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1、隐函数的概念,显函数:因变量可由自变量的某一表达式来表示的函数.例如,隐函数:自变量与因变量之间的对应关系是由某一个方程式所确定的函数.例如,隐函数的一般定义:设有一方程其中 若存在对任一 有唯一确定的 与之对应,使得 满足上述方程,则称由上述方程确定了一个定义在 值域含于 的隐函数.如果把此隐函数记为,则成立恒等式 注1.隐函数不一定能化为显函数,也不一定需要化为显函数.上面把隐函数仍记为 这与它能否用显函数表示无关.注2.不是任一方程 都能确定隐函数.例如,注3.隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的取值范围.例如,由方程可确定如下两个隐函数 注4.类似可定义多元隐函数.例如,由方程 确定
2、的隐函数,隐函数存在性条件分析,当函数 满足怎样一些条件时,由方程 能确定一个隐函数 并使该隐函数具有连续、可微等良好性质?(a)把上述隐函数 看作曲面与坐标平面 的交线,故至少要求该交集非空,即存在 满足,(b)为使 在 连续,应要求在点 连续.(c)为使 在 可导,即曲线在点 存在切线,而此切线是曲面在点 的切平面与 的交线,故应要求 在点 可微,且,隐函数存在定理(单个方程情形),定理1 设 满足下列条件:(i)在 上连续;(ii)(iii)则(1)在 的某邻域 内,由方程 唯一地确定了一个定义在 上的隐函数 满足,换句话说,存在函数 定义在 上,当 时,有 且(2)在 上连续;(3)在
3、 上有连续的导数,且,注1.一方面,定理1中的条件仅是存在隐函数的充分条件,而非必要条件.例如,方程显然 但仍能确定唯一隐函数另一方面,定理1中的条件又是非常重要的.例如,(双纽线),在 同样不满足条件(iii),而在该点无论,多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图).注2.必须注意,定理1是一个局部性的隐函数存在定理.例如,从双纽线图形可以看出,除了 三点以外,曲线上其余各点处都存在局部隐函数(这不难用定理1加以检验).,注3.在方程 中,与 的地位是平等的.当条件(iii)改为 时,将在点 的局部由方程 确定唯一的隐函数 定理1相应的全部结论均成立.例1 方程 能否在原点的某邻域内确定隐函
4、数 或,多元隐函数存在定理,定理2 设 满足下列条件:(i)偏导数 和 在上连续,其中(ii)(iii)则,(1)存在 的一个邻域使得在点 的某邻域内,方程 唯一地确定一个定义在 的 元隐函数 满足换句话说,存在函数,使得当 时,有且(2)在 内连续;(3)在 内有连续的偏导数,且,例3 设 问方程是否能在原点 的某邻域唯一地确定一个定义在 的某邻域的可微函数 使得若能,求,隐函数存在定理(方程组情形),不失一般性,我们先研究两个方程和四个变量的方程组在什么条件下可以确定 是 的函数并且 关于 有连续的偏导数.,定理3 设函数 和 满足:(i)在点 的某邻域 内,和 对各变元有连续偏导数;(i
5、i)(iii),则(1)在点 的某邻域 内,方程组唯一地确定一组函数 它们定义在 的某邻域 内,当时,有 且满足,和(2)和 在 内连续;(3)和 在 内有关于 的连续偏导数,且,例4 问在点 附近是否存在连续可微函数 和 满足 且,解:设则 和 在点 的附近存在对各变元的连续偏导数,且,方程组情形的更一般情形,定理4 课本237页定理17.5 定理5 设 和 满足:(i)在点 的某邻域 内,对各变元有连续偏导数;(ii)(iii),则在 的某邻域内,方程组 唯一地确定一组函数 它们定义在 的某邻域 内且在 内可微,还满足当 时,有,例5 点 在方程 及 所表示的曲面上,证明在这点的一个邻域内
6、,两曲面的交线能用形如 的一对方程表示,并求 解:令则有 显然,在点,的任何邻域内有连续的偏导数,且由隐函数组存在定理知,在点 的某一邻域内可唯一确定隐函数组它们定义在 的某邻域内,满足 和,这表明两曲面的交线在点 附近能用形如 的一对方程表示.方程组两边对 求导得解这个关于 和 的线性方程组得,反函数组,设有定义在平面点集 上的函数组(a)记 若对任意 都有唯一的点 使得(a)式成立,这时可确定两个定义在 上的函数(b),在 上满足恒等式则称函数组(b)是函数组(a)的反函数组.定理6 设函数组(a)满足:(i)在 的某邻域 内对 有连续偏导数;(ii),(iii)则在 的某邻域 内存在唯一的一组反函数 满足当 时,且,且反函数 在 内存在连续的偏导数其中,例6 求下列函数组的反函数组的偏导数:解:函数组分别关于 求偏导数得,即解得,同理,由函数组分别关于 求偏导数可求得 和,
