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1、第17讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题,【备考策略】本部分内容在备考时应注意以下几个方面:(1)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法.(2)会利用圆锥曲线的性质解决相关问题.(3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法.(4)会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦有关的问题及最值问题.预测2016年命题热点:(1)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围.(2)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题.,【知识回顾】1.必记公式(1)三个定义式:椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|);双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(2
2、a|F1F2|);抛物线:|PF|=|PM|，点F不在直线l上，PMl于M(l为抛物线的准线方程).,(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长:设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|=_=_.(3)抛物线的过焦点的弦长:抛物线y2=2px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，y1y2=-p2，弦长|AB|=x1+x2+p.,|x1-x2|,|y1-y2|,2.重要性质及结论(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系:在椭圆中:_;离心率为e=_;在双曲线中:_;离心率为e=_.,a2=b2
3、+c2,c2=a2+b2,(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标:双曲线=1(a0，b0)的渐近线方程为_;焦点坐标F1_，F2_;双曲线=1(a0，b0)的渐近线方程为_，焦点坐标F1_，F2_.,(-c，0),(c，0),(0，-c),(0，c),(3)抛物线的焦点坐标与准线方程:抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为_，准线方程为_;抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标为_，准线方程为_.3.必用技法(1)常用方法:待定系数法、定义法、点差法.(2)主要思想:数形结合、分类讨论.,【考题回访】1.(2015福建高考)若双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|
4、=3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【解析】选B.因为|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|-|PF2|=6，所以=9或-3(舍去).,2.(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C:-y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若 0，则y0的取值范围是(),【解析】选A.因为F1(-，0)，F2(，0)，所以=(-x0，-y0)(-x0，-y0)=x02+y02-30，即3y02-10，解得-y0.,3.(2014江西高考)过点M(1，1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_.,【解析】设A(x1,
5、y1),B(x2,y2).则 答案:,4.(2014北京高考)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率.(2)设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.,【解析】(1)椭圆C的标准方程为=1，所以a2=4，b2=2，从而c2=a2-b2=2，因此，a=2，c=，故椭圆C的离心率e=,(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0,y0)，其中x00.因为OAOB，所以=0，即tx0+2y0=0，解得所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2,因为且当=4时等号成立.所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.,热点考向一圆锥曲线的定
6、义、标准方程与性质【典例1】(1)(2015天津高考)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=的准线上，则双曲线的方程为(),(2)已知椭圆C：(ab0)，直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则椭圆离心率为.,【解题导引】(1)根据渐近线过已知点及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列方程组求解.(2)设出直线l的方程,则由圆心到直线的距离,【规范解答】(1)选D.双曲线=1(a0,b0)的渐近线为aybx=0,该渐近线过点，所以，ba=2.又因为抛物线y2=4 x的准线为x=-，所以双曲线的焦点为(,0),
7、(-,0).所以a2+b2=7,所以，a2=4，b2=3,所以双曲线方程为(2)设直线l：y=(x-a)，则圆心到直线的距离d=即 a2=a2-c2，同除以a2，因为0e1，所以e=.答案：,【方法规律】1.求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求 的值.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.(2)用法:可得 或 的值.利用渐近线方程设所求双曲线的方程.,3.焦点三角形的作用借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式
8、构建方程组，便于解决问题.温馨提示:巩固训练可作【高效演练】T1.,【加固训练】1.(2014湖北高考)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3 D.2,【解析】选A.设|PF1|=m，|PF2|=n，F1F2=2c且mn，则椭圆与双曲线离心率的倒数和为由余弦定理4c2=m2+n2-2mncos=m2+n2-mn.即n2-mn+m2-4c2=0，关于n的一元二次方程有解，=m2-4(m2-4c2)0，故16c23m2，所以，故,2.(2015开封模拟)已知椭圆C1:与双曲线C2:有相同的焦点，则椭
9、圆C1的离心率e的取值范围为(),【解析】选A.因为椭圆C1:与双曲线C2:=1有相同的焦点，所以m0，n0.且m+2-(-n)=m-n，解得n=-1.所以椭圆C1的离心率又e1，所以椭圆C1的离心率e的取值范围为(，1).,3.(2015合肥模拟)已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则AFK的面积为()A.4 B.8 C.16 D.32,【解析】选D.因为抛物线y2=2px的焦点F与双曲线 的右焦点重合，所以p=8.设A(m，n)，又|AK|=|AF|，所以m+4=|n|，又n2=16m，解得m=4，|n|=
10、8，所以AFK的面积为S=88=32.,热点考向二圆锥曲线中的判断与证明问题【典例2】(2015北京模拟)已知椭圆C1过点，且其右顶点与椭圆C2:x2+2y2=4的右焦点重合.(1)求椭圆C1的标准方程.(2)设O为原点，若点A在椭圆C1上，点B在椭圆C2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2+y2=1的位置关系，并证明你的结论.,【解题导引】(1)用待定系数法求解.(2)分OA的斜率存在和不存在两种情况求解.,【规范解答】(1)因为椭圆C2:=1的右焦点为(，0)，所以可设椭圆C1:=1，又椭圆C1过点(，1)，所以解得b2=，故椭圆C1的标准方程为,(2)直线AB与圆x2+y2=1相切.证
11、明如下:设原点到直线AB的距离为d.若OA斜率不存在，则A(0,)，B(2，0)，此时|AB|=d=1.若OA斜率存在，由已知OAOB，可设OA:y=kx，OB:ky=-x，由 可得由 可得,即d=1.综上，直线AB与圆x2+y2=1相切.,【母题变式】1.(变换条件)若将典例中“其右顶点与椭圆C2:x2+2y2=4的右焦点重合”改为“其长轴顶点与椭圆C2:x2+2y2=4的短轴顶点重合”结果如何?,【解析】(1)由已知，可设椭圆C1的方程为=1(b0).又点在椭圆C1上，所以b2=1，因此椭圆C1的标准方程为+x2=1.(2)直线AB与圆x2+y2=1相离或相切或相交.证明如下:设原点到直线
12、AB距离为d，若OA斜率不存在，则A(0，)，B(2，0)，此时|AB|=，所以d=1，直线AB与圆x2+y2=1相离.,若OA斜率存在，由OAOB可设OA方程为y=kx，则OB为ky=-x.,又4(k2+1)-3(k2+2)=k2-2.当k2-2=0，即k=时d2=1，即d=1，此时直线AB与圆x2+y2=1相切;当k2-20即k 或k1，即d1，此时直线AB与圆x2+y2=1相离;当k2-2 或k-时，直线AB与圆x2+y2=1相离，当OA的斜率k=时.直线AB与圆x2+y2=1相切，当OA的斜率k满足-k 时，直线AB与圆x2+y2=1相交.,【母题变式2】(变换条件、改变问法)若将典例
13、的条件变为已知椭圆C1:+y2=1和圆C2:x2+y2=1，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆C1的右焦点.若点P是曲线C2上位于第二象限的一点，且APF的面积为 结论变为求证:APOP，如何求解.,【解析】设曲线C2上的点P(x0，y0)，且x00，由题意A(-，0)，F(1，0)，因为APF的面积为所以|AF|y0=(1+)y0=所以y0=，x0=-，所以所以APOP.,【方法规律】与圆锥曲线有关的两类证明问题(1)直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算问题求解.(2)先判断后证明，如本例先判断直线与圆相切，再证明.温馨提示:巩
14、固训练可作【高效演练】T3.,【加固训练】1.(2015南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1，0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足(1)求动点N的轨迹C的方程.(2)设点Q是直线l:x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证:k1+k2=2k0.,【解析】(1)设点N(x，y)，M(a，0)，P(0，b).由=0可知，点P是MN的中点，所以 即所以点M(-x，0)，所以由=0，可得-x+=0，即y2=4x.所以动点N的轨迹C的方程为y2=4x.,(2)设点
15、Q(-1，t)，由于过点Q的直线y-t=k(x+1)与轨迹C:y2=4x相切，联立方程整理得k2x2+2(k2+kt-2)x+(k+t)2=0.则=4(k2+kt-2)2-4k2(k+t)2=0，化简得k2+tk-1=0.显然，k1，k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根，所以k1+k2=-t.又k0=-，故k1+k2=2k0.所以命题得证.,2.(2015惠州模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1).直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(1)求椭圆的方程.(2)求m的取值范围.(3)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.
16、,【解析】(1)由已知椭圆焦点在x轴上,可设椭圆的方程为=1(ab0),因为e=,所以a2=4b2,又因为椭圆过点M(4,1),所以=1,联立解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为=1.(2)将y=x+m代入=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,因为直线与椭圆有两个交点,所以=(8m)2-45(4m2-20)0,解得-5m5.,(3)设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2,只要证明k1+k2=0即可.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=所以k1+k2=分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8
17、(m-1)=-8(m-1)=0,所以k1+k2=0,所以直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.,热点考向三圆锥曲线中的最值(范围)及与弦有关的问题命题角度一:圆锥曲线中的最值(取值范围)问题【典例3】(2015揭阳二模)已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点P(，0)和点Q,(1)求椭圆G的标准方程.(2)如图，以椭圆G的长轴为直径作圆O，过直线x=-2上的动点T作圆O的两条切线，设切点分别为A，B，若直线AB与椭圆G交于不同的两点C，D，求 的取值范围.,【解题导引】(1)用待定系数法，代入两点求解.(2)设出切点A，B的坐标，表示出切线AT，BT的方程，再利用动点T，表示出直
18、线AB的方程，然后利用椭圆与圆的弦长公式求|AB|和|CD|.,【规范解答】(1)设椭圆G的标准方程为=1(ab0)，将点P(，0)和点Q 代入，得解得故椭圆G的标准方程为+y2=1.,(2)圆O的标准方程为x2+y2=2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AT的方程为x1x+y1y=2，直线BT的方程为x2x+y2y=2，再设直线x=-2上的动点T(-2，t)(tR)，由点T(-2，t)在直线AT和BT上，得故直线AB的方程为-2x+ty=2.原点O到直线AB的距离d=(t2+8)y2-4ty-4=0，显然0.,设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3+y4=，y3y4=,设t
19、2+4=m(m4)，则设 则设f(s)=1+6s-32s3，则f(s)=6-96s2=6(1-16s2)0，故f(s)在(0，上为增函数，于是f(s)的值域为(1，2，的取值范围是(1，.,命题角度二:与弦长、弦中点及弦端点有关的问题【典例4】如图，点P(0，-1)是椭圆C1:=1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程.(2)求ABD的面积取最大值时直线l1的方程.,【解题导引】(1)直接求出a，b.(2)设出直线l1的方程，则直线l2的方程可求.分别
20、求|AB|与|DP|，则三角形面积可求.利用ABC面积的最大值求直线l1的方程.,【规范解答】(1)由已知可得b=1，且2a=4，即a=2，所以椭圆C1的方程是+y2=1.(2)因为直线l1l2，且都过点P(0，-1)，所以设直线l1:y=kx-1，即kx-y-1=0，直线l2:y=-x-1，即x+ky+k=0.所以圆心(0，0)到直线l1的距离为d=所以直线l1被圆x2+y2=4所截得的弦长为,由 k2x2+4x2+8kx=0，=64k20，所以xD+xP=所以|DP|=所以SABD=|AB|DP|,当 时等号成立，此时直线l1的方程为,【方法规律】1.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
21、(1)数形结合法:利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.(2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.,2.弦中点问题的解法点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在.3.与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解.温馨提示:巩固训练可作【高效演练】T2、T4.,【加固训练】1.如图，已知抛物
22、线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于M，N两点，其准线l与x轴交于K点.(1)求证:KF平分MKN.(2)O为坐标原点，直线MO，NO分别交准线于点P，Q，求|PQ|+|MN|的最小值.,【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1.设直线MN的方程为x=my+1，M，N的坐标分别是M(，y1)，N(，y2)，由 消去x得y2-4my-4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-4.,(1)由题意，设KM与KN的斜率分别为k1，k2，显然只需证明k1+k2=0即可.因为K(-1，0)，所以k1+k2=所以KF平分MKN.,(2)由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为(
23、-1，-)，由N，O，Q三点共线可求出Q点的坐标为(-1，-)，则而所以所以当m=0时，|MN|+|PQ|取最小值8.,2.已知动点M(x，y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率.,【解析】(1)如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d=2|MN|，由此得|4-x|=化简得所以动点M的轨迹C的方程为,(2)方法一:由题意，设直线m的方程为y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图.将y=kx+3代入=1中，有(3+4k2)x2+24kx+24=0，其中，=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0，由根与系数的关系，得x1+x2=x1x2=又A是PB的中点，故x2=2x1.,将代入，得可得 且解得k=-或k=，所以直线m的斜率为-或.,方法二:由题意，设直线m的方程为y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).因为A是PB的中点，所以x1=y1=又=1，=1，联立，解得,即点B的坐标为(2，0)或(-2，0)，所以直线m的斜率为,
