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1、一 如增幅相等（等差数列）：例：1、3、5、7求第n位数例：2、4、6、8求第n位数。例：4、10、16、22、28，求第n位数。,4、6、8、10、12,相邻之差是2,第一数4差序+某 2+2,第二数6差序+某 2+2,第三数8差序+某 2+2,第四数10差序+某 2+2,第n数差序+某 2n+2,等差规律：差乘序+某数,（1）1、3、5、7、,相邻之差是2,差序+某 2 1,（2）6、8、10、12,第n个数是2n-1,差序+某 2+4,第n个数是2n+4,相邻之差是2,等差规律：差乘序+某数,树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）年数n高度h（单位
2、：厘米）1)填出第4年树苗可能达到的高度；(2)请用含n的代数式表示高度h：_,115=差序+某 15+100改序为n,等差规律：差乘序+某数,点图中每边为等差变化.边数不变，则总点数也是等差变化,等差,等差,总点数分别是6，8，10，。等差，差为2,图16差乘序+某2+4，所以第n个图2n+4,等差规律：差乘序+某数,下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第5个图案中白色正方形的个数为；第n个图案中白色正方形的个数为_。,85+3,为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示，按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数_,一个小图是8根，每
3、增加一个图多6根,6n2根,平方数列：与1，4，9，16，25，36，49，64相关的数列,平方数列规律：把第一个数折为（序+某）2，改序为n,例：4，9，16，25，。,第一个数4（序+某）2（+1）2,第n个数（n+1）2,练习9，16，25，36，。,练习（2）5，10，17，26，。,第一个数9（序+某）2（+2）2,54+1（序+某）2+1（+1）2+1,第n个数（n+2）2,第n个数（n+1）2+1,平方数列规律：（序+某）2,例：3，15，24，35，。,观察知，数列比4，16，25，36都小1,341（序+某）21（+1）21,第n个数（n+1）21,平方数列规律：（序+某）2
4、,正方形点图，点变边也变（平方列规律）,总点数分别是4，9，16，平方列规律（n+1）2,平方数列规律：（序+某）2,6下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了 块石子,（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。2、5、10、17，求第n位数。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第100个数是。,（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。,二、基本技巧（一）标
5、出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。给出的数：0，3，8，15，24，。序列号：1，2，3，4，5，。,（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（），（），的第n为例如：2、6、12、20、（）、42、,（2n-1）2,30,（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：B：2、4、8、16.增
6、幅是2、4、8.答案与2的乘方有关 即：,n3+1,2n,（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5分析观察可得，新数列的第n项为：n2-1，所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2n2+1,（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例：4，16，36，64，？，144，196，？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1
7、、4、9、16，很显然是位置数的平方。,（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。,（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。,三、基本步骤先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题,例1 观察下列算式：用你所发现的规律写出 的末位数
8、字是_。,观察下列式子：；请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来_。,7如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：a所表示的数：。b所表示的数：。,将1，按一定规律排成下表：试找出 在第 行第 个数,11把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？,12将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）19
9、86；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。,（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子,（2010年四川省眉山市）如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角
10、形,2、已知下列等式：1312；132332；13233362；13233343102；由此规律知，第个等式是 第n个等式是 3、观察下列各式；、1+1=12；、2+2=23；、3+3=34；请把你猜想到的规律用自然数n表示出来。4、观察下面的几个算式：、1+2+1=4；、1+2+3+2+1=9；、1+2+3+4+3+2+1=16；根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子 5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第2005个数是。,2，设a、b都表示数，规定：a*b=3a2b。试计算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）,练习 一,24=8，5
11、3=13，35=11，97=25。按此规律计算：73。,例5：,1，有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8。按此规律计算：84。,练习 五,21、（2010年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序ab=n，可以使：（a+c）b=n+c，a（b+c）=n2c，如果11=2，那么20102010=,6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、，则第10个数为_。,第1行 1第2行 2 3第3行 4 5 6第4行 7 8 9 10第5行 11 12 13
12、 14 15 7、已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于,8 有一列数：，第9个数是.9观察下列各式：，将上面的规律用含有n的公式表示出来是.10观察下列各式：，用n（自然数）把这个规律表示出来,11观察下列等式918，16412，25916，361620，这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n表示自然数，请用含有n的等式表示出来。12 计算：12345678910111219931994199519961997,15、观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球)：从第1个球起到第2005个球止，共有实心球
13、个,19.研究下列等式，你会发现什么规律？13+1=4=2224+1=9=3235+1=16=4246+1=25=52设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.,观察下列几个算式，找出规律：121=412321=91234321=16123454321=25利用上面规律，请你迅速算出：1239910099321=据你会算出123100是多少吗？据上你能推导出123n的计算公式吗？,计算：,计算：,电话费与通话时间之间的关系如下表：通话时间x(分)电话费y(元)通话时间x(分)电话费y(元)(1)写出用通话时间x表示电话费y的公式：_.(2)并用你所列的公式求当通话时间x=100分钟时的费用：_
14、.(3)小明家四月份电话费是96.6元，那么他家一共打了多长时间的电话：_.,如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第n个图案所需花盆的总数是_*,.观察正方形图案，每条边上有 个圆点，每个图案中圆点总数式，按此推断 与 的关系式为,柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有 听罐头，第二层有 听罐头，第三层有 听罐头，根据这堆罐头排列的规律，第n（为正整数）层有 听罐头（用含的式子表示）,第8题图,把正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是,(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 这样的数称为“
15、三角形数”，而把1、4、9、16 这样的数称为“正方形数”从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是（）A13=3+10B25=9+16 C36=15+21 D49=18+31,（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 _块，第n个图形中需要黑色瓷砖_块（用含的代数式表示）,(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第2009次输出的结果为_,观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个,图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成,
