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1、第四节 有理函数的积分,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,返回,两个多项式的商表示的函数称为有理函数.,一、有理函数的积分,其中 都是非负整数；及 都是实数，并且.,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,注解,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,其中,都是常数,特殊地：,分解后为,（2）分母中若有因式,其中,则分解后为,其中,都是常数,特殊地：,分解后为,（3）真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,解,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值
2、代入,例2,解,例3,整理得,解,例4 求积分,解,例5 求积分,解,例6 求积分,解,令,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,返回,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数,二、可化为有理函数的积分举例,称之一般记为,（万能置换公式）,例7 求积分,解,由万能置换公式,例8 求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,例9 求积分,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10 求积分,解 令,简单无理函数的积分,例11 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,例12 求,解 为了能同时消去被积函数中出现的两个根式，可令 于是，从而所求积分为,返回,
