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1、1,定义设A为 n 阶方阵，若存在常数 与 n 维非零向量X 使 AX=X成立，则称 为方阵A的特征值，非零向量 X 为A的对应于 的特征向量。,由AX=X(A-E)X=0此方程有非零解的充要条件是:|A-E|=0,即：,特征多项式方程。,2,在线性代数中按如下三步计算：1、计算出A的特征多项式A-E；2、求出特征方程A-E=0的全部根i 3、将i代入(A-iE)X=0 求出基础解系，即得A的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即为A的对应于i 的全部特征向量。,3,解：计算特征多项式方程，即,解得A的两个特征值：1=4，2=2。,（1）1=4将1=4代入(A-E)X=0得(A-4E)X=
2、0,4,取对应于1=4的基础解向量,则对应于1=4的全部特征向量为：,（2）2=2将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0,取对应于2=2的基础解向量,5,方法局限性：当矩阵阶数较高（如阶数n4）时，将面临两方面的难题：（1）多项式的计算对舍入误差非常敏感；（2）求高次方程的根尤其是重根存在困难。,则对应于2=2的全部特征向量为：,特,征,值,的,数,值,计,算,方,法,1、幂法：求按模最大特征值，即,2、反幂法：求按模最小特征值，即,3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。,6,幂法是一种迭代法。基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一个无限序列的极限来求得。如对于n阶
3、方阵A，任取一个初始向量X(0)，作迭代计算X(k+1)=AX(k)则可得迭代序列X(0),X(1),X(k),，序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关系，分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值。,7,下面介绍两种简单情况：（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（二）按模最大特征值是互为反号的实根,8,定理设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,.,n)，且满足：|1|2|n|则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不为0）所构成的迭代序列V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,）有：,其中,表示,中的第j个分量。,（
4、一）按模最大特征值只有一个，且是单实根,9,证明：因为A具有 n 个线性无关的特征向量 Xi（i=1,2,.,n）而任一 n 维的非零向量，如V(0)：,总可以用 Xi 的线性组合来表示：V(0)=1X1+2X2+.+nXn（其中10）取V(1)=AV(0)V(2)=AV(1)=A2V(0),10,V(k+1)=AV(k)=Ak+1V(0)以构成向量迭代序列。,由矩阵特征值的定义有：AXi=iXi（i=1,2,.,n）则有,11,同理可得：,V(k+1)的第j个分量：,V(k)的第j个分量：,那么,12,由已知条件：,故有：,所以：,定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：,（1）取一非零初始
5、向量V(0)，如V(0)=(1,1,.,1)T（2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k)（3）当k充分大时取：,13,或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：,（4）求1所对应的特征向量：,由：,可得：,而：,故：,则V(k)即为所求对应1的特征向量。,14,例用幂法求下面的按模最大特征值及对应的特征向量。,（1）即初始非零向量V(0),（2）作迭代计算V(k+1)=AV(k)：,15,最大特征值的计算：,特征向量：V(11),16,设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,.,n)，且满足：|1|=|2|3|n|，设其中10,1=-2,（二）按模最大特
6、征值是互为反号的实根,由迭代变换：,17,迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有,则有：,同理：,（k充分大时）,再由：,可得：,取,18,规范化幂法运算,由,（1）当|1|1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”；（2）当|1|1时，V(k)与V(k+1)的各个分量将随k的增大而过快地减小而趋于0；上述两种情况都会导致计算结果不准确。,19,解决措施：在计算V(k+1)之前，先将V(k)规范化，具体操作如下：（1）取U(0)=V(0)=1X1+2X2+.+nXn（非零向量），计算V(1)：V(1)=AU(0)=AV(0)（2）取U(1)
7、：,即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有分量。其次计算V(2)：,20,（3）取U(2)：,即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有分量。其次计算V(3)：,（k+1）取U(k)：,21,即用V(k)中绝对值最大的分量去除V(k)中的所有分量。其次计算V(k+1)：,计算过程总结如下:,22,由,规范化幂法运算中的几种情况,（一）按模最大特征值1是单实根，且10,此时迭代向量序列 V(k)将正常收敛。,23,由向量知识：X1是对应1的特征向量，那么,也是对应1的特征向量。即可用 U(k)作为所求对应于 1 的特征向量。,由,那么：,24,即：当k充分大时可用V(k+1)
8、中的最大分量作为所求最大特征值1,25,解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，结果如下：,由表可知，最大特征值为：1=44.99953对应特征向量为：(1,0.33333,-0.66667)T,26,此种情形下，按模最大特征值为,（二）按模最大特征值1是单实根，但10,此时迭代向量序列V(2k)和V(2k+1)将分别收敛于互为反号的向量。,当k充分大时，,的符号会交替变号。,而对应于1的特征向量仍为U(k)。,27,|1|=|2|3|n|，设其中10,1=-2,（三）按模最大特征值是互为反号的实根，即,此时迭代向量序列V(2k)和V(2k+1)将分别收敛于两个互不相同的向量。当规
9、范化运算到k充分大时停止，再作一次非规范化运算：,则按模最大特征值：,而特征向量仍为：,28,验证：当k充分大时,29,故有：,30,规范化幂法算法描述（1是单实根，且10）一、数据说明ann存放方阵A中各元素；V0n表示迭代式中的V(k);V1n表示迭代式中的V(k+1);Un规范化向量lamda按模最大特征值EPS精度控制量二、操作步骤Step1 输入A中元素,31,Step2V0n(0,0,.,0)T；V1n(1,1,.,1)TStep3While|V1-V0|EPS DOStep4V0 V1;Step5计算V(k+1)=AV(k):Ui V0i/max(V0i)计算V(k+1)=AU(
10、k)Step6计算|V1-V0|EndWhileStep7Output(lamda=max(V1n),Un),32,设待求n阶矩阵A可逆，且其特征值为i（i=1,2,n）对应的特征向量为Xi，二者满足关系式AXi=iXi等式两边同时乘以A-1，得Xi=iA-1Xi，即,由特征值与特征向量的定义，知,为A-1的特征值，而Xi为对应的特征向量。,33,显然，如果 i 是A的按模最小特征值，那么其倒数则是A-1的按模最大特征值。问题的解决：求规范化幂法求出A-1的按模最大特征值，取其倒数即A的按模最小特征值。即,考虑A-1的计算烦琐，将上式变换为：,反幂法。,34,计算步骤：（1）将A进行LU分解；
11、（2）取初始向量U(0)=V(0)计算V(1)=AU(0)U(1)=V(1)/|V(1)|，代入AV(2)=U(1),求V(2)U(2)=V(2)/|V(2)|，代入AV(3)=U(3),求V(3)当|V(k+1)V(k)|EPS 时停止。（3）取1/max(V(k+1)为按模最小特征值U(k)为对应特征向量。,35,实例-用反幂法求,的按模最小特征值,解法用先对A进行LU分解,取初始向量 V(0)=U(0)=(1,1)T,按,计算出V(1)，再计算U(1)，,36,编程作业：编制反幂法求方阵按模最小特征值的程序。,1、什么是实对称矩阵？对实矩阵A，若有A=AT，即aij=aji，则A为实对称
12、矩阵。,2、Jacobi法的基本思想（1）对实矩阵A，其所有特征值均为实数，而且一定存在一个正交矩阵P，使,37,其中 i（i=1,2,n）即A的全部特征值，而正交矩阵P 的第i列是对应于i 的特征向量。,（2）直接找到正交矩阵P非常困难，但可用一系列一系列的正交矩阵P1、P2、，Pk反复作用于A，即作如下正交变换：,38,使变换后的矩阵A(k+1)在非主对角线上的元素趋近于0，而主对角线上的元素即为A的各个特征值的近似值，以矩阵P=P1P2Pk-1Pk的第i列作为对应于i 的特征向量。,3、正交矩阵系列P1，P2，Pk如何构成？以2阶实对称矩阵A为例来考虑：,，其中,如何通过正交矩阵变换，将
13、A转换为对角矩阵以求出其全部特征值呢？,39,（1）由实对称矩阵与二次型存在一一对应的关系，则A对应的二次型为,（2）如何转化为标准型？坐标旋转：,相当于如下矩阵变换：,或者：,40,其中,则可得标准二次型：,（3）再由：,因：,故有,41,令,因 PPT=E，故P为正交矩阵。,结论：对2阶的实对称矩阵A，选取适当旋转角，作正交变换PTAPB，而b11和b22即A的两个特征值，P 的两个列向量即对应的特征向量。,解取正交矩阵,42,对A作正交变换：,选取旋转角=45，使sin2-cos2=0，则有,43,则对应于特征值1=4 的特征向量为,对应于特征值2=2 的特征向量为,上述方法即为Jaco
14、bi法。,44,Jacobi法应用于n阶实对称矩阵A：取如下正交矩阵,45,该矩阵的特点：（1）主对角线元素vpp=vqq=cos，其余为1；（2）两个非对角线元素-vpq=vqp=sin；（3）剩余的其它元素均为0。,现以V对A（其中aij=aji，ij）作正交变换得A(1),通过直接计算可知，除p、q两行和p、q两列以外，其余元素不变。A(1)中各元素的计算公式：,46,选取旋转角使满足,则可使一对非主对角线元素,47,一般地，取不同参数p、q和，得不同正交矩阵V(p,q,)，逐次作用于A(1)、A(2)、A(k)，每变换一次都将使A的一对非主对角线元素化为0。,不难证明：,可知，随正交变
15、换的逐次进行，主对角线元素所占的比重越来越大，而非主对角线元素所占比重越来越小，最后将趋近于0。,48,若给定0，当变换次数k充分大时，使满足,此时，矩阵A(k)的主对角线元素即所求特征值。,另外：在每次选取正交矩阵V(p,q,)时，若使,即选取旋转主元，则可加快正交变换的效率。,如,取,49,雅可比方法的算法描述先对下式做简化处理：,令,则有,求出此方程的根，即确定了正交矩阵V(p,q,)的旋转角度，分两种情形考虑：（1）若app=aqq，则t=1，取=45（2）若appaqq，则t取绝对值较小的根,50,确定了旋转角度后即可计算,一、数据说明ann初值为n阶实对称A，结果为对角矩阵，其主对角线元素为所求特征值；v_pqnn每次变换前所选取的正交矩阵；vnn各个正交矩阵的乘积V1V2Vk，其列向量为对应某特征值的特征向量；EPS误差控制量,51,二、操作步骤Step1输入ann中的元素Step2vnn赋初值为单位矩阵,Step3,Step4While(sumEPS)Do,Step5选取,Step6确定，并计算sin 和cos,Step7为v_pqnn赋值,Step8计算ann中相关元素,Step9vnn=vnn v_pqnn Step10计算sumEndWhile,
