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1、第 四 章 抽样与参数估计,4.1 抽样与抽样分布4.2 参数估计的基本方法 4.3 总体均值的区间估计4.4 总体比例的区间估计4.5 样本容量的确定,学习目标,理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法,参数估计在统计方法中的地位,统计推断的过程,4.1 抽样与 抽样分布,什么是抽样推断概率抽样方法抽样分布,抽样方法,抽样方法,概率抽样(probability sampling),也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率
2、是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,简单随机抽样(simple random sampling),从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率,分层抽样(stratified sampling),将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优
3、点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计,系统抽样(systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难,整群抽样(cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样
4、时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差,抽样分布,总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的可以假定它服从某种分布,总体分布(population distribution),一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布,样本分布(sample distribution),样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是 样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样
5、分布(sampling distribution),抽样分布(sampling distribution),样本均值的抽样分布,容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,样本均值的抽样分布(例题分析),现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布(例题分析),计算出各样本的均值
6、，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析),=2.5 2=1.25,总体分布,样本均值的抽样分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n),中心极限定理(central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理(central limit theorem),的分布趋于正态分布的过程,抽样分布与总体分布的关系
7、,样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样,样本均值的抽样分布(数学期望与方差),样本均值的抽样分布(数学期望与方差),比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值 2.样本均值的方差等于总体方差的1/n,样本比例的抽样分布,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为,比例(proportion),容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布推断总体总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的数学
8、期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样,样本比例的抽样分布(数学期望与方差),4.2 参数估计的基本方法,估计量与估计值点估计与区间估计评价估计量的标准,估计量与估计值,估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值 的一个估计量参数用 表示，估计量用 表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x=80，则80就是的估计值,估计量与估计值(estimator&estimated value),点估计与区间估计,参数估计的方法,估 计 方 法,点 估 计,区间估计,一个总体参数的估计,点估计(point estimate),用样本的估
9、计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等,区间估计(interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,评价估计量的标准,无偏性(unbiasedness),无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数,有效
10、性(efficiency),有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效,一致性(consistency),一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数,4.3 总体均值的区间估计,区间估计的基本原理正态总体或大样本的估计正态总体小样本的估计,区间估计的基本原理,区间估计的图示,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有 99%,95%,90%相应的 为0.01，0.05，0.10,置信水平,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学
11、家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间,置信区间(confidence interval),置信区间与置信水平,均值的抽样分布,(1-)%区间包含了%的区间未包含,用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,总体均值的区间估计(正态总体、已知，或非正态总体、大样本),总体均值的区间估计,假定条件总体服从正态分布,方差()已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)总体均值 在1-置信水平下的
12、置信区间为,重复抽样,不重复抽样,总体均值的区间估计(例题分析),【例】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%。,解：已知N(，0.152)，n=9,1-=95%，z/2=1.96 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该批零件平均长度的置信区间在21.302cm21.498cm之间,总体均值的区间估计(例题分析),【例】在某天生产的500袋食品中，按不重复抽样方法随机抽取25袋进行检查，测得平均每袋的重量为996g。已知该种袋装食品的重量服从正
13、态分布，且标准差为20g。试估计该种食品平均重量的置信区间，置信水平为95%。,解：已知N(，202)，n=25,1-=95%，z/2=1.96 总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种食品平均重量的置信区间为988.35g1003.65g之间,总体均值的区间估计(正态总体、未知、小样本),总体均值的区间估计(小样本),1.假定条件总体服从正态分布,且方差()未知小样本(n 30)使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,t 分布,分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分
14、布,总体均值的区间估计(例题分析),【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时,4.4 总体比例的区间估计,大样本重复抽样时的估计方法大样本不重复抽样时的估计方法,总体比例的区间估计(重复抽样),1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量,3.总体比例在1-置
15、信水平下的置信区间为,总体比例的区间估计(不重复抽样),1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量,3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为,总体比例的区间估计(例题分析),【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,总体比例的区间估计(例题分析),【例】某企业共有职工1000人。企业准备实行一项改革，在职工中征求意见，采取不重复抽样方法随机抽取20
16、0人作为样本，调查结果显示，有150人表示赞成该项改革，50人表示反对。试以95%的概率确定赞成改革的人数比例的置信区间,解：已知 n=100，p75%，z/2=1.96,该企业职工中赞成改革的人数比例的置信区间为69.63%80.37%之间,4.5 样本容量的确定,估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量n为 重复抽样 不重复抽样样本容量n与总体方差成正比，与边际误差成反比，与可靠性系数成正比,估计总体均值时样本容量的确定,其中：,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差
17、大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),解:已知=2000，E=400,1-=95%，z/2=1.96 12/22置信度为90%的置信区间为,即应抽取97人作为样本,估计总体比例时样本容量的确定,根据比例区间估计公式可得样本容量n为 重复抽样 不重复抽样,估计总体比例时样本容量的确定,E的取值一般小于0.1 未知时，可取最大值0.5,其中：,估计总体比例时样本容量的确定(例题分析),【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？,解:已知=90%，1-=95%，Z/2=1.96，E=5%,应抽取的样本容量为,应抽取139个产品作为样本,本章小结,抽样与抽样分布参数估计的基本方法总体均值的区间估计总体比例的区间估计样本容量的确定,结 束,THANKS,
