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1、一、问题的提出,曲顶柱体的体积,定义,2.对二重积分(double integral)定义的说明,二、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值。,二重积分的几何意义,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方取负,例1,根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.,解,投影区域为圆域,被积函数为半球面,由二重积分的几何意义，得,性质,当 为常数时，,性质,三、二重积分的性质,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上有,特殊地,则有,性质,对积分区域具有可加性,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二
2、重积分估值不等式）,特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.,四、二重积分计算公式,特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,积分区域如图,例2,解,典型例题,解,两曲线的交点,例3,例4,解,例5,解,使用对称性时应注意：,1.积分区域关于坐标轴的对称性；,2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,五、利用对称性简化二重积分的计算,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,例6,解,二重积分的变量从直角坐标
3、到极坐标的变换公式,七、二重积分的极坐标计算公式,适用范围,二重积分化为累次积分几种常见的情形,（注：极点在积分区域外）,二重积分化为二次积分几种常见的情形,（注：极点在积分区域边界上）,二重积分化为二次积分几种常见的情形,（注：极点在积分区域内）,典型例题,例7,解,例8,解,积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称.,例9,八、曲面的面积,曲面面积元素,例10,解,九、三重积分的定义,十、三重积分(triple integral)的物理意义,性质,当 为常数时，,性质,（三重积分与二重积分有类似的性质）,十一、三重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,性质,特殊地,则有,性质,性
4、质,（三重积分中值定理）,（三重积分估值不等式）,三重积分在直角坐标系下的计算,一、坐标面投影法,二、坐标轴投影法(截面法),三、利用对称性简化三重积分的计算,十二、坐标面投影法,例11,解,十三、坐标轴投影法(截面法),例12,解,使用对称性时应注意,1.积分区域关于坐标面的对称性.,2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,十四、利用对称性简化三重积分的计算,其它情形依此类推.,三重积分计算的简化,例13,解,例14,解,三重积分在柱坐标系下的计算,一、柱面坐标系下的计算,二、球面坐标系下的计算,十五、柱面坐标系,柱面坐标系中确定空间一点位置的方法,柱面坐标与直角坐标的关系为,体积微元：,注：,坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：,坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：,坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：,例15,解,十六、球面坐标系,把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式,注：,或球面及锥面围成的区域时，用球面坐标更简单。,例16,解,
