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1、第四章 补充,连续系统常用的数学模型及其转换,1微分方程及传递函数的多项式模型,在MATLAB 语言中，可以利用分别定义的传递函数分子、分母多项式系数向量方便地加以描述。例如对于（2-2）式，系统可以分别定义传递函数的分子、分母多项式系数向量为：,例1 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型表示出来，并将其建立在工作空间中。,解:,补充知识：MATLAB的基础知识,一.MATLAB简介,MATLAB具有以下主要特点：1)超强的数值运算功能。在MATLAB里，有超过500种的数学、统计、科学及工程方面的函数可供使用，而且使用简单快捷。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠
2、性。2)语法限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。3)程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。4)强大的数据可视化功能。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATMB里，数据的可视化非常简单。MATIAB还具有较强的编辑图形界面的能力。5)丰富的工具箱；由各学科领域内学术水平很高的专家编写的功能强劲的工具箱，使用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖的研究。,二.MATLAB的工作环境启动MATIAB6.x后，显示的窗口如图所示。,而选中命令窗口中View菜单的“Dock comma
3、nd Window”子菜单又可让命令窗放回桌面(MATIAB桌面的其他窗口也具有同样的操作功能)。,窗口中的符号“”，表示MATIAB已准备好，正等待用户输入命令。用户可以在“”提示符后面输入命令，实现计算或绘图功能。,在命令窗口中，可使用方向键对已输入的命令行进行编辑，如用“”键或“”键回到上一句指令或显示下一句命令。,(3)工作空间窗口“Work-space”工作空间指运行MATLMB程序或命令所生成的所有变量构成的空间。每打开一次MATLAB，MATIAB会自动建立一个工作空间。,(4)命令历史窗口“Command History”,例2 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型表
4、示出来。,解：其MATLAN命令为：num=7*2,3;den=conv(conv(conv(1,0,0,3,1),conv(1,2,1,2),5,0,3,8);sys=tf(num,den),2传递函数的零极点增益模型,在MATLAB里，用函数命令zpk()来建立控制系统的零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型。zpk()函数的调用格式为：,sys=zpk(z,p,k),函数返回的变量sys为连续系统的零极点增益模型。,例3 已知系统传递函数为，利用MATLAB将上述模型表示出来。,k=5;z=-20;p=0,-4.6,-1;sys=zpk(z,p,k)结果：
5、Zero/pole/gain:5(s+20)-s(s+4.6)(s+1),解：,3状态空间模型,在MATLAB中，用函数ss()来建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统状态空间模型。ss()函数的调用格式为：sys=ss(a,b,c,d),函数的返回变量sys为连续系统的状态空间模型。函数输入参数a,b,c,d分别对应于系统的A，B，C，D参数矩阵。,例4 已知系统的状态空间描述为,利用MATLAB将上述模型表示出来。P41 作业2-2,解：a=2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,
6、-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75;b=4;2;2;0;c=0,2,0,2;d=0;sys=ss(a,b,c,d),4.三种数学模型之间的转换,(1)控制系统模型向传递函数或零极点增益形式的转换,1.状态方程向传递函数形式的转换,num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu),iu用于指输入量序号，对于单输入系统iu=1；返回结果num为传递函数分子多项式系数，按s的降幂排列；相应的传递函数分母系数则包含在矩阵den中。,为了获得传递函数的形式，还可以采用下述方式进行，即：G1=ss(A,B,C,D);G2=tf(G1),例5 已知连续系统的状态空间描述如下，求相应的传递函
7、数模型。,a=2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75;b=4;2;2;0;c=0,2,0,2;d=0;T=1;num,den=ss2tf(a,b,c,d,T);sys=tf(num,den),2.模型向零极点形式的转换,其基本格式为：z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)状态方程模型转换为零极点模型z,p,k=tf2zp(num,den)传递函数模型转换为零极点模型G1=zpk(sys)非零极点模型转换为零极点模型,例6 已知连续系统的状态空间描述如下，将其转
8、换成零极点形式。,(2)系统模型向状态方程形式的转换,其基本格式为：a,b,c,d=tf2ss(num,den)a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)G1=ss(sys),例7 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型转换成状态空间模型。,(3)约当规范状态方程的实现,在MATLAB中提供给用户一个规范实现函数canon,以进行线性定常系统模型sys的规范状态空间表达式的实现.,其基本格式：G1=canon(sys,modal)同时，规范实现函数canon还可以返回状态变换阵TG1，T=canon(sys,modal),例8 现代控制理论 教材P46-47试用canon函数将下列状态空
9、间表达式化为约当标准型。,在现代控制理论课程中变换后的状态空间表达式为：,解：A=0,1,0;0,0,1;2,3,0;B=0;0;1;C=1,0,0;D=0;sys=ss(A,B,C,D,1);G1,T=canon(sys,modal),控制系统建模的基本方法,1.解析法建立数学模型,如：现代控制理论,例 试列写如图所示RLC的电路方程，建立系统的状态空间表达式。,解：根据电路定律可列写如下方程：,2.实验建模法,自动控制原理P131,一.正弦信号产生器,在进行频率响应实验时，必须提供适当的正弦信号产生器。对于大时间常数系统，实验所需要的频率范围约为0.00110赫兹；对于小时间常数系统，实验
10、所需要的频率范围约为0.11000赫兹。正弦信号必须没有谐波或波形畸变。,二由Bode图求最小相位系统传递函数,为了确定传递函数，首先要画出实验得到的对数幅值曲线的渐进线。渐进线的斜率必须是20分贝/十倍频程的倍数。图2.2-1表示了0型、型、型系统的对数幅值曲线，同时也表示了频率与增益K之间的关系。,2.2-1,三频率响应法建立系统传递函数模型举例,例 用实验方法测得某系统的开环频率响应数据表2-1。试用表中数据建立该系统开环传递函数模型G(s)。,解（1）由已知数据绘制该系统的开环频率响应的Bode图。,（2）20dB/dec及其倍数的折线逼近幅频特性，如图中折线。得两个转折频率。,求出相
11、应惯性环节的时间常数为：,（3）由低频段幅频特性知道：所以K=1。,（4）由高频段相频特性知，相位滞后已超过-1800，且随着增大，相位滞后加大，显然该系统存在纯滞后环节，为非最小相位系统。,（5）设法确定纯滞后时间值。查图中而按所求得的传递函数，应有,解得：1=0.37s。,再查图中,解得：2=0.33s。,（6）最终求得该系统开环传递函数模型G(s)为：,3控制系统建模实例,独轮自行车实物仿真问题1问题提出,2.3-1,2.3-2,控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆问题”（如图2.3-3所示）。,2解析法建立该系统数学模型,1）根据牛顿第二定律，在水平x轴方向满足：,2）摆杆重心的水平运动可描述为：,3）摆杆重心的垂直方向上的运动可描述为：,4）摆杆绕其重心的转动方程为：,整理式（2）和式(6),3模型简化,因为摆杆是均质细杆,所以可以求其对于质心的转动惯量.设单位长度的质量为,取杆上一个微段dx,其质量为,则此杆对于质心的转动惯量有:,当小车的质量M=1kg；倒立摆的质量m=1kg；倒摆长度2=0.6m；重力加速度g=10m/s2时得：,若只考虑在其工作点附近0=0附近（-100100）的细微变化，则可以近似认为：,其等效动态结构图为：,设系统状态为：,本章小结,
