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1、第六讲二次根式,一、二次根式的相关概念1.二次根式：形如(_)的代数式.2.二次根式的性质：(1)(a0)是_；(2)(a0)_；(3)_(a0).,a0,非负数,a,a,二、二次根式的运算1.最简二次根式：最简二次根式要同时具备下列两个条件：(1)被开方数中不含_.(2)被开方数中不含_的因数或因式.,分母,能开得尽方,2.二次根式的乘除：(1)(a0，b0).(2)(a0，b0).3.积、商平方根的性质：(1)(a0，b0).(2)(a0，b0).,4.二次根式的加减：先将二次根式化成_，再将_相同的二次根式合并.,最简二次根式,被开方数,【思维诊断】(打“”或“”)1.是二次根式.()2
2、.()3.()4.()5.是最简二次根式.()6.与 可以合并，则a的值是3.()7.()8.(),热点考向一 二次根式有意义的条件【例1】(1)(2014巴中中考)要使式子 有意义，则m的取值范围是()A.m-1B.m-1C.m-1且m1D.m-1且m1(2)(2013六盘水中考)无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为_.,【思路点拨】(1)根据二次根式有意义的条件建立关于m的不等式组，求出不等式组的解集.(2)二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式x2-6x+m0，结合完全平方公式的非负性，字母取值范围可求.,【自主解答】(1)选D.根据题意得：解得：m-1且m1.
3、(2)x2-6x+m=(x2-6x+9)+m-9=(x-3)2+m-9，且(x-3)20，要使代数式 有意义，只需m-90，解得m9.答案：m9,【规律方法】二次根式有无意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.,【真题专练】1.(2013苏州中考)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x1B.x1C.x1D.x1【解析】选C.式子 在实数范围内有意义，x-10，解得x1.,2.(2014连云港中考)使 有意义的x的取值范围是.【解析
4、】由题意得x-10，x1.答案：x1,3.(2014南京中考)使式子 有意义的x值取值范围为.【解析】要使式子有意义，只需 有意义，有意义的条件是x0.答案：x0,4.(2013珠海中考)使式子 有意义的x的取值范围是.【解析】要使二次根式 有意义，则有2x+10，所以x-.答案：x-,5.(2013安徽中考)若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是.【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，建立不等式1-3x0，解得x.答案：x,6.(2013襄阳中考)使代数式 有意义的x的取值范围是.【解析】根据题意，得 解得x 且x3.答案：x 且x3,7.(2013曲靖中考)若整数x满足，则使 为整数的
5、x的值是.(只需填一个)【解析】满足x3的整数x有0，1，2，3共7个数，其中使 为整数的x的值是3或2.答案：3或2(只需填一个即可),热点考向二 二次根式的性质【例2】(2013红河州中考)计算 的结果是()A.-3 B.3 C.-9 D.9【思路点拨】先把二次根式化为含有绝对值的代数式，再把其中的绝对值符号去掉，化简即得结果.,【自主解答】选B.=|-3|=3.,【规律方法】理解二次根式的性质需注意的两个问题 1.(a0)的双重非负性：(1)被开方数a非负.(2)本身非负.2.与 的异同：中的a可以取任何实数，而 中的a必须取非负数，只有当a取非负数时，=.,【真题专练】1.(2014江
6、西中考)计算：=_.【解析】.答案：32.(2012黔西南中考)计算：.【解析】|2|3.14|2|3.14(2)1.14.答案：1.14,3.(2012呼和浩特中考)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为_.【解析】根据题意可知a0，b0，且ab，a+b+a=ab+a=b.答案：b,4.(2012眉山中考)直线y=(3-a)x+b-2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：|b-a|-|2-b|=_.,【解析】由一次函数的图象知3a0，b20，a3，bb.b-a0，2-b0.|b-a|-|2-b|=|b-a|-|2-b|=|b-a|-|a-3|-|2-b|=-(b-a)-(a-3)-
7、(2-b)=-b+a-a+32b=1.答案：1,【知识拓展】与 的区别与联系,热点考向三 二次根式的运算【例3】(1)(2013泰安中考)化简：=_.(2)(2013济宁中考)计算：,【思路点拨】(1)先将 进行二次根式的乘法运算，再把 化为最简二次根式，然后利用绝对值的意义化简 最后合并被开方数相同的二次根式.(2)根据零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运算分别进行计算，再把所得的结果合并即可.,【自主解答】答案：6(2),【规律方法】二次根式运算中需注意的三个问题1.二次根式乘法、除法法则也可逆用，利用这两个等式可以化简二次根式.2.运算结果应尽可能化简.在解决实际问题时，二次根
8、式的结果可按要求取近似值(将无理数转化为有理数).3.在二次根式的运算或化简过程中，乘法公式、因式分解等相关法则、方法均可使用.,【真题专练】1.(2014济宁中考)如果ab0，a+b0，那么下面各式：，其中正确的是()A.B.C.D.,【解析】选B.ab0，ab0，a，b同号，且a0，b0，0，0.等号右边被开方数小于零，无意义，不正确；正确.故选B.,2.(2014聊城中考)下列计算正确的是()A.B.C.D.【解析】选D.18；与 不是同类二次根式，不能合并；与 不是同类二次根式，不能合并；.,3.(2013临沂中考)计算 的结果是()A.-B.C.D.【解析】选B.,【知识拓展】同类二
9、次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.(1)同类二次根式类似于整式中的同类项.(2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同.(3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同.,4.(2013衡阳中考)的结果为()A.B.C.3D.5【解析】选C.,5.(2014抚州中考)计算：=_.【解析】.答案：,6.(2014福州中考)计算：=_.【解析】.答案：1,7.(2013包头中考)计算：=_.【解析】.答案：,【方法技巧】二次根式的加减(1)合并被开方数相同的二次根式，将二
10、次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变，这与整式加减中的合并同类项类似.(2)二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式需保留假分数形式.,8.(2014自贡中考)计算：【解析】原式=.,热点考向四 二次根式的化简求值【例4】(2013襄阳中考)(6分)先化简，再求值：其中,【规范解答】,【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1.常见题型：与分式的化简求值相结合.2.解题方法：(1)化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.(2)代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.(3)检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.,【真题专练】1.(2013遂宁中考)先化简，再求值：
11、，其中a=1+.【解析】原式=.当a=1+时，原式.,2.(2014遂宁中考)先化简，再求值：其中【解析】原式=当 时，原式=,3.(2014益阳中考)先化简，再求值：，其中x=.【解析】=1+2x4+x22x+1=x22，当x=时，原式=()22=1.,【变式训练】(2013曲靖中考)化简：，并解答：(1)当 时，求原代数式的值.(2)原代数式的值能等于1吗？为什么？,【解析】原式=(1)当x=1 时，原式=.(2)若原代数式的值能等于1，即，解得x=0，经检验，当x=0时原分式无意义，故原代数式的值不能等于1.,【典例】化简：错解：,【误区警示】,【规避策略】在将根号外的因式移到根号内时，一定要先判断该式的符号，否则容易忽视因式本身具有的条件限制，而导致符号错误.,
