《微分方程数值解法(李荣华3版)第二章习题答案(大).docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分方程数值解法(李荣华3版)第二章习题答案(大).docx(25页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、第二章习题课(2007.4.28)习题L求两点边值问题1.uu4u=Zsin,0工1,42(1.1)u(0)=0,(1)=0的线性有限元解函数(区间等距剖分成2段或3段),要求在计算总刚度矩阵和总荷载向量时,所涉及的定积分用两种方法:1 .精确求解;2 .用中矩形公式近似计算。解:第一步:写出原问题(Ll)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间和检验函数空间均为:H1e(I)=uu三Hl3)=0.在(Ll)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间H()中的任意元素再在区间/=(0,1)上积分,可得2(1.2)-uttvdx+uvdx=2sinvdxJoJo4Jo2其中fl分部积分fl-yutt
2、vdx-utvdx-vut0=ufvfdx-v(l)wr(l)-v(O)wr(O)j0(1.3)=ufv,dxJo将(1.3)代入(1.2),可得21J。(M+-uv)dx=2Jsinvdxq(4,v)=/)(/+wvXx小)= 2j;.x ,sin vdx2则可以得到原问题(LI)的等价变分问题:求沙:(/),使得=/(v),PVeHTE(I).(1.4)第二步:线性有限元空间的构造1.网格剖分(这里以等距剖分3段为例)2. 一次Lagrange有限元空间的定义3. V=uh三C(Z):uhe三Pxeii=L2,3,%(O)=O.4. 1.agrange节点基函数的构造xf3x,必(X) =
3、 2-3x0,在别处31圾(X) = V 3-3x,0,rl 2在别处3x 2, A(X)= 0,在别处4.空间Vf中元素的(整体)表示记 ul=uhxi z =1,2,3,则对有3劭(X)=Z必(x)(15)7=1第三步:写出线性有限元方程将原变分问题(L4)中(/)的试探函数子空间和检验函数子空间均取为匕,则可以得到原问题(Ll)的近似变分问题:求%”,使得aM%)=f(%),VyhGVL(1.6)利用(L5)并将Vh取为4(x),i=l,2,3则上述近似变分问题等价于求”1,”2,”3R,使得3O(Z勺a,4)=/S)=1,2,3;=13OEa(I)V(I)JUj=以岭,i=l,2,3J
4、=I3Oa,()j)Uj=i=,2,3J=I写成矩阵形式AU=b其中(AM)(A,0)a(,J。(。2,。2)(。2,A)a电,归。(。3,。3)w1U=U2_3其中(a)精确求解/()b=f2)/W以Si,必)和/)的计算为例:2M)=Ka)2+亍婿9=J三2-=p32+Jo42 21+aw2+-13 422(3x)2心+R(3)2+(2-3x)2d=.-1T(。1,4)=。(。2,。)=,Q(O1,。3)=。(03,01)=,。(。2,圾)=。(。2,。3)=(。3,。2)=,。(。3,。3)=/S)=2sin=2PSinJoxxdx2(x)dx+2psin(2-3x)dx=(b)中矩形公
5、式近似求解bc+b,g(x)公S4)g(-r)以a3,j和以G)的计算为例:(如域):32+(3!)2+4(_3)2+(2_3)2346342z?O1/Cn、1/C乃、二一(9+)+-(9+)3163162TC1=-(9+-)316/(4) 2 sin2 .=sin3 11(3) + 2-sin263 2 . +sin 24 381兀-1一(2-322习题2.导出下面边值问题rd/du、.f1.u=(P)+qu=九axbdXdX(2.1)u(a)+axu(a)=x,u(Z?)+a2u(b)=?的线性有限元方程。解:第一步:写出原问题(2.1)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间和检验函数
6、空间均为:H(I),I=Mb).在(2.1)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间/(1)中的任意元素再在区间/=3份上积分,可得Sbddllfbrb(2.2)-(P)vdx+quvdx=fvdxJeldXdXJaJ。其中-C-(p-)vdxJadxdx分部积分,b,=puvdx-pvuJafib=puvtdx+p(a)v(d)u,(a)-p(b)v(b)u,(b)a=IPUVdX+pdvdx-axud)-p(b)v(b)0?-%(/?)(2.3)将(2.3)代入(2.2),可得b(pu,v,+quv)dx+a2PS)HS)VS)-a,p(a)u(a)v(a)arb=找dx+zP(b)v(b)-
7、p(a)v(a)记af,a(,v)=I(puV+quv)dx+a2p(b)u(b)v(b)aip(a)u(a)v(a)Cb/(v)=WdX+2P(b)v(b)-p(a)v(a)则可以得到原问题(2.1)的等价变分问题:求(),使得(2. 4)(#)=/(V),VvH1()第二步:线性有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分:a=x0xi-xnxn=bX0xlx2yn-lXn记第i个剖分单元ei=xi,xi,4=七一七T为第i个剖分单元的剖分步长。2 .一次Lagrange有限元空间的定义V=mC(7):%L,G片(令),i=1,2,.4.Lagrange节点基函数的构造X1X-XqI
8、,xaxx(I)O(Q=%0,在别处x-xi-/-,X.xXi17LlIhiXX-%)=1-二XiXXi+l%0,在别处当xZ在别处4.空间M中元素的表示记Ui=Uh(X),i=/,2,,则对勾V,有Uh(X) = EUjG(X)J=O(2. 5)第三步:写出线性有限元方程将原变分问题(2.4)中()的试探函数子空间和检验函数子空间均取为V,则可以得到原问题(2.1)的近似变分问题:求Uz,使得。(以,乙)=/(乙),wzey(2.6)利用(2.5)并将L取为4(x),i=0,1,2,则上述近似变分问题等价于求0,4”2,三R,使得/j,6J=f(j,i=0,l,2,侧)*)%=f3),i=0
9、,l,2,a(i,j)uj=f(iz=0J,2,J=On7=0nJ=O写成矩阵形式AU=b其中。(。(),4)。(4),必)a(G)O(落裔)(如4)a(vn)(或M)a电,(I)D(裔,裔),+i)xgi)“0f()/M)f(n)习题3.导出非齐次两点边值问题,d/du、r11.u=(P)+qu=九axb(3. 1)dxdxU(O)=a,ur(Jb)+3u(b)=的线性有限元方程组。解:方法一:先将两点边值问题(3.1)齐次化。令VV(X)=(X)-a,则原非齐次两点边值问题变成如下齐次两点边值问题:rd.dwxr11.w-(P)+qw=J-ocq.axbdxdx(32)w(a)=O,w,(
10、b)+w(b)=/-a方法二:分三步来导出两点边值问题(3.1)所对应的线性有限元方程组。第一步:写出原问题(3.1)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间:U=uueH(/),u(a)=a检验函数空间:V=vvH1(),v(a)=O)在(3.1)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间V中的任意元素y,再在区间/=(区。)上积分,可得PbddtlPbPb(3.3)-一(P)vdx+quvdx-ffvdxjadxdxJaja其中chddu分部积分rbl-p-)vdx=puv,dx-pvu,=putv,dx-PS)y(b)u(b)=puv,dx-p(b)v(b)一u(b)JaSb=puv,dx-
11、Ps)VS)+p(b)u(b)v(b)Ja(3.4)将(3.4)代入(3.3),可得f(pufV+quv)dx+p(b)u(b)v(b)=ftfvdx+p(b)v(b)JaJaaa(u,v)=(pu,vr+quv)dx+p(b)u(b)v(b)/(v)=fvdxp(b)vb则可以得到原问题(3.1)的等价变分问题:求4U,使得au.v)=f(yvV.(3.5)第二步:线性有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分:a=x0xixn_xn=bIlllI%xlx2Fn-IXn记第,个剖分单元ei=%-1,Xi,hi=Xi七_为第,个剖分单元的剖分步长。2 .一次Lagrange有限元空间的
12、定义5. Ub=UhC(7):uhePi(eiZ=1,2,.,n,ult(d)=2;%=以C(7)vhe三6(,),i=1,2,凡vh(a)=O.6. 1.agrange节点基函数的构造1 -,x0XX1。0(X)=%O9在别处-4() = hix-xiO,% i七 xx* 在别处ZT X%在别处Xfl裔(%)=j,G)=ja)-aa电,j,i=l,2,.11J=IOZa3j,)1Ij=f(i)-aa(t0,i),,=12/j=l。ZCISi,ZM=)-aa(a,),,=1,2,/j=写成矩阵形式AU=b其中a,ja归QMM)。(我,。1)。(0,。2)。(。2助)A=,Ux(-,0)a(n,
13、2)an.n)jj-aa(o,jf(D./(以)习题4.设是两点边值问题_d/du、r71.u(P)+qu=j,axbdxdx(4)u(a)=O,u(b)=O的二次连续可微解。试证:线性有限元解即一致收敛到,且收敛阶为O(Zl)o证明:因为解“二次连续可微,所以由教材P.4L的(2.2.12)仙一/1。川1)(4.2)利用u(a)-uh(a)=O9对Vx勿,有x(一力)dt(4.3)Cl因此W(X)-以(x)M-MwJluf-u,hbcz,x/,2y/2(SChWarZ不等式)(jI2Aj2J|/一叫公1(b2、1/2=S-一dxS-)5%(4.4)由(4.2)和(4.4)知W(X)如(x)C
14、(Jy-d)20/z=O(Zz).习题5设ueCb是如下变分问题(,v)=(,v),v三Hi的解,其中z.adudv.a(u,v)=paxJadxdx(/=:小公试证:u的二次元解yfE满足如下估计式IIT c叫叫Ioo(5. 1)-JI0 c7HWIL(5. 2)证明:首先证明估计式(5.3)。由第一章定理4.1(P.24),我们有就i%一端vvgve特别地,有M-端WCM-端(5. 3)其中,/(x)%为(x)的分段二次插值多项式,它在第i个单元4=Xj上是由(七.1),履历T/2),“(毛)共同确定的二次插值多项式。Xi-Ixi-i2Xi下面估计|一,为此先分别估计Mi儿,|“一说h1.
15、估计II的II。.因为Ca,b,由插值多项知识(见数值计算方法傅凯新,黄云清,舒适,P.25.定理2),可知当X4=xi,vxii存在一个4Ej=X5%,使得C)(%)-U1(%)=-(X-XjTXXz2)(x-xi)(5.4)从而有”(J)u(x)-ul(x)=3(yf)(Axi-2)(X-Xj)(5.5)(5.6)4WL*叩T由(5.5)可得/一对Ih=J;I”(X)一/(X)FdXC7(3)2rIl8JXjT利用(5.6),有MT:=M()-%(X)h=1cN/以C(b-a)h6MIj6r:即U-UjnCh3II”。IloO2估计/一叫.在第个单元A=pz上,令ex)=u(x)-u1(x
16、)显然e(x,)=e(XI/2)=e(x,)=0由Rolle定理知,存在W七一1,九1/242e得ef(1)=e2)=0(5.7)(5. 8)(5.9)3-1/2,尤J使(5. 10)e (X) = J e(t)dt(5. 11)于是有由(5. 11),有xX e”(t)dt hi erf84(5. 12)注意到(5.10),再次利用Rolle定理可知,存在九幺,使得e()=0于是有e(%)=JJ”(5.13)由(5.13),有,X,力加凹L/(5.14)由(5.12)和(5.14),可得eXx)hehn=huVxJ因此一力2=f;Iu,(x)-ur1(x)2dxOJiJ%(5.15)由(5.15),可得M-叫-叫Z=I4ktC,=(b-a)h4ww2即IM-矶WML(5.16)由(5.7)和(5.16),我们就有IIm-uIL=7m-m/Ilo+IIm-mJIoch2IImO,q0,/=。2,函数W(X)满足一;(PeX)半)+久九)W(X)=/(x),xe(a,b)axClXw(a)=0,MS)=0则做X)C2(),且满足klc0