张切片上的所有最大内切圆的圆心，然后求平均值。,-25-,误差大的原因和改进途径,1）方法一：取平均
11、求出同一张切片上的所有最大内切圆的圆心，然后求平均值。,XY平面上的投影,YZ平面上的投影,ZX平面上的投影,-26-,检验,-27-,误差大的原因和改进途径,误差分析 设原图象是由NN个象素点组成，令其为f(x,y)，重建图象为g(x,y)，它同样由NN个象素点组成，其中x,y=0,1,，N-1。重建图象的均方误差可用下式表示：,-28-,误差大的原因和改进途径,误差分析,由计算出的均方误差情况可以看出，均方误差的平均值低于0.5%。还可以用信噪比，相异象素点所占的比例等其它性能指标来度量重构图象的质量。,-29-,误差大的原因和改进途径,2）方法二：筛选+尖点特性 在第z层，求出其所有最大内切圆的圆心，若是轴心坐标，则以它为中心的球体被上下i(i=129)张切片所截的小圆应在第Zi张切片中，否则，该圆心就不是轴心。,-30-,误差大的原因和改进途径,2）方法二：筛选+尖端特性 0.bmp 70.bmp用上述方法处理效果较好，但71.bmp 99.bmp经筛选后还有不少候选点，可应用尖端特性进行二次筛选。如99层，由于70层切片左下角不可能是第98或42层球体在70层截圆的包络，而是更小截圆的包络，该小圆只能来自99或41层，经计算41层不可能，故此小圆定在第99层的球体中。,返回,-31-,The End,
