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1、,平面向量一,已知两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40N,方向向东,F2=30N,方向向北,求它们的合力.,什么是向量？向量和数量有何不同？,向量：即有大小又有方向的量,（数量：只有大小，没有方向的量）,在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？,数量有：质量、身高、面积、体积,向量有：重力、速度、加速度,2.向量如何表示？,几何表示向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。,注:以A为起点，B为终点的有向线段记为 线段AB的长度记作（读为模）；,也可以表示：,大小记作:,练习:1.温度有零上和零下之分
2、，温度是向量吗？为什么？,我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量.,如图：他们都表示同一个向量。,不是，温度只有大小，没有方向。,不是，方向不同,说明1：,有向线段与向量的区别：,有向线段：有固定起点、大小、方向,向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。,说明2：,思考：,1、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合吗？2、向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上吗？3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？、若四边形ABCD是平行四边形，则有吗?,3.什么是零向量和单位向量？,零向量：长度为0的向量，记为；单位向量：
3、长度为1的向量.,注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.,4.什么是平行向量？,方向相同或相反的非零向量叫平行向量.,注：,1.若是两个平行向量，则记为,2.我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量，,都有,三、向量之间的关系：,练习.判断下列各组向量是否平行？,向量的平行与线段的平行有什么区别?,B,例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用 向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km).,1:8000000,5.什么是相等向量和共线向量？,长度相等且方向相同的向量叫相等向量,注：1.若向量 相等，则记为；2.任意两个相等的非零向
4、量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。,平行向量也叫共线向量,注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.,O,A,B,C,B,相等,B,5.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 相等的向量。,O,A,B,C,D,E,F,6.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 相等的向量。,O,7：如图,EF是ABC的中位线,AD是BC 边是的中 线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出（1）与向量CD共线的向量有_个,分别是_；（2）与向量DF的模一定相等的向量有_个,分别是_；（3）与向量DE相等的向量有_个,分别是_
5、。,A,B,C,D,E,F,7,5,2,8：如图,D、E、F分别是ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：（1）与ED共线的向量；（2）与ED相等的向量；（3）与FE相等的向量。,课本 P8687,嘉祥一中高一、一科数学组,向量加法、减法运算及其几何意义,知识回顾,1.向量与数量有何区别?,2.怎样来表示向量向量?,3.什么叫相等向量向量?,数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等,向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等,1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。,2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.,长度相
6、等,方向相同的向量相等.,(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.),上海,香港,台北,引入1：,向量加法的三角形法则：,C,A,B,首尾连首尾相接,尝试练习一：,A,B,C,D,E,（1）根据图示填空：,例1.如图，已知向量，求作向量。,则,三角形法则,作法1：在平面内任取一点O，,作，,例题讲解：,思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？,（1）,（2）,B,C,B,C,当向量 不共线时，和向量的长度 与向量 的长度和 之间的大小关系如何？,三角形的两边之和大于第三边
7、,综合以上探究我们可得结论：,图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？,F=F1+F2,引入2：,起点相同,向量加法的平行四边形法则：,起点相同,向量加法的平行四边形法则：,文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。,例1.如图，已知向量，求作向量。,例题讲解：,作法2：在平面内任取一点O，,作，,以 为邻边作 OACB，,连结OC，则,平行四边形法则,尝试练习二：,(3)已知向量，用向量加法的三角形
8、法则和平行四边形法则作出,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。,A,D,B,C,例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速
9、度的夹 角来表示）。,答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60。,A,D,B,C,（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？,（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？,思考：,如设,实数 的相反数记作。,向量的减法运算及其几何意义,回顾：,一、相反向量：,规定：,（1）,（3）设 互为相反向量，那么,2.2.2 向量的减法运算及其几何意义,记作：,的相反向量仍是。,二、向量的减法：,（2）,设,D,E,又,所以,你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？,不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？,三、几何意义：,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,（1）如
10、果从 的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？,（2）当，共线时，怎样作 呢？,A,B,O,A,B,O,一般地,B,A,O,（三角形法则）,练习：,三、几何意义,一般地,B,A,O,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,练习：,已知向量，求作向量，。,例3,O,B,A,C,D,作法：,在平面内任取一点O，,则,作,注意：,起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。,练习：,已知向量，求作向量。,（1）,（2）,（3）,（4）,例4,在 ABCD 中，,你能用 表示 吗？,D,B,A,C,变式二 本例中，当 满足什么条件时，,巩固练习：,1、在 中，则,2、如图，用 表示下列向量：,D
11、,B,A,C,E,B,A,C,小结,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,3.向量加法满足交换律及结合律,向量的减法,一、定义（利用向量的加法定义）。,二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。,复习,(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同.(2)(3)若非零向量 共线,则(4)四边形ABCD是平行四边形,则必有=(5)向量 平行,则 的方向相同或相反,判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.,(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。,1、位移,F为F1与F2的合力
12、,它们之间有什么关系,2、力的合成,F1+F2=F,向量的加法,作法（1）在平面内任取一点O,A,B,这种作法叫做向量加法的三角形法则,还有没有其他的做法？,向量加法的三角形法则,位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型,C,作法（1）在平面内任取一点O,还有没有其他的做法？,向量加法的平行四边形法则,这种作法叫做向量加法的平行四边形法则,力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型,已知向量a,b,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的四边形法则作出a+b,规定：,判断 的大小,1、不共线,o,A,B,2、共线,(1)同向,(2)反向,判断 的大小,结论,数的加法满足交换律与结合
13、律,即对任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?,是否成立？,根据图示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_,根据图示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_,c,f,f,g,例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字),解:(1),C,(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示
14、,精确到度).,在RtABC中,船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70,小结,1.向量加法的三角形法则,(要点：两向量首尾连接),2.向量加法的平行四边形法则,(要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边),3.向量加法满足交换律及结合律,学习目标:,1、向量的加法运算，及其几何意义,2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量,A,B,C,1、位移,2、力的合成,一、引入,二、向量的加法,求两个向量和的运算，叫做向量的加法.,1、向量加法的三角形法则,作法（1）在平面内任取一点O,o,A,B,还有没有其他的做法？,首尾相接，首尾连,2、向量加法的平行
15、四边形法则,o,A,B,C,作法（1）在平面内任取一点O,起点相同，连对角,规定：,o,A,B,数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+a)任意向量 的加法是否也满足交换律与结合律？,结论,练习：,方法与技巧：,5化简下列各式：,D,小结,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点相同，连对角）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,3.向量加法满足交换律及结合律,1、下列说法正确的是（）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比
16、较大小.D,D,C,C,练习:2,3、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由,3、相反向量就是方向相反的量,4、若，则A、B、C三点是一个三角形的定点,（）,（）,（）,（）,（）,6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线,（）,例3:化简,练习,1化简：,练习,O,O,2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,1.向量加法三角形法则,特点：首尾相接,特点:共起点,特点：共起点，连终点，方向指向被减向量,2.向量加法平行四边形法则,3.向量减法三角形法则,复习回顾:,实际背景,思考：已知非零向量,作出 和,你能说明它们的几何意义吗？,B,A,C,O,N,M,Q,P,一般地，我们规定实数与向量
17、的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，,（1）,（2）当 时，的方向与 的方向相同；当 时，的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,一.向量数乘的定义,它的长度和方向规定如下：,=,探究,设 为实数，那么,特别的，我们有,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有,2、实数与向量积的运算律,结合律,分配律,分配律,例1.计算：,解:,二.例题讲解,练习:,思考:,向量共线定理(重点),A,B,C,解:,解：,练习:,A,D,C,B,A,课堂小结:,练习:,C,A,B,4.已知四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点，求证：,名师一号P 79,练
18、习:,A,P91 A组 9 11,作业:,思考题:,例1计算：,（1）,（2）,（3）,注：向量与实数之间可以象多项式一 样进行运算.,例：已知向量,试判断,，,，,是否共线。,A,B,C,D,E,与 共线,解：,练习强化,如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则,2.3.1平面向量基本定理,2.3.2平面向量正交分解及坐标表示,一般地,实数 与向量 的积是一个向量,记作:,(1)(2)当 时,的方向与 的方向相同;当 时,的方向与 的方向相同;(3)当 时,或 时,复习提问,一、数乘的定义：,它的长度和方向规定如下:,二、数乘的运算律：,1.定理:向量 与非零向量 共
19、线的充要条件是有且只有一个实数,使得.,三、向量共线的充要条件：,2).证明 三点共线:,直线AB直线CD,利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合.,2.定理的应用：,1).证明 向量共线,3).证明 两直线平行:,AB与CD不在同一直线上,研究,N,M,平面向量基本定理,a=+,（1）一组平面向量的基底有多少对？,（有无数对）,思考,E,F,思考,(2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数、是否相同？,（可以不同，也可以相同）,(1)不共线的向量 叫做这
20、一平面内所有向量 的一组基底;,平面向量基本定理:,(4)基底给定时,分解形式唯一.,(2)基底不唯一;,如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使,(3)任一向量 都可以沿两个不共线的方向（的 方向）分解成两个向量（）和的形式；,说明：,已知向量 求做向量-2.5+3,例1：,O,A,B,C,例2：凸四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,用 表示,例3.如图,不共线,用 表示,O,P,B,A,变式：不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且 求证：A、B、P三点共线,例4、如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,
21、AB的中点.,请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。,解析：,评析,能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题。,向量的夹角,两个非零向量 和，作，,与 反向,则 叫做向量 和 的夹角,记作,与 垂直，,注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,与 同向,向量的正交分解,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便,平面向量的坐标表示,平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使 成立,则称（x，y）是向量 的坐标,如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量 作基底.,记作
22、：,（1）与 相等的向量的坐标均为（x,y),注意：,(4)如图以原点O为起点作，点A的位置 被 唯一确定.,平面向量的坐标表示,(x,y),A,此时点A的坐标即为 的坐标,（5）区别点的坐标和向量坐标,相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,（1）与 相等的向量的坐标均为（x,y),注意：,（3）两个向量 相等的充要条件：,(6),例1如图，用基底，分别表示向量 并求它们的坐标,解：由图可知,同理，,平面向量的坐标表示,A1,A,A2,小结回顾,一、对 平面向量基本定理 的理解：e1,e2是平面向量内两个不共线的固定向量，则任意向量a可以在这两个向量的方向上进行分解。当|e1|=
23、|e2|=1且e1与e2垂直时，就可以建立直角坐标系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。,二、两类问题：1.用一组基底表示任一向量 2.由一组基底的线性组合求作向量,作业：习题5.3 P110-6,7,O,问题1：,问:能否作出向量 使 成立？这样的 有几个？,问题2：,问:能否找出实数对1与2 使 成立？而这样的1与2有多少对？,平面向量基本定理:,有且只有一对实数、使,向量，那么对于这一平面内的任一向量,如果、是同一平面内的两个不共线,这一平面内所有向量的一组基底。,我们把不共线的向量、叫做表示,(4)基底 给定时，分解形式唯一.,平面向量基本定理:,探究：,(1)我们把不共线向量、
24、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；,(2)基底不唯一，关键是不共线；,(3)由定理可将任一向量 在给出基底、的条件下进行分解；,是由、唯一确定的数量,平面向量基本定理,探究：,（5）一组平面向量的基底有多少对？,（有无数对）,(6)若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同？,（可以不同，也可以相同）,=,=0,(8)特别的，若 与 共线，则有，,使得:,例1.已知向量e1,e2，求作向量-2.5e1+3e2,作法:1、任取一点O,作,B,C,3、就是求作的向量,例2 如图，、不共线，用、,表示.,O,A,B,P,解：,例3 ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是
25、否平行？,解：,取基底,则有,共线，又无公共点,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图),思考:,平面向量的正交分解,把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解,探索1:,以O为起点，P 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？,向量的坐标表示,在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?,探索2:,A,o,x,y,可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.,解决方案:,O,x,y,A,平面向量的坐标表示,这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作,其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。,如图
26、，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以 为基底，则,例1.如图，分别用基底，表示向量、，并求出 它们的坐标。,A,A1,A2,解：如图可知,同理,例题,2.3.3 平面向量的坐标运算,罗俊富,温故知新,向量的加法(三角形法则),向量的加法(平行四边形法则),向量的减法(三角形法则）,向量的数乘运算,(1)|a|=|a|(2)当0时,a的方向与a方向相同；当0时,a的方向与a方向相反；特别地，当=0或a=0时,a=0,对实数和向量a,设a,b为任意向量，,为任意实数，则有：(a)=()a(+)a=a+a(a+b)=a+b,特别地:,向量 a（a 0）与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使
27、 b=a,问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动?,问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动?,如果是1只大猴子和4只小猴子呢?,如果，是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数、使 其中不共线的向量,叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底。,平面向
28、量的基本定理,思考:平面内,向量的基底是否唯一？,例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2.,e1,e2,O,C,B,e1,e2,a,平行四边形做法唯一，所以实数对x,y存在唯一,对定理的理解:,1)基底:不共线的向量e1 e2。同一平面可以有不同基底,2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式；,3)分解是唯一的,思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北偏东30方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子往正北运动,要几只小猴子?,30,？,30,向量的夹角,共起点
29、,把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解,2.3.2 平面向量的正交分解,1 0,0 1,0 0,2.3.2 平面向量的坐标表示,由a 唯一确定,2点A的坐标与向量a 的坐标的关系？,两者相同,概念理解,3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？,2.3.2 平面向量的坐标表示,解：由图可知,同理，,课堂小结：,2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角,4.向量的坐标表示,把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。,分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i、j 作为基底，任一向量a，用这组基底可表示为a=xi+yj，（x，y）叫做向量a的坐标,2.3.3平面向量的
30、坐标运算,平面向量的坐标运算,1.已知a，b，求a+b，a-b,解：a+b=(i+j)+(i+j),=（+)i+（+)j,两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）,2.3.3平面向量的坐标运算,解：,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标,实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标,2.3.3 平面向量的坐标运算,例4 已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标,a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；,3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）,2.3.3
31、 平面向量的坐标运算,例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（1，3）、（3，4），求顶点D的坐标,解法1：设顶点D的坐标为（x，y）,补充1 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（1，3）、（-3，4），求顶点D的坐标,y C A D0 B x,例2.如图，分别用基底，表示向量、，并求出它们的坐标。,解：如图可知,同理,例题讲解,O,x,y,2.3.4平面向量共线的坐标表示,2.3.4平面向量共线的坐标表示,如何用坐标表示向量平行(共线)的条件?会得到什么样的重要结论?,向量 与非零向量 平行(共线)的条件是有且 只有一个实数,使得,设即 中,
32、至少有一个不为0,则由 得,这就是说:的条件是,3.向量平行(共线)条件的两种形式:,2.3.4 平面向量共线的坐标表示,例 题,已知,已知 求证:A、B、C 三点共线。,若向量 与 共线且 方向相同,求 x.,2.3.4 平面向量共线的坐标表示,直线l上两点、，在l上取不同于、的任一点P，则P点与 的位置有哪几种情形？,存在一个实数，使，叫做点P分有向线段 所成的比,设，P分 所成的比为，即 如何求P点的坐标呢？,探究,练习6、7,1,任一向量 的坐标表示：,2,特殊向量 OA 的坐标表示：,A(x,y),3,平面向量的坐标运算：,=(x1+x2,y1+y2),=(x1-x2,y1-y2),
33、=(x1,y1),若：A(x1,y1),B(x2,y2),则：AB=(x2-x1,y2-y1),课堂小结:,4.向量平行(共线)条件的两种形式:,课堂小结:,平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,定义：,一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0时,a 的方向与a方向相同；当0时,a 的方向与a方向相反；,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下
34、产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,定义,|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的数量积是一个数量。,思考：,ab=|a|b|cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当=90时ab为零。,重要性质:,特别地,解：ab=|a|b|cos=54cos120=54（-1/2）=10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解：|a|=2,|b|
35、=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45=2,ab的几何意义：,O,投影,O,O,练习：,1若a=0，则对任一向量b，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b,有a b0,3若a 0，a b=0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b=b c，则a=c,6若a b=a c,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、M
36、N、ON,证明运算律(3),例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,P116 例4,例4,小结：,1.2.,可用来求向量的模,3.投影,作业：,4、已知a、b都是非零向量，且a+3 b 与7 a 5 b 垂直，a 4 b 与7 a 2 b垂直，求a与b的夹角。,解：（a+3 b）（7 a 5 b）（a 4 b）（7 a 2 b）（a+3 b）（7 a 5 b）=0 且（a 4
37、 b）（7 a 2 b）=0 即 7a a+16 a b 15 b b=0 7a a-30 a b+8 b b=0 两式相减得：2 a b=b 2，,代入其中任一式中得:a 2=b 2,cos=,2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,一、复习引入,我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用,二、新课学习1、平面向量数量积的坐标表示如图，是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，由于 所以,1,1,0,更多资源,下面研究怎样用,设两个非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),则,故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即,根据平面向量数量积的坐标表示，向量的
38、数量积的运算可转化为向量的坐标运算。,2、向量的模和两点间的距离公式,（1）垂直,3、两向量垂直和平行的坐标表示,（2）平行,4、两向量夹角公式的坐标运算,三、基本技能的形成与巩固,练习：课本P1191、2、3.,例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.,练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.,y,B,A,O,x,四、逆向及综合运用,例3（1）已知=（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求.,提高练习,2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.,矩形,
39、3、已知=(1，2)，=(-3，2)，若k+2 与 2-4 平行，则k=.,-1,小结、理解各公式的正向及逆向运用；、数量积的运算转化为向量的坐标运算；、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。,平面向量数量积的物理背景及其含义,一、向量数量积的物理背景,在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移，那么力 所做的功,我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。,二、向量与的数量积的概念,已知两个非零向量与，它们的夹角为，则我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作：,规定：零向量和任一向量的数量积为0,思考：两非零向量 与 的数量积是一个
40、实数，不是一个向量，其值可以为正，也可以为负，还可以为零，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？,测一测：,结论：,算一算：,答案：-10,同向时，48反向时，-48,算一算：,三、向量的投影,几何画板展示,设是向量与间的夹角，叫做向量 方向上的投影；而 称为 方向上的投影。,说明：一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数，当090时，它为正值；当=90时，它为0；当90180时，它为负值特别地，当=0，它就等于；而当=180时，它等于。,你能根据投影的定义解释 的几何意义？,练一练：,四、向量数量积的运算律,已知向量 与实数，则向量的数量积满足下列运算律：,(分配律),说明：向量数
41、量积不满足消去律，也就是说：,巩固训练,题1、求证：,提高练习：,1、三角形ABC为正三角形，问：,600,1200,2、判断下列说法的正误，并说明理由,假,真,真,=-3,=-34,=-5,2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角,一、复习：a与b的数量积？,已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab=|a|b|cos,a b的几何意义：？,数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上投|b|cos的乘积。,向量的基底？,不共线的平面向量 e1,e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.,探索1:已知两个非零向量a=
42、(x 1,y2)，b=(x1,y2)，怎样用a 与 b的坐标表示呢？请同学们看下列问题.,设x轴上单位向量为,，Y轴上单位向量为,请计算下列式子：,1,1,0,0,问题2：你能推导出 的坐标公式？,解:,即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。,已知,由向量的数量积的坐标表示，类似可得：,若设,则,这就是A、B两点间的距离公式.,例1：,想想,解：,（1）,问题3：你能写出向量夹角公式的坐标表示式，以及向量平行和垂直的坐标表示式.,例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（2,5）,试判断 ABC的形状，并给出证明。,解：如图在平面直角坐标系中标出A（1,2）,B（2,3）,C（2,5
43、）三点，我们以现ABC是直角三角形，下面证明：,思考：还有其他证明方法吗？,提示：尝试用勾股定理来证明,例3：设a=(5,7)，b=(6,4)，求ab 及a、b间的夹角（精确到1）,解：ab=5（6）+（7）（4）=30+28=2,四、练习：P121练习123题,五、演练反馈,1、若 则 与 夹角的余弦值 为（）,由计算器得,利用计算器可得：,超链,六、小结,A、B两点间的距离公式:已知,（1）,六、布置作业:,答案：1.解：,2.解,3.解：,平面几何中的向量方法,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解
44、决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。求证：,解：设，则,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们
45、表示。,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形,例2 如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,猜想：AR=RT=TC,解：设 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线，所以设,因为 所以,线，,故AT=RT=TC,练习、
46、证明直径所对的圆周角是直角,分析：要证ACB=90，只须证向量，即。,解：设 则，由此可得：,即，ACB=90,思考：能否用向量坐标形式证明？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。,小结：,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,作业：,课本P125 1,2,一、向量与物理学的联系,向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！,1、向量
47、既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！,2、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！,例题,例1：同一平面内，互成120 的三个大小相等的共点力的合力为零。,例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？,分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：,用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为，如右图所示，只要分清F，G和三者的关系，就得到了问题得数学解释！,
48、F2,小结：（1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！,（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！,（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。,分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。,（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河
49、岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。,把物理问题转化为数学模型为：,10N,如图，今有一艘小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游=80m处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？,从图上看，哪个速度（向量的模）最小？,提问:表示划船速度的向量怎样画?,如何解决物理中与向量有关的问题：（1）、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；（2）、灵活运用数学模型研究有关物理问题；（3）、综合运用有关向量的
50、知识，三角等和物理知识解决实际问题；（4）、用所得的结果解释物理现象。,总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么内容？,平面向量应用举例,用向量的方法研究平面几何,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,引入,问题
