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1、模糊聚类分析,模糊矩阵,模糊矩阵模糊矩阵间的关系及并、交、余运算模糊矩阵的合成模糊矩阵的转置模糊矩阵的截矩阵,模糊矩阵,设R=(rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,模糊矩阵间的关系及并、交、余运算,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义相等：A=B aij=bij；包含：AB aijbij；并：AB=(aijbij)mn；交：AB=(aijbij)mn；余：Ac=(1-aij)mn.,设A=(aik)ms，B=(bkj)sn，称模糊
2、矩阵A B=(cij)mn，为A 与B 的合成，其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2=A A，A3=A2 A，Ak=Ak-1 A.,模糊矩阵的合成,模糊矩阵的转置,定义 设A=(aij)mn,称AT=(aijT)nm为A的转置矩阵，其中aijT=aji.,转置运算的性质：,性质1：(AT)T=A；性质2：(AB)T=ATBT，(AB)T=ATBT；性质3：(A B)T=BT AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：AB AT BT.,模糊矩阵的截矩阵,设A=(aij)mn,对任意的0,1，称A=(aij()mn,
3、为模糊矩阵A的-截矩阵,其中 当aij 时，aij()=1；当aij 时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩阵.,模糊聚类分析,模糊关系模糊等价矩阵模糊相似矩阵模糊聚类分析的一般步骤,模糊关系,与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系.模糊子集 R 的隶属函数为映射R:X Y 0,1.并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系 R 的相关程度.特别地，当 X=Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子
4、集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系.相等：R1=R2 R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)；并：R1R2 的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交：R1R2 的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余：Rc 的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩
5、阵表示,对于有限论域 X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示，即R=(rij)mn，其中rij=R(xi,yj)0,1表示(xi,yj)关于模糊关系R 的相关程度.又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).,模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.(R1 R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X=x1,
6、x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn,且X 到Y 的模糊关系R1=(aik)ms，Y 到Z 的模糊关系R2=(bkj)sn，则X 到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1 R2=(cij)mn 其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊等价矩阵,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X=x1,x2,xn为有限时,X 上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：,I R(rii=1),RT=R(rij=rji),R
7、2R.,R2R(rikrkj)|1kn rij).,当时,R的分类是R分类的加细.当由1变到0时,R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类,这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类,故R是模糊等价矩阵再令由1降至0,写出,按分类,以此类推,可以得到:,10.80.60.50.4,r54321,于是,得到动态聚类图如右图所示,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系.当论域X=x1,x2,xn为有限时，X
8、 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足：(1)自反性：I R(rii=1)；(2)对称性：RT=R(rij=rji).,模糊相似矩阵的性质,定理1 若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵.定理2 若R 是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数 k(kn)，对于一切大于k 的自然数 l，恒有Rl=Rk，即Rk 是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包，记作 t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,平方法求传递闭包 t(R)：RR2R4R8R16,模糊聚类分析的一般步骤,（1）数据标准化,设论域X=x1
9、,x2,xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi=xi1,xi2,xim,i=1,2,n于是,得到原始数据矩阵为,a 平移 标准差变换,其中,b 平移 极差变换,(2)建立模糊相似矩阵方法,a 相似系数法-夹角余弦法,b 相似系数法-相关系数法,其中,c 距离法,海明距离,欧氏距离,（3）聚类（并画出动态聚类图）,从（2）求出的n阶模糊相似矩阵R出发，用平方法求其其传递闭包t(R)，它就是将改造成的n阶模糊等价矩阵，再让由大变小，就可形成动态聚类图,最佳分类的确定,在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象
10、和直观的.但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题.,称为总体样本的中心向量.对应于 值的分类数为r第 j 类的样本数为nj，第 j 类的样本标记为,第 j 类样本的中心向量为,作F-统计量：,如果满足不等式FF(r-1,n-r)的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差(F-F)/F 的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.,实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类.,由于F服从自由度r-1,n-r为的F分布，其分子表示类与类之间的距离，分母表示类本身的距离，那么F的值越大
11、，则说明类与类之间的距离越大，即分类的结果越好,建模实例,蜢的分类DNA序列分类,蠓的分类,左图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据,其中“”表示Apf,“”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.,给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.,模糊判别方法 先将已知蠓重新进行分类.,当=0.919时,分为3类1,2,3,6,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,三类的中心向量分别为(1.395,1.770),(1.
12、560,2.080),(1.227,1.927).,A1=(0.200,0.637)(Af 蠓),A2=(0.390,1.000)(Af 蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf 蠓),再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为,B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).,采用贴近度,3(A,B)=,计算得：3(A1,B1)=0.89,3(A2,B1)=0.65,3(A3,B1)=0.92.3(A1,B2)=0.89,3(A2,B2)=0.69,3(A3,B2)=0.92.3(A1,B3)=0.84,3(A2,B3)=0.88,3(A
13、3,B3)=0.83.根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.24,1.80)属于第三类,即Apf 蠓；第二只待识别的蠓(1.28,1.84)属于第三类,即Apf 蠓；第三只待识别的蠓(1.40,2.04)属于第二类,即Af 蠓.,设Af是传粉益虫,Apf是某种疾病的载体,是否应修改你的分类方法？若需修改,为什么？,DNA序列分类与模糊识别,2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题：生物学家发现DNA序列是由四种碱基A,T,C,G按一定顺序排列而成,其中既没有“断句”,也没有标点符号,同时也发现DNA序列的某些片段具有一定的规律性和结构.由此人工制造两类序列(A类编号为110；B类编号
14、为1120).网址：.现在的问题是如何找出比较满意的方法来识别未知的序列(编号为2140),并判断它们那些属于A类,那些属于B类,那些既不属于A类又不属于B类.,(1)已知类别DNA序列的模糊分类,提取已知类别的20个DNA序列的A,T,C,G的百分含量构成如下矩阵：X=(xij)204,其中xi1,xi2,xi3,xi4分别表示第个DNA系列中的A,T,C,G的百分含量.采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然后用传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下.,(2)确定最佳分类,将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳：,A1=1,2,3,5,6,7,8 9,10,A2=4,17,A3=11,12,13,14,15,16,18,19,20.,建立标准模型库：A1,A2,A3.,(3)未知DNA序列的模糊识别 采用格贴近度公式：0(A,B)=A B+(1-AB)/2,将隶属于A1的DNA序列归为A类,隶属于A3的DNA序列归为B类,隶属于A2的DNA序列归为非A,B类.,
