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1、排列与组合,返回目录,返回目录,1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题,考试大纲,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,有顺序,无顺序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,组合定义:,组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组
2、，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.,思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,一、概念1、排列与组合的区别 将一个事件内的元素的顺序调换，如果这个事件不变，那么是组合问题,如果这个事
3、件改变，那么是排列问题。排列问题要考虑位置关系；组合问题不需要考虑位置关系。,2、乘法原理与加法原理,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点
4、的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.,从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合数为,二、基本公式从n个不同的元素中任取m个不同的元素的排列数为,知 识 梳 理,返回目录,1,n!,返回目录,三、七类典型的排列组合问题1、有特殊元素或特殊位置的排列问题：一般地，分步处理，优先（第一步）处理特殊元素或特殊位置。,练习：从7名运动员选4人参加4 100米的接力赛，其中甲乙两人都不跑中间两棒的方法有多少种？,2、相邻的排列问题：一般地，（分两步）先将相邻的元素合并（看成一个元素）与其它元素一起排列好，再处理好合并的元素间的位置关系。,例：
5、在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有()A6种 B36种 C72种 D120种,解析 将这六名同学排成一排，可按以下步骤进行：把高一的1名同学、高二的2名同学、高三的3名同学分别当作一个整体排成一排，有3216种排法；高二的2名同学之间，有2种排法；高三的3名同学之间，有3216种排法；根据分步乘法计数原理，不同的排法共有62672种，故选C.,返回目录,思考流程(1)分析：属排列问题；推理：相邻问题；结论：捆绑法得出结论,返回目录,3、不相邻的排列问题 一般地，（分两步）先将普通元素排列好，
6、再将不相邻的元素插入普通元素间的空隙。,4、两类不同的元素的混合排列问题 一般地，先取后排（分步处理），先分别从两类元素中取出需用元素的 组合，再混合在一起进行排列。,5、可重复的排列 一般地，应该从位置方面进行考虑。（当对元素和位置分辨不清时，可从两方面分别进行考虑通顺者为正确）,例：由1，2，3，4，5，可以组成多少个有重复数字的五位数。,6、分配问题 一般原则是分步地“取”，（含排列的意味）最好是先分堆（遇到平均分堆就除以堆数的排列数），再分配（排列）（1）注意分“堆”与分给“人”的区别；（2）注意均匀分配与不均匀分配的区别；（3）注意分给“人”的不均匀分配时有对某些人指定量与不指定量的
7、区别,返回目录,返回目录,返回目录,归纳总结求排列问题的基本解法有,返回目录,1、有3名男生，4名女生，求在不同的要求下相应的排列方法数。1）全体排成一行2）选其中5人排成一行3）全体排成一行，其中甲只能在中间或两头位置4）全体排成一行，其中甲乙只能在两头。5）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边6）全体排成一行，男生女生各在一起，7）全体排成一行，其中男生必须在一起8）全体排成一行，其中男女生各不相邻9）全体排成一行，甲必须在乙的左边10）排成前后两排，前排三人，后排四人。,1、用0、1、2、3、4、5可组成-个能被25整除的无重复数字的四位数。,解：分两类，尾数为25与50。,练习
8、题(1)三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为_种(2)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数有_个（3）某班毕业班晚会原定的五个节目已排成节目单，开演前又增加2个节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同的插法有（）个,返回目录,返回目录,返回目录,（3）分两类，两个节目分开与两个节目相邻。,另解：第一步：先把一个节目插空，有6个空位可选，然后产生了7个空位，第二步：再把第二个节目插入，有7种方法。故共有42种,返回目录,返回目录,例：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验
9、时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？,说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,变式练习,按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；,例:某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，
10、至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？,课堂练习：,2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为。,3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）,1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种。,9,9,C,探究点四排列、组合的综合应用,返回目录,返回目录,返回目录,返回目录,返回目录,返回目录,返回目录,返回目录,返回目录,元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额，分给7个班，每
11、班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用 块隔板，插入n个元素排成一排的 个空隙中，所有分法数为,m-1,n-1,练习题,1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少装法？,2.高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?,练习：1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？,
