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1、2011-2012第二学期,线性代数,任课教师：孔德洲,部 门：信息学院,办公室：文理大楼 719 室,E-mail：,线性代数课程是高等学校理工农科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。通过本课程的学习，要使 学生获得：,线性代数课程的性质与任务,第一章、行列式,第二章、向量与矩阵,第三章、线性方程组,第四章、矩阵的对角化与二次型的化简,等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。,矩阵,本章要求,1了解行列式的概念，掌
2、握行列式的性质；2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式；3会用克莱姆法则解低阶线性方程组.,本章重点,利用行列式的性质，计算行列式.,第一章 行列式,1.1 阶行列式的概念,1.2 行列式的性质与计算,1.3 克莱默法则,第一章 行列式,第一章 行列式,1.1 二三阶行列式,考虑用消元法解二元一次方程组,(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21,(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2,第1节 行列式的概念,用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得,同理，消去x1得,二阶行列式,为便于叙述和记忆，引入符号,D=,
3、D1=,称D为二阶行列式.,按照二阶行列式定义可得,D2=,于是，当D0时，方程组的解为,三阶行列式,求解三元方程组,用消元法解得,j=1，2，3,类似引入符号,其中D1,D2,D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.,三阶行列式,求解三元方程组,称D为三阶行列式.,25431 是一个5级排列.,如，,3421 是4级排例；,例1写出所有的3级全排列.,解：所有的3级排列为：,321.,312，,231，,213，,132，,123，,1.2 排列,n 个自然数1,2,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个 n 级排列，记为i1i2in.显然，n 级排列共有个n
4、!.其中，排列12n称为自然排列.,3 4 2 1,逆序数的计算方法(向前看法),从而得(3421)=5.,逆序及逆序数,定义1 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).,计算逆序数时不要出现重算,一个逆序只能算一次.,奇排列与偶排列,逆序及逆序数,定义1 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).,逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为
5、偶排列.,如 3421是奇排列，,1234是偶排列，,因为(3421)=5.,因为(1234)=0.,对换,把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换.记为（i，j）,将相邻的两个数对换，称为邻换.,例如,邻换,（a，b）,（a，b）,定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,推论,时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，,各为,个.,(一次对换改变排列的奇偶性).,邻换,对换,证明思路：由特殊推一般,m次邻换,m+1次邻换,定义3 符号,称为n阶行列式，,元素ai j,列标,行标,1.3 n 阶行列式,n 阶行列式定义,行列式的行数与列数必须
6、相同.,1.3 n 阶行列式,n 阶行列式定义,D=,D1=,=,1)n 阶行列式共有n!项，正负项各占一半.,n 个元素的乘积.,(2)在行列式中,项,是取自不同行不同列的,行列式有时简记为|a ij|.一阶行列式|a|就是a.,=,说明：,其中排列 j1 j2 jn要取遍所有n级排列.,总结：n 阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和.,a14a23a31a44,a14a23a31a42,a14a23a31a42,例如，四阶行列式,(-1)(4312)a14a23a31a42为行列式中的一项.,表示的代数和中有4!=24项.,a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为431
7、2,所以它不是行列式中的一项.,中有两个取自第四列的元素，,(为奇排列)，,D=,行列式计算,解：根据行列式定义,例1计算2 阶行列式D=,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D=(-1)(1 2 n)a11a22a33 ann,第一行只能取a11，,第三行只能取a33，,第二行只能取a22，,第 n 行只能取ann.,，,这样不为零的乘积项只有,a11a22a33 ann，,所以,=a11a22a33 ann.,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D=(-1)(n n-1 21)b1b2b3 bn,第一行只能取b1，,第n-1行只能,第二行只能取b2，,第 n 行只能取b
8、n.,，,这样不为零的乘积项只有,b1b2b3 bn，,所以,取bn-1，,副对角线的下三角形,下三角形行列式的值：,上三角形行列式的值：,对角形行列式的值：,结论：,副对角线的下三角形行列式的值：,副对角线的上三角形行列式的值：,副对角线的对角形行列式的值：,结论：,将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT(Transpose)或D.即如果,2.1 行列式的性质,第2节 行列式的性质与计算,显然，(DT)T=D.,行列式的转置,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.,性质2 互换行列式的两行
9、(列)，行列式的值变号.,推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.,证明：用定义式证明.,k,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.,推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D0.,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.,推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.,推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.,性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即,例,性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应
10、位置的元素上，行列式的值不变.即,k,证明：,右边=,=左边,行列式的计算,方法：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.,为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：,2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；,3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.,例1.计算行列式,解：,=-85.,例2.计算行列式,解：,例3.计算行列式,解：将各行都加到第一行，从第一行提取（x+（n-1）a）得,解：,例4.计算行列式,箭形行列式,n阶行列式的性质,小结,D,D,练习,作业 19页 1(3)(4)20页 5(3)(4)6(1),=-72,证明的思路：D的每一项都是D转置矩阵中的一项,例,=-72,证明的思路：换行(列)矩阵的每一项都与D中的一项是相反的.,例,互换二三行,所以,例,
