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1、平面向量小结与复习,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,几何表示,:有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,:(x，y),若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=,(x2 x1,y2 y1),向量的模（长度）,1.设 a=(x,y),则,2.若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则,平 面
2、 向 量 复 习,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a+b=,重要结论：AB+BC+CA=,0,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),(x1+x2,y1+y2),AC,OC,平 面 向 量 复 习,2.向量的减法运算,1）减法法则：,O,A,B,OAOB=,2）坐标运算:,若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b=,3.加法减法运算率,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,BA,(x1 x2,y1 y2),平 面 向 量 复 习,实数与向量 a 的积,定义
3、：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度|a|=,|a|；,它的方向,(1)当0时,a 的方向,与a方向相同；,(2)当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a=(x,y),则a=,(x,y),=(x,y),数量积,1、数量积的定义：,数量积的坐标公式：,其中：,其中：,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.,2、数量积的几何意义：,3、数量积的物理意义：,4、数量积的主要性质及其坐标表示：,内积为零是判定两向量垂直的充要条件,用于计算向量的模,这就是平面内两点间的距离公式,4、数量积的主要性质及其坐标表示：,用于计算向量的夹角,5、数量积的运算律：,交换律：
4、,对数乘的结合律：,分配律：,注意：,数量积不满足结合律,重要定理、公式,如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使,应用1.证明 向量共线 2.证明 三点共线:AB=BC A,B,C三点共线,1.平行向量基本定理,2.平面向量基本定理,重要定理、公式,4.两个非零向量垂直的充要条件,向量表示,坐标表示,向量表示,坐标表示,3.两个向量平行的充要条件,规定：对任意向量,常见问题,向量具有大小和方向两个要素。共线向量与平面向量的两条基本定理。向量的数量积是一个数。根据向量的数量积，计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角等。数量积不满足结合率。,如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3，=2，试用a,b表示、,设a、b是两个不共线的非零向量，记 那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线?,已知ABC中，试判断ABC的形状。,
