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1、二 次 函 数,一、二次函数的概念及其关系式1.二次函数的概念：形如_(a，b，c是常数，a0)的函数.2.二次函数的关系式：(1)一般式：_.(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其顶点坐标是_.,y=ax2+bx+c,y=ax2+bx+c(a0),(h，k),二、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质1.当a0时(1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(_).(3)对称轴：直线_.(4)增减性：当x 时，y随x的增大而_.(5)最值：当x=时，y最小值=_.,减小,增大,2.当a 时，y随x的增大而_.(5)最值：当x=时，y最大值=_.,增大,减小,【思维诊断】(打“”或
2、“”)1.y=ax2+2x+3是二次函数.()2.二次函数y=3(x+3)2-2的顶点坐标是(3，-2).()3.二次函数y=x2-2的对称轴是y轴，有最小值-2.()4.二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数表达式是y=(x+2)2-3.(),热点考向一 二次函数的图象和性质【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线x=-1；当x=1时，y=2a；am2+bm+a0(m-1).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4,【思路点拨】二次函数y=a(x-h)2+k(a0)根据a确定开口方向，顶点坐标为
3、(h，k)，对称轴为直线x=h，增减性结合开口方向，分对称轴左右两部分来考虑.,【自主解答】选C.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，c=0，故正确；二次函数与x轴的交点坐标是(-2，0)和(0，0)，对称轴是直线x=-1，故正确；，b=2a，当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a，故不正确；b=2a，am2+bm+a=am2+2am+a=a(m+1)2，又m-1，a0，a(m+1)20，故正确.,【规律方法】二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的性质1.a0时，开口向上，a0时，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大.,【真
4、题专练】1.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1y2,【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知当x1时，y随着x的增大而增大；x1x21，点A，点B在对称轴的左侧，y1y2.,【方法技巧】当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用三种方法比较函数值的大小：(1)用含有字母的代数式表示各函数值，然后进行比较.(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解.(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.,热点考向二 二次函数表达式的确定【例2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m0)与y
5、轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.,(1)求点A，B的坐标.(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的表达式.(3)若该抛物线在-2x-1这一段位于(2)中直线l的上方，并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线 的表达式.,【思路点拨】(1)令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴方程，即可得到点B的坐标.(2)求出点A关于对称轴的对称点(2，-2)，然后设直线l的表达式为y=kx+b(k0)，利用待定系数法求一次函数表达式即可.(3)根据二次函数的对称性判断在2x3这一段与在-1x0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代
6、入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线的表达式.,【自主解答】(1)当x=0时，y=-2，A(0，-2).抛物线对称轴为，B(1，0).(2)A点关于对称轴的对称点为A(2，-2)，则直线l经过A，B.设直线的表达式为y=kx+b(k0).则 解得直线l的表达式为y=-2x+2.,(3)抛物线对称轴为x=1，抛物线在2x3这一段与在-1x 0这一段关于对称轴对称，又直线l与直线AB关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2x-1这一段位于直线l的上方，在-1 x0这一段位于直线l的下方.抛物线与直线l的交点横坐标为-1；当x=-1时，y=-2(-1)+2=4，则抛物线
7、过点(-1，4).当x=-1时，m+2m-2=4，m=2.抛物线的表达式为y=2x2-4x-2.,【规律方法】二次函数的三种表达式1.一般式y=ax2+bx+c(a0).2.顶点式y=a(x-m)2+n(a0)，其中(m，n)为顶点坐标.3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，其中(x1，0)，(x2，0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.,【真题专练】1.(2013牡丹江中考)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，请回答下列问题：(1
8、)求抛物线的表达式.(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求BCD的面积.注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是.,【解析】(1)对称轴是，b=6.又抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，(-4)2+6(-4)+c=-3，解得c=5.抛物线的表达式为y=x2+6x+5.,(2)和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，点C的横坐标为-7，点C的纵坐标为y=(-7)2+6(-7)+5=12.又抛物线与y轴交于点B(0，5)，CD边上的高为12-5=7，SBCD=87=28.,【知识拓展】二次函数的图象是抛物线，
9、是轴对称图形，图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称.,【例3】(2013牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a0的解集是()A.x-3C.-31,热点考向四 二次函数与方程或不等式,【解析】选C.观察图象，可知当-30，即ax2+bx+c0，关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是-3x1.,【规律方法】二次函数与方程或不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系(1)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个交点，则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个解.(2)二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定.,2.
10、利用二次函数图象解不等式的方法不等式ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0时，y0取两边，y0取中间.,【真题专练】1.二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，下列正确的个数为()bc02a-3c0ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，x10，x20当x1时，y随x增大而减小A.2B.3C.4D.5,【解析】选B.开口向上得a0，对称轴在y轴右侧得b0，图象交y轴负半轴得c0，可知正确，错误；由对称轴x=1可知正确；函数图象与x轴有两个交点可知正确；由图象可知错误.,命题新视角 二次函数图象的平移【例】如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B(点B
11、在第一象限).抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D.平移抛物线，使其经过点A，D，则平移后的抛物线的表达式为.,【审题视点】,【自主解答】C在对称轴上，A，B关于对称轴对称，C是OB的中点，C点坐标为，把C点坐标代入y=x2+bx+，得，解得b=3(舍去)或b=-3，所以D点坐标为.设平移后的抛物线的表达式为y=x2+kx+，将D点坐标代入y=x2+kx+，解得k=，故平移后的抛物线的表达式为y=x2-x+.答案：y=x2-x+,【规律方法】解决抛物线平移的两种方法1.代数法：抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，据此，可以直接由表达式中常数的加或减求出变化后的表达式.2
12、.几何法：通过画图的方法，根据图中顶点坐标的变化，写出变化后的表达式的顶点式.,【真题专练】1.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是()A.(-3，-6)B.(1，-4)C.(1，-6)D.(-3，-4),【解析】选C.y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5，把y=2(x+1)2-5的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，y=2(x+1-2)2-5-1=2(x-1)2-6，平移后的图象的顶点坐标是(1，-6).,2.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的关系式为()A.y
13、=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-2,【解析】选C.把抛物线y=-2x2向右平移1个单位长度，得到抛物线的函数关系式为y=-2(x-1)2，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的函数关系式为y=-2(x-1)2+2.,3.下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是()A.y=3x2+2B.y=3(x-1)2C.y=3(x-1)2+2D.y=2x2,【解析】选D.函数y=3x2的图象平移后，二次项系数仍然是3，不可能变为2，故选D.,【方法技巧】求一般式的抛物线平移后的表达式的方法应先将抛物线用配方法化为顶点式，再按抛物线的平移规律：左右平移在括号里对横坐标x进行加减运算(左加右减)；上下平移对常数进行加减运算(上加下减).,【典例】(2013黄石中考)若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为.,【误区警示】,【规避策略】根据函数图象与x轴的交点个数求函数表达式中参数的值，当题目中没有明确说明是二次函数时注意分类讨论.因为一次函数与x轴也有交点.,
