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1、第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,证,二、无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理2 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论.,第五节 极限运算法则,一、极限运算法则二、例题,1、无穷小的运算性质:,
2、定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,一、极限运算法则,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。,定理3,证,由无穷小运算法则,得,2.极限的四则运算,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,意义：,3.复合函数的极限运算法则,二、例题,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,左右极限存在且相等,例7,解,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,
